El diseño complejo de la Encuesta de Estructura Salarial 1995: Implicaciones sobre la estimación de medidas de desigualdad por Juan Ramón García* DOCUMENTO DE TRABAJO 2003-24

Octubre 2003

* Universidad de Santiago de Compostela y FEDEA. ISSN 1696-750X

Juan Ramón García López∗ Universidad de Santiago de Compostela y FEDEA

Resumen

Este trabajo constituye una aproximación teórica al estudio del papel que el diseño muestral juega en la cuantificación del grado de desigualdad salarial. Empleando el diseño de la Encuesta de Estructura Salarial 1995 como marco de referencia, ofrecemos una descripción detallada de los métodos de estimación e inferencia estadística de medidas de desigualdad. El análisis realizado muestra que la simplificación derivada de suponer observaciones independientes e idénticamente distribuidas podría traducirse en sesgos sistemáticos de importante magnitud, tanto de los estimadores, como de sus errores estándar.

1 Introducción

La creciente disponibilidad de bases de datos, con información microeconómica sobre salarios y características individuales de los trabajadores, ha favorecido la proliferación de estudios que tratan de cuantificar el grado de desigualdad salarial de un país o región, estudiar su evolución a lo largo del tiempo y compararlo con el de otros espacios económicos. Sin embargo, el progresivo aumento de la utilización de información microeconómica ha cuestionado la necesidad de alcanzar resultados lo suficientemente precisos para la población objeto de estudio. Al igual que en la gran mayoría de los estudios empíricos en Economía, para conocer el alcance y precisión de las conclusiones obtenidas en un trabajo sobre medición de la desigualdad, debemos investigar si la muestra con la que trabajamos es representativa de dicha población.

Puesto que las medidas de desigualdad son estimadas sobre la base de observaciones muestrales, necesitamos contrastar tanto si los valores calculados de los parámetros, como las diferencias observadas entre la magnitud de una misma medida para diferentes submuestras, son estadísticamente significativos. Con todo, los indicadores de desigualdad han sido tradicionalmente utilizados con propósitos meramente descriptivos. Esta forma de proceder ha sido justificada con el argumento de que el uso de muestras con un número elevado de observaciones exime al investigador de preocuparse por la precisión de las medidas estimadas. El buen funcionamiento en grandes muestras de la teoría asintótica, base de la gran mayoría de los conceptos estadísticos utilizados en este ámbito, constituye la hipótesis bajo la que subyace este razonamiento (Maasoumi, 1997). Sin embargo, tal y como mostramos a lo largo del presente trabajo, la posible obtención de varianzas muestrales de gran magnitud contradice el argumento anterior.

∗Quisiera agradecer al Ministerio de Ciencia y Tecnología por la financiación recibida a través de la beca FPI asociada al proyecto SEC2001-0061 “Observatorio del Mercado de Trabajo”, dirigido por Juan F. Jimeno. A Coral del Río, por facilitarme el artículo de Stoline y Ury (1979), sin el cual no hubiese sido posible completar la sección 5 de este trabajo. A Cristina Fernández , Eduardo Pis y Ánxela Troitiño por sus útiles comentarios, así como a los restantes participantes en los seminarios de FEDEA y USC. Y, especialmente, a Melchor Fernández y Juan F. Jimeno, por su certeros consejos. Cualquier posible error es responsibilidad del autor.

Las técnicas estándar de estimación e inferencia estadística para medidas de desigualdad están basadas en el supuesto de que las variables aleatorias observadas son independientes e idénticamente distribuidas (iid). Esta suposición es correcta cuando el procedimiento de muestreo empleado para la selección de unidades es aleatorio simple. Sin embargo, cuando los datos proceden de encuestas diseñadas de modo , la hipótesis de observaciones iid no se cumple. Por este motivo, los procedimientos de estimación e inferencia tradicionales no son directamente aplicables.

A la luz de estos problemas potenciales, los objetivos de este trabajo giran entorno a tres temas. En primer lugar, se trata de resaltar la importancia que el diseño muestral tiene sobre la métodos de estimación e inferencia en el ámbito de la medición de la desigualdad económica. En segundo lugar, se argumenta la necesidad del análisis inferencial en dicho ámbito. Los valores muestrales de las medidas de desigualdad solamente serán de interés cuando nos permitan inferir, con un margen de error reducido, el verdadero valor de sus análogos poblacionales. En tercer lugar, se sintetiza la adaptación de los métodos estadísticos propuestos para trabajar con muestras complejas al análisis de la cuantificación del grado de desigualdad. Para ello utilizaremos el diseño de la Encuesta de Estructura Salarial 1995 (EES) como marco de referencia.

El resto del trabajo se desarrolla de la siguiente manera. En la sección 2 resumimos las características principales de la EES, prestando especial atención al procedimiento de muestreo implementado. En la sección 3 describimos los componentes que caracterizan la EES como una muestra compleja. En la sección 4 analizamos cómo afecta el diseño de la encuesta a la precisión de los estimadores. La sección 5 constituye el núcleo central del trabajo. En ella realizamos una aproximación estadística a la investigación de la desigualdad. Definimos los indicadores utilizados y sus propiedades, detallamos las técnicas de estimación que subyacen al cómputo de dichas medidas y describimos, de forma detallada, las técnicas de inferencia estadística (método de ecuaciones de estimación y bootstrap) que nos permitirán conocer el grado de precisión de las estimaciones realizadas. En la sección 6 comentamos las principales conclusiones del trabajo.

^{y S =} {^sj}ⁿj=1

s Nⁿ

^{(P (s}j ^{) = P (s}i⁾ ∀i, ^{j i} 6^{= j)}

^{A =} {^Ai}^Ni=1 n que se pueden formar con las N unidades de A. Cuando el procedimiento mediante el cual se selecciona una de estas muestras es no restringido y todas las muestras son ^{(P (s}j ^{) > 0} ∀^j) equiprobables , nos encontramos ante un diseño simple. En caso contrario, estamos ante un diseño complejo. Véanse Cochran (1977) y Mirás (2000) para una caracterización detallada de los procedimientos de muestreo en poblaciones finitas.

2 La Encuesta de Estructura Salarial 1995 como una muestra compleja²

La EES es una operación estadística dirigida a conocer la distribución y estructura de los salarios en España con periodicidad cuatrianual³. La novedad principal que aporta frente a otras encuestas sobre esta materia es recoger la información sobre salarios de foma individual. Esta era una laguna en la información estadística disponible en materia salarial debido a que, hasta el momento de su aparición, todas las encuestas que se dedicaban al estudio de dicha fuente de renta (Encuesta Trimestral de Salarios, Encuesta de Coste Laboral y sus derivadas, Encuesta de Tiempo de Trabajo y Encuestra de Distribución Salarial) disponían de datos agregados para el conjunto de los trabajadores o, en menor medida, por empresa o por colectivos relativamente homogéneos dentro de un establecimiento.

La encuesta se extiende a todos los empleados incluidos en nómina el último día de octubre de 1995, en centros de cotización de 10 o más trabajadores y cuya actividad principal sea una de las comprendidas entre las secciones C (industrias extractivas) y K (actividades inmobiliarias y servicios empresariales) de la CNAE-93, ambas inclusive. Se excluyen a presidentes, miembros de consejos de administración de sociedades mercantiles y, en general, a todas aquellas personas cuya fuente principal de ingresos no sea por medio de salarios sino por beneficios o comisiones.

El marco usado para la selección de la muestra fue el Registro General de Cuentas de Cotización a la Seguridad Social, del Ministerio de Trabajo y Asuntos Sociales. Por tanto, la unidad informante no es exactamente la empresa, sino el Centro de Cotización a la Seguridad Social.

¿Cuál fue el procedimiento de muestreo utilizado? El procedimiento de selección aleatoria de unidades corresponde a un muestreo bietápico estratificado, donde las unidades de primera etapa (primary sampling units, PSUs, o clusters) son las Cuentas de Cotización a la Seguridad Social, mientras que las de segunda etapa son los trabajadores. Los PSUs se clasifican en 22 grupos de actividades (secciones y subsecciones de la CNAE-93). Cada actividad se estratifica por CCAA y por cinco intervalos de tamaño: de 10 a 19 asalariados, de 20 a 49, de 50 a 99, de 100 a 199 y de 200 o más. En conjunto, se obtienen unos 2090 estratos, algunos de ellos vacíos. Se obtuvo un tamaño muestral definitivo de 19070 cuentas de cotización a la Seguridad Social y 185226 trabajadores. La muestra recogida difiere de la diseñada, aunque sólo levemente, dado que la tasa de respuesta fue del 94,5%.

² Esta sección sintetiza las características de la Encuesta de Estructura Salarial 1995. Una descripción más detallada se encuentra en INE (1997).

³ Si bien la EES correspondiente a 1999 no fue realizada, el INE tenía previsto elaborarla de nuevo con referencia al año 2002.

Los trabajadores con contrato de aprendizaje fueron encuestados por separado. Todas las cuentas de aprendices se agruparon en una población especial, de la cual se obtuvo la muestra (212 cuentas) para este tipo de trabajadores. Se estratificó en función de la rama de actividad y del número de aprendices, pero no de la comunidad autónoma, por lo que solamente se recogen cifras a nivel nacional.

Tanto en primera como en segunda etapa, la selección de unidades se realizó por medio de un muestreo sistemático, dentro de cada estrato en el primer caso, y dentro de cada cuenta de cotización en el segundo, con listas de trabajadores ordenadas por grupo de cotización a la Seguridad Social para abarcar los distintos grupos de cotización.

Así por tanto, la EES constituye una muestra diseñada de modo complejo. Este hecho juega un papel fundamental en los procesos de estimación e inferencia, especialmente en los estudios de medición de la desigualdad, tal y como demostraremos en las secciones sucesivas.

3 Componentes de la complejidad: clustering, estratificación y probabilidades de selección desiguales

A lo largo de esta sección describiremos brevemente los elementos que dotan a la EES de su condición de muestra compleja⁴. Una explicación más detallada de estos componentes la podemos encontrar en Kish (1965), Cochran (1977) y Deaton (1997), entre otros.

3.1 Clustering

Un diseño bietápico como el de la EES genera una muestra en la cual las unidades últimas (en nuestro caso, los trabajadores) no están distribuidas de forma aleatoria sobre el espacio muestral, sino que se encuentran agrupadas en conjuntos (clusters) definidos por las unidades de primera etapa (las cuentas de cotización a la Seguridad Social).

La variabilidad de las observaciones dentro de cada cluster es menor que entre clusters. Por lo tanto, en relación a un muestreo aleatorio simple, el muestreo multietápico reduce la diversidad de la información y conduce a una menor cobertura de la población. Cuanto mayor sea el grado de homogeneidad de cada PSU, mayor será la pérdida de información provocada por el clustering.

Si optamos por un diseño multietápico, las observaciones dentro de un mismo cluster no serán estadísticamente independientes, lo que incrementa la varianza de los estimadores calculados debido a la existencia de correlación intra cluster. Este hecho provoca un aumento de la amplitud de los intervalos de confianza y favorece el rechazo de la hipótesis nula en eventuales contrastes. En definitiva, cuando decidimos emplear estimadores que asumen independencia, los errores estándar obtenidos serán inferiores a los reales.

⁴ Otras posibles fuentes de complejidad serían los ajustes de carácter aleatorio en las ponderaciones: ajustes de no respuesta, post-estratificación, calibración, etc. Sin embargo, éstos escapan a nuestro control, por lo que no los tendremos en cuenta en este trabajo.

3.2 Estratificación

En poblaciones con un alto grado de heterogeneidad, a la hora de realizar el muestreo, se suele dividir a la población en subconjuntos mutuamente excluyentes e internamente homogéneos denominados estratos. El objetivo es garantizar que la cobertura de determinados grupos objeto de estudio sea lo suficientemente representativa como para obtener cierta precisión en las estimaciones. Así por tanto, el efecto de la estratificación será fragmentar la muestra inicial en múltiples muestras independientes, una para cada estrato.

En un diseño estratificado, la propiedad de independencia estadística entre estratos nos asegura que la varianza del estimador de un parámetro poblacional será igual a la suma de las varianzas de las estimaciones de cada estrato. Por lo tanto, la varianza de dicho estimador dependerá únicamente de la dispersión existente dentro de cada estrato, y no de la variabilidad entre estratros.

Dado que de la varianza de un estimador presenta una gran sensibilidad a valores extremos, el muestreo estratificado puede traducirse en notables ganancias de precisión, tanto mayores cuanto menor sea la heterogeneidad de las unidades incluidas dentro de cada estrato y cuanto mayores sean las diferencias entre estratos⁵.

3.3 Probabilidades de selección desiguales

Un muestreo bietápico como el de la EES no es inconsistente con el hecho de que cada trabajador en la población tenga la misma probabilidad de ser incluido en la muestra: si los clusters (centros de cotización) fuesen seleccionados aleatoriamente con probabilidad proporcional a su tamaño, su número fuese proporcional a la dimensión del estrato al que pertenecen y el mismo número de trabajadores fuese seleccionado dentro de cada cluster con igual probabilidad, estaríamos ante un diseño autoponderado (self-weighted), en el cual todos los trabajadores tendrían la misma probabilidad de ser encuestados. Sin embargo, este no es el caso⁶.

Cuando las probabilidades de selección difieren entre observaciones, cada unidad de segunda etapa representa a un número diferente de unidades dentro del estrato correspondiente. Por este motivo, cuando se utiliza una encuesta como la EES para calcular estimaciones de parámetros poblacionales, es necesario ponderar los datos muestrales para asegurar que cada grupo de asalariados se encuentra adecuadamente representado; debemos optar por calcular estimadores ponderados, en donde el peso de cada observación será inversamente proporcional a su probabilidad de ser seleccionada para formar parte de la muestra⁷. De este modo, se pretende corregir el desequilibrio existente entre las unidades con una baja probabilidad de selección ex ante- y que, por tanto, estarán infrarrepresentadas en la muestra- con respecto a aquellas con elevadas probabilidades de inclusión.

⁵ Por tanto, el efecto de la estratificación será el opuesto al provocado por el clustering.

⁶ Las probabilidades de inclusión en la muestra pueden diferir por varias razones: mayor coste de encuestar a algunas unidades, ganancias de precisión en la estimación, negativas a colaborar por parte de determinados grupos de unidades, etc.

⁷ Estas ponderaciones se denominan factores de elevación.

4 Cómo afecta el diseño de la EES a la precisión de los estimadores?

Como hemos visto en la sección anterior, la EES constituye una muestra compleja: incluye muestreo bietápico, estratificación y probabilidades de selección desiguales. Una consecuencia de la implementación de un diseño complejo es que los errores muestrales de los estimadores calculados a partir de la información contenida en la muestra, no pueden ser computados empleando las fórmulas incluidas en los manuales estadísticos tradicionales. Dicha formulación está basada en el supuesto de que las variables aleatorias observadas son iid. Sin embargo, esta suposición no se cumple para observaciones seleccionadas mediante un diseño complejo, por lo que es necesario aproximarse a la estimación del error muestral de una forma diferente.

La varianza del estimador de un parámetro poblacional a partir de una muestra compleja, puede ser estimada mediante el método de linearización en serie de Taylor⁸, o mediante un conjunto de técnicas denominadas de exploración intensiva de la muestra, tales como los métodos de replicación jacknife, de repetición repetida equilibrada (balanced repeated replication o BRR) y las técnicas bootstrap. Cuando el cálculo de la varianza se realiza de tal forma que tiene en cuenta la complejidad del diseño de la muestra, las estimaciones resultantes son diferentes de aquellas que obtendríamos al utilizar las fórmulas estándar para variables iid.

A pesar de que las expresiones tradicionales no son aplicables para diseños muestrales complejos, sí resultan de utilidad como marco de referencia para la comparación de varianzas de estimadores bajo complejidad. Kish (1965) acuña el término “efecto diseño” para denotar el cociente de la varianza de una estimación obtenida de un diseño complejo, entre la varianza de dicha estimación que obtendríamos si hubiésemos seleccionado las observaciones mediante un muestreo aleatorio simple.

Sea θ un parámetro poblacional cualquiera un estimador de θ obtenido bde una muestra compleja. Se define el efecto diseño como

\[\widehat {D e f f} = \frac {\hat {v} (\widehat {\theta})}{\hat {v} _ {m a s} ^ {s r} (\widehat {\theta} _ {m a s})},\tag{1}\]

donde es la estimación de la varianza de utilizando la muestra diseñada de forma compleja b, un estimador de la varianza de que obtendríamos de una hipotética muest b idéntica a la que disponemos, pero seleccionada utilizando un muestreo aleatorio simple (mas) sin reemplazamiento (sr). Si θ es la media poblacional, X, vˆ( ) viene dada por la expresión⁹:

Ap

⁸ Un ejemplo de la aplicación de este método está incluido en la sección A del éndice.

\[\hat {v} (\bar {x} _ {f}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} (1 - F _ {h}) \frac {n _ {h}}{n _ {h} - 1} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} (y _ {h c} ^ {r} - \bar {y} _ {h} ^ {r})\tag{2}\]

Calcularemos como¹⁰:

\[\hat {v} _ {m a s} ^ {s r} (\bar {x} _ {m a s}) = (1 - F) \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i}}{n - 1} \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} r _ {h c i} ^ {2}\tag{3}\]

Kish (1982) define un segundo concepto para medir el efecto del diseño de una encuesta sobre la precisión de una estimación,

\[\widehat {D e f t} = \sqrt {\frac {\hat {v} (\widehat {\theta})}{\hat {v} _ {m a s} ^ {c r} (\widehat {\theta} _ {m a s})}},\tag{4}\]

donde es una estimación de la varianza del estimador calculado a bpartir de la misma muestra recogida empleando un muestreo aleatorio simple con reemplazamiento (cr). La equivalencia entre las expresiones viene dada por la relación entre las varianzas estimadas con y sin reemplazamiento:

\[\hat {v} _ {m a s} ^ {c r} (\widehat {\theta} _ {m a s}) = \frac {1}{1 - F} \hat {v} _ {m a s} ^ {s r} (\widehat {\theta} _ {m a s})\tag{5}\]

Dado que el número de observaciones de la EES es reducido con relación al total poblacional, el factor de correción de poblaciones finitas, , se encontrará muy próximo a la unidad (0.96 para España en su conjunto), por lo que, . Por este motivo, el efecto diseño calculado a b bpartir de (2) será muy similar al computado mediante (1). En este caso, drepresenta la cifra por la que debería ser multiplicado el error estándar de θ bajo bun diseño muestral no restringido, para obtener el error estándar que resulta de un diseño complejo.

De modo similar, se definen los efectos de especificación incorrecta (misspecification efects)

Si nuestro objetivo es conocer cuál es el sesgo en el que incurrimos cuando consideramos que nuestra muestra ha sido seleccionada mediante un muestreo aleatorio simple, debemos comparar, al igual que en el caso anterior, el estimador de la varianza de obtenido de una muestra compleja, , con la estimación b bde la varianza calculada a partir de un diseño de la muestra incorrectamente especificado, a la que denotaremos por ). Supondremos que la fuente bdel error surge, únicamente, de la no consideración de los componentes de la complejidad anteriormente mencionados. En el caso de la media poblacional, comparamos la expresión (2) con la siguiente

⁹ Véase la sección A del Apéndice para una justificación de cómo se obtienen y qué significado tienen los componentes de esta expresión.

n 1 F = 1 _N

¹⁰ El factor de corrección de poblaciones finitas, 1 F,

1 F

solamente tiene sentido bajo un muestreo aleatorio simple, o bien, un muestreo aleatorio estratificado, pero no cuando existe, como en nuestro caso, submuestreo dentro de cada unidad primaria. Por este motivo, omitiremos en las restantes ecuaciones del trabajo.

\[\hat {v} ^ {e e} (\bar {x} ^ {e e}) = \frac {1}{n (n - 1)} \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - \bar {x}) ^ {2},\tag{6}\]

para obtener

\[\widehat {M e f f} = \frac {\hat {v} (\bar {x} _ {f})}{\hat {v} ^ {e e} (\bar {x} ^ {e e})},\tag{7}\]

y

\[\widehat {M e f t} = \sqrt {\widehat {M e f f}}\tag{8}\]

En el Cuadro 1 podemos ver cómo afecta el diseño de la EES a las estimaciones de diferentes magnitudes salariales¹¹.

Cuadro 1. Efectos diseño especificación sobre el estimador del salario medio poblacional 1995

Notas:

¹Salario bruto por hora 1995.² Salario bruto mensual (prorrateados los pagos extraordina- rios) 1995. ³Salario bruto anual 1995.

Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de la EES.

¹¹ Téngase en cuenta que la muestra suministrada por el INE no se corresponde con la totalidad de la muestra recogida. La necesidad de preservar el secreto estadístico obliga a eliminar de la muestra objeto de estudio aquellas observaciones susceptibles de ser identificadas. Este hecho puede inducir un sesgo adicional en las magnitudes reflejadas en el Cuadro 1.

El salario medio por hora español es un 3.21% inferior al calculado cuando se tiene en cuenta la distinta probabilidad de inclusión en la muestra de cada trabajador. Los salarios medios mensual y anual también serán menores a los ponderados, aunque esta diferencia relativa se reduce cuando consideramos un horizonte temporal más amplio (2.88% y 2.76%, respectivamente).

Los valores del “efecto diseño” nos indican que la varianza estimada del salario medio, calculada teniendo en cuenta el diseño complejo de la EES, es más de 25 veces superior al estimador de la varianza obtenido de una hipotética muestra aleatoria simple del mismo tamaño. El valor del cociente toma dvalores entre 26.36, para el salario por hora medio, y 25.01 para el salario anual. Si dividimos el tamaño muestral por la magnitud del efecto diseño , obtendremos el “tamaño muestral efectivo”, . Se define como el dnúmero de observaciones de una muestra aleatoria simple con reemplazamiento que sería necesario para alcanzar el mismo nivel de precisión en la estimación que el obtenido por el diseño complejo. En nuestro caso, el tamaño muestral efectivo es de 5602 observaciones para el salario medio por hora, 6098 para el salario medio mensual y 6220 para el anual¹².

Si hubiésemos ignorado el diseño de la EES por completo, las varianzas estimadas serían todavía menores a las reales, por lo que la magnitud de los efectos de especificación superarían a los de diseño, tal y como se puede observar en las filas nueve y diez del Cuadro 1.

5 Instrumentos de medida

5.1 Algunas consideraciones previas

Los índices de desigualdad ocupan un lugar central en el análisis de la medición de las desigualdades interpersonales en los niveles de vida de los que disfrutan los individuos en función de su posición económica. Un índice de desigualdad es una función que asocia a cada distribución (en nuestro caso) salarial un número real que representa su grado de desigualdad. Al igual que las medidas de dispersión tradicionales, resume en una cifra la información contenida en la distribución. A diferencia de aquéllas, los indicadores de desigualdad propiamente dichos incorporan una serie de consideraciones normativas y juicios de valor sobre los cuales no existe un acuerdo generalizado.

Siguiendo a Kakwani (1990), Cowell (2000) y Giorgi (1999), establecemos, a continuación, el marco analítico que nos permite desarrollar una aproximación estadística al estudio de las características de una distribución de salarios.

Sea Ω el espacio de todas las funciones de distribución del salario, w_i, , la retribución salarial del empleado el conjunto de las retribuciones de la población asalariada. Esta caracterización nos facilita delimitar lo que entenderemos por distribución salarial e índice de desigualdad:

@f

¹² Esto significa que la varianza estimada de wˆ_f a partir de la EES, sería igual a la estimada a partir de una muestra aleatoria simple cuyo tamaño fuese igual al tamaño muestral efectivo, n_eff .

Una distribución salarial es una función de distribución univariante

\[F: W \subseteq \mathfrak {R} _ {+} \longrightarrow [ 0, 1 ]\]

en donde representa la proporción de asalariados en la población con salario menor o igual

De este modo, un índice de desigualdad no sería sino un estadístico definido sobre el espacio de distribuciones salariales posibles

5.2 Definición

5.2.1 Criterio de Lorenz

La curva de Lorenz (CL) relativa de una distribución salarial constituye el indicador de desigualdad de carácter cualitativo más conocido y utilizado en el ámbito académico. Una CL es, simplemente, la función monótona creciente y convexa que indica el porcentaje acumulado de salario, , percibido por cada porcentaje acumulado de población asalariada, previamente ordenados los trabajadores de menor a mayor según su retribución (Gráfico 1). Dado que la línea de 45^ocoincide con la CL de la distribución perfectamente equitativa, el criterio de Lorenz concluye que, ante dos distribu-ciones salariales , la distribución A domina en el sentido de Lorenz a la B si la CL de se sitúa por dentro de la de B en todo su dominio de definición¹³.

Procedemos, a continuación, a definir formalmente la CL. Para ello debemos considerar un conjunto de ordenadas correspondientes al conjunto de abscisas . Denotamos por la función de distribución del salario . La ordenada de la CL correspondiente al i-ésimo cuantil (poblacional) de salario es

¹³ Matizaremos esta definición de dominancia en el sentido de Lorenz en el apartado 5.4.1.

\[L (p) = \frac {1}{\mu (F)} \int_ {0} ^ {\theta_ {p}} w d F (w), 0 \leq \theta_ {p} \leq 1,\tag{9}\]

donde es la media de la distribución

5.2.2 Índices completos¹⁶ de desigualdad

Sea la función de distribución salarial de una economía. Un índice de desigualdad puede ser escrito, de forma general, como

\[I (F) = \psi \left(\int \phi (w, \mu (F)) d F (w), \mu (F)\right),\tag{10}\]

donde es una función monótona creciente en su primer argumento es la media de la distribución F. Si el principio de transferencias de Pigou-Dalton se cumple, la función es diferenciable y convexa en su primer argumento¹⁷.

Dentro del amplio conjunto de indicadores que se han venido utilizando para la cuantificación del grado de desigualdad, hemos seleccionado en este trabajo aquellos que, al menos, verifican el principio de transferencias de Pigou-Dalton. Por este y otros motivos, hemos desechado las medidas de dispersión tradicionales (excepto el coeficiente de variación, que sí cumple el principio de transferencias) y nos hemos centrado en los índices de entropía generalizada, en la familia de índices de Atkinson y en el índice de Gini.

i.) Índices de entropía generalizada

El concepto de entropía nos permite resumir en una cifra la cantidad de información contenida en una variable aleatoria y puede ser interpretado como una medida del grado de desorden dentro de un sistema. Alcanzará su valor máximo cuando la probabilidad de que cada evento suceda sea la misma, . Por el contrario, cuando uno de los eventos constituye el suceso cierto, tomará su valor mínimo (el sistema estará completamente ordenado). Así definida, la entropía constituye una medida del grado de equidad.

F(w)

¹⁴ Asumimos que F(w) es continua, diferenciable, al menos, de segundo orden y estrictamente monótona (Beach y Davidson, 1983)

¹⁵ Si definimos la función cuantílica como

^{ξ(p) = F −1(p) =} inf {^{w F(w) p}} w

^{F −1(}·⁾

donde es la función inversa (Gastwirth, 1971), la CL sería

1 p L(p) = ^{F −1(t)dt, 0} ≤ ^t ≤ ¹ µ(F) 0

¹⁶ La completitud de los índices de desigualdad se deriva de que están definidos sobre el espacio de todas las distribuciones salariales posibles, los que nos asegura una ordenación inequívoca de las mismas.

¹⁷ Véase demostración en Cowell y Victoria-Fesser (1994) o García (2003).

Utilizando una analogía con la noción de entropía, Theil (1967) construyó un indicador que permite cuantificar la desigualdad de una distribución de rentas a partir de la pérdida de entropía derivada de que dicha distribución no sea perfectamente equitativa. Para ello, basta con reinterpretar como la proporción de la renta total percibida por el individuo siendo . Se define como la diferencia entre el grado de entropía existente en la situación de perfecta equidad, , con el existente en la distribución de rentas objeto de estudio:

\[T _ {1} (F) = \int \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) \log \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) d F (w)\tag{11}\]

Si interpretos como la participación relativa de cada individuo en el total poblacional, obtenemos el segundo de los índices propuesto por Theil, , también conocido como desviación logarítmica media

\[T _ {0} (F) = - \int \log \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) d F (w)\tag{12}\]

La consideración de una especificación más general de la función de evaluación ha permitido especificar la denominada familia de índices de entropía generalizada, cuyos miembros están definidos por la expresión

\[E G _ {\alpha} (F) = \frac {1}{\alpha (\alpha - 1)} \left[ \int \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) ^ {\alpha} d F (w) - 1 \right], \alpha \in \Re - \{0, 1 \},\tag{13}\]

donde es un parámetro que refleja la sensibilidad del indicador en diferentes partes de la distribución salarial. Para valores de α positivos y elevados, el índice será más sensible a transferencias de renta en la cola alta de la distribución. A medida que α decrece, aumenta el peso relativo de las transferencias en la cola baja. Los índices de Theil recogidos en las expresiones corresponden a los casos límite cuando

De entre las múltiples medidas de dispersión (concentración) ordinalmente equivalentes^19,20 a la familia de índices EG para algún valor del parámetro hemos optado por incluir en este trabajo el coeficiente de variación (CV). Se define CV como el cociente entre la desviación típica de la distribución de salarios, la media, . Formalmente:

\[C V (F) = \sqrt {\int \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) ^ {2} d F (w) - 1}\tag{14}\]

T₀

T₁.

¹⁸ Dado que los trabajadores peor remunerados suponen una participación en la masa salarial inferior a su participación en la población, pondera en mayor (menor) medida los salarios bajos (altos) que

I, I : F → R

^ψ <² → <

^{19 Dos} índices de desigualdad ^{I, I´ : F} → < son ordinalmente equivalentes si existe una función creciente en su primer argumento, tal que ∀^F ∈ ^{Ω I´(F) =} ψ(I(F), µ(F)) (Cowell, 2000).

I : F → R

²⁰ Un índice de desigualdad continuo I : F satisface el principio de transferencias de Pigou-Dalton, invarianza de escala y descomponibilidad si y sólo si es ordinalmente equivalente a la familia de índices EG para algún valor del parámetro α (Bourguigon, 1979).

A pesar de sus incovenientes²¹, su importancia radica en el hecho de que es sensible a transferencias en cualquier punto de la distribución salarial, con independencia de la escala de medida empleada. Se demuestra fácilmente que , o lo que es lo mismo: el índice de coincide con la mitad del coeficiente de variación al cuadrado.

ii.) Índices de Atkinson

La familia de índices de Atkinson (Atkinson, 1970) se erige como la representante más destacada de la corriente normativa de la medición de la desigualdad, iniciada por Dalton (1920). El planteamiento de esta línea de pensamiento se centra en la hipótesis de que existe una relación positiva entre equidad y bienestar, por lo que interpreta el grado de desigualdad como la pérdida de bienestar social provocada por la existencia de dicha desigualdad. Para cuantificar el tamaño de la pérdida, es necesario explicitar FBS con unas determinadas propiedades que incorporan un conjunto de juicios de valor no universalmente aceptados²².

Antes de caracterizar el índice propuesto por Atkinson, debemos definir una serie de conceptos:

Definición 1 Una FBS, , es Schur-cóncava (S-cóncava) si para toda y para toda matriz biestocástica de orden se verifica que

\[B S (\mathcal {A} \cdot F) \geq B S (F)\]

Definición 2 Una matriz es biestocástica si

\[(a _ {i j}) \geq 0 \forall (a _ {i j}), i, j = 1, \dots , n\]

y

\[\begin{array}{r c l} \sum_ {i} a _ {i j} & = & 1 \forall j \\ \sum_ {j} a _ {i j} & = & 1 \forall i \end{array}\]

Sea una FBS continua, monótona, S-cóncava²³, invariante ante réplicas poblacionales ante cambios de escala. Bajo estas condiciones, la FBS puede ser definida como

\[B S (F) = \varphi (\mu (F), I (F)),\]

donde es una función creciente (decreciente) en su primer (segundo) argumento. Para poder enlazar el análisis del bienestar y la medición de la desigualdad, es necesario que el bienestar social se encuentre expresado en las mismas unidades de medida que el bienestar individual. Con esta finalidad, Atkinson (1970) define el concepto de renta equivalente igualmente distribuida, al que denotaremos por . Es aquel nivel de renta mínimo tal que, si todos los individuos lo percibiesen por igual, el bienestar social sería el mismo que el alcanzado con la distribución original. Por tanto,

²¹ Su límite superior aumenta con el tamaño de la población y presenta una gran sensibilidad a la existencia de valores extremos.

²² Véase Sen (1973) y Kolm (1999).

²³ La continuidad y S-concavidad de la FBS implicará la consistencia con el criterio de Lorenz y, por lo tanto, el cumplimiento de los principios de simetría y de Pigou-Dalton (Atkinson, 1970; Blackorby y Donaldson, 1978 y Blackorby et al., 1999).

\[B S (F ^ {e}) = B S (F),\]

donde es la función de distribución que asigna a cada individuo la renta . A partir de esta caracterización, Atkinson define el siguiente índice, que indica la proporción de renta desperdiciada como consecuencia de una distribución imperfectamente equitativa:

\[A (F) = 1 - \frac {w ^ {e}}{\mu (F)}\]

Si a las propiedades de la FBS comentadas le unimos la de separabilidad aditiva, Blackorby y Donaldson (1978) demuestran que solamente existe una familia de funciones que las verifica, que es la propuesta por Atkinson:

\[B S _ {\varepsilon} (F) = \left(\int w ^ {(1 - \varepsilon)} d F (w)\right) ^ {\frac {1}{1 - \varepsilon}}, \varepsilon \in \mathfrak {R} _ {+} - \{1 \}\]

\[B S _ {\varepsilon} (F) = \exp \left[ \int \log (w) d F (w) \right], \varepsilon = 1\]

A partir esta familia de FBSs, Atkinson construye el siguiente índice

\[A _ {\varepsilon} (F) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \left[ \int \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) ^ {1 - \varepsilon} d F (w) \right] ^ {\frac {1}{1 - \varepsilon}}, & \varepsilon \in \Re_ {+} - \{1 \} \\ 1 - \exp \left[ \int \log \left(\frac {w}{\mu (F)}\right) d F (w) \right], & \varepsilon = 1, \end{array} \right.\tag{15}\]

siendo es un parámetro que mide el grado de aversión a la desigualdad (relativa). Cuantifica, por tanto, la sensibilidad del índice de Atkinson a según en qué punto de la distribución tengan lugar las posibles transferencias de salario: a medida que ε se incrementa, el índice (15) concede mayor peso a las transferencias en el extremo inferior de la distribución salarial y menor a las que tienen lugar en el extremo superior.

Al igual que (14), la familia de índices de Atkinson es ordinalmente equivalente a la familia de índices EG para , con . Para ello basta con tener en cuenta la relación existente entre las expresiones (13) y (15):

\[E G _ {\alpha} (F) = \frac {(1 - A _ {\varepsilon} (F)) ^ {\alpha} - 1}{\alpha (\alpha - 1)}\tag{16}\]

iii.) Índice de Gini

A pesar de que no pertenece a las medidas de desigualdad definidas por (10), el índice de Gini ha ocupado un lugar destacado en la literatura, siendo el indicador tradicionalmente más utilizado en las estudios empíricos sobre desigualdad. Se define formalmente como

\[G (F) = \frac {\delta (F)}{2 \mu (F)},\tag{17}\]

donde

\[\delta (F) = \int \int | w - w ^ {\prime} | d F (w) d F (w ^ {\prime}); w, w ^ {\prime} \in W,\]

es la diferencia absoluta media (normalizada) entre todos los pares de ingresos de la distribución. Para valores de w no negativos, el índice de Gini estará definido en el intervalo [0, 1], de tal modo que será igual a la unidad cuando la desigualdad sea máxima, mientras que será 0 en el caso de una distribución perfectamente equitativa.

Su popularidad se justifica por el carácter intuitivo de su interpretación. El índice de Gini mide la distancia entre la distribución de rentas de la población objeto de estudio y la función de equidistribución, lo que nos revela su estrecho vínculo con la . A pesar de que otorga un mayor peso a las observaciones que se encuentran en la cola baja de la ordenación, independientemente de cuáles sean sus valores, las tranferencias unitarias de ingreso entre individuos reciben más peso en la medida que hay más observaciones en la zona donde se efectúan. Por tanto, la ponderación máxima corresponde a transferencias próximas a la moda y lejos de los extremos de la distribución.

5.3 Estimación

5.3.1 Criterio de Lorenz

Consideremos un diseño muestral multietápico definido sobre una población estratificada en H estratos, con unidades primarias (empresas) seleccionadas dentro de cada estrato. Sea el factor de elevación de la observación i-ésima en el cluster c-ésimo en el estrato h-ésimo. Un estimador insesgado de la función de distribución salarial poblacional es

\[\widehat {F} (w) = \frac {1}{\widehat {N}} \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} I \{w _ {h c i} \leq w \},\]

donde es el tamaño poblacional estimado e es una función indicador que btoma el valor 1 si en caso contrario.

²⁴ El valor del índice de Gini es igual al cociente del área encerrada entre la CL y la diagonal CL y entre el área total encerrada bajo la diagonal.

²⁵ Al igual que los índices de entropía generalizada y la familia de medidas de Atkinson, el índice de Gini induce ordenaciones consistentes con el criterio de Lorenz.

Siguiendo a Binder (1983, 1991) y Binder y Kova˘cevi´c (1993, 1997), aplicaremos el método de ecuaciones de para la obtención, en un diseño muestral complejo, de las ordenadas de la CL definidas por (9).

Asumimos que el parámetro poblacional de interés, en nuestro caso, puede ser formulado como la solución a la ecuación:

\[U (\theta) = \int u (w, \theta) d F (w) = 0\tag{18}\]

Un estimador insesgado de (18) viene dado por

\[\widehat {U} (\theta) = \int u (w, \theta) d \widehat {F} (w) = 0,\tag{19}\]

donde es una estimación de

bLa solución a (19) es lo que se denomina ecuación de estimación b bdel parámetro poblacional

Las ordenadas de la CL pueden ser obtenidas al resolver el siguiente sistema de ecuaciones de estimación:

\[\widehat {U} _ {1} (L (p), \xi_ {p}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} \left[ I \{w _ {h c i} \leq \xi_ {p} \} w _ {h c i} - L (p) w _ {h c i} \right] = 0,\tag{20}\]

\[\widehat {U} _ {2} (L (p), \xi_ {p}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} \left[ I \{w _ {h c i} \leq \xi_ {p} \} - p \right] = 0\tag{21}\]

La ecuación (21) define el k-ésimo cuantil de la distribució , mientras que la ecuación (20) define la ordenada de la CL en términos de dicho cuantil. El estimador de cada ordenada de la CL viene dado por

\[\widehat {L} (p) = \frac {1}{\widehat {N} \widehat {\mu} (F)} \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} I \{w _ {h c i} \leq \widehat {\xi} _ {p} \} w _ {h c i},\tag{22}\]

donde es un estimador del salario medio poblacional.

5.3.2 Índices completos de desigualdad

Una gran parte de las medidas consideradas en los estudios sobre desigualdad son funciones de momentos de la distribución (salarial) subyacente objeto de estudio. Por este motivo, el método de momentos y los conceptos teóricos de inferencia estadística asociados a dicha metodología han sido ampliamente utilizados en este ámbito.

²⁶ Véanse el apartado 5.4.1 y las referencias allí citadas para una descripción más detallada de la metodología de ecuaciones de estimación.

p

²⁷ La solución a la ecuación (21) es el estimador (muestral) del cuantil poblacional ξ ,

^ˆξp ⁼ inf{^whci ^{F (w}hci ≥ ^p)}

Tradicionalmente, han existido dos formas de aproximarse a la estimación de índices de desigualdad (Maasoumi, 1997). En primer lugar, una aproximación denominada indirecta, en donde la cuantificación del grado de desigualdad se realiza en dos etapas. En la primera, se ajustan los datos observados a una distribución paramétrica, mientras que en la segunda, se deriva el índice como una función de los momentos de la distribución estimada. Esta metodología ha gozado de una gran difusión en la estimación del índice de Gini y, en general, en las medidas de desigualdad estrechamente relacionadas con la curva de Lorenz²⁸.

La segunda aproximación, conocida como directa, evita el ajuste, paramétrico o no paramétrico, de la función de distribución y estima directamente el indicador por el método de momentos. Ésta será la aproximación que utilizaremos para la estimación de las medidas de desigualdad (aunque no de sus errores estándar) descritas en el apartado anterior.

Definimos la familia de momentos poblacionales en torno a cero como:

\[\mu_ {\eta} (F) = E \left(w _ {i} ^ {\eta}\right) = \int w ^ {\eta} d F (w), \eta \in \Re\tag{23}\]

Adicionalmente, necesitamos especificar los siguientes momentos poblacionales modificados:

\[\tau_ {\eta , \gamma} (F) = E \left(w _ {i} ^ {\eta} (\log w _ {i}) ^ {\gamma}\right) = \int w ^ {\eta} (\log (w)) ^ {\gamma} d F (w), \eta , \gamma \in \Re\tag{24}\]

Las expresiones (23) y (24) nos permiten expresar (11)-(15) en términos de momentos poblacionales:

\[T _ {1} (F) = \frac {\tau_ {1 , 1}}{\mu_ {1}} - \log (\mu_ {1}),\tag{25}\]

\[T _ {0} (F) = - \tau_ {0, 1} + \log (\mu_ {1}),\tag{26}\]

\[C V (F) = \sqrt {\frac {\mu_ {2}}{\mu_ {1} ^ {2}} - 1},\tag{27}\]

\[E G _ {\alpha} (F) = \frac {1}{\alpha (\alpha - 1)} \left[ \frac {\mu_ {\alpha}}{\mu_ {1} ^ {\alpha}} - 1 \right], \alpha \in \Re - [ 0, 1 \},\tag{28}\]

\[A _ {\varepsilon} (F) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \frac {1}{\mu_ {1}} \mu_ {1 - \varepsilon} ^ {1 / (1 - \varepsilon)}, & \varepsilon \in \mathfrak {R} _ {+} - \{1 \} \\ 1 - \frac {1}{\mu_ {1}} \exp (\tau_ {0, 1}), & \varepsilon = 1, \end{array} \right.\tag{29}\]

²⁸ Maasoumi (1997) y Ryu y Slottje (1999) son excelentes revisiones del método indirecto descrito.

Nótese que es igual a la unidad, el tamaño poblacional “efectivo”, el salario medio poblacional y la masa salarial acumulada (compárese con Cowell, 1999).

Dado que los fenómenos de clustering y estratificación, en sí mismos, no afectan a la estimación de indicadores de desigualdad (aunque sí a la realización de inferencia sobre los mismos²⁹), supondremos, por el momento y para simplificar la notación, que los datos observados pueden ser interpretados como una muestra independiente, pero no idénticamente distribuida, de tamaño n de salarios factores de elevación.

Sea el factor de elevación medio³⁰. Si reemplazamos los momentos poblacionales (23) y (24) por sus correspondientes momentos muestrales ponderados,

\[m _ {\eta} = \frac {1}{n \overline {{f}}} \sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} w _ {i} ^ {\eta},\tag{30}\]

\[t _ {\eta , \gamma} = \frac {1}{n \overline {{f}}} \sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} w _ {i} ^ {\eta} \log (w _ {i}) ^ {\gamma},\tag{31}\]

obtendremos estimadores asintóticamente insesgados³¹ de los índices de desigualdad definidos por (25)-(29):

\[\widehat {T _ {1}} = \frac {t _ {1 , 1}}{m _ {1}} - \log (m _ {1}),\tag{32}\]

\[\widehat {T _ {0}} = - t _ {0, 1} + \log (m _ {1}),\tag{33}\]

\[\widehat {C V} = \sqrt {\frac {m _ {2}}{m _ {1} ^ {2}} - 1},\tag{34}\]

\[\widehat {E G _ {\alpha}} = \frac {1}{\alpha (\alpha - 1)} \left[ \frac {m _ {\alpha}}{m _ {1} ^ {\alpha}} - 1 \right], \alpha \in \Re - [ 0, 1 \},\tag{35}\]

\[\widehat {A _ {\varepsilon}} = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \left(\frac {m _ {1 - \varepsilon}}{m _ {1} ^ {1 - \varepsilon}}\right) ^ {\frac {1}{1 - \varepsilon}}, \qquad \varepsilon \in \Re_ {+} - \{1 \} \\ 1 - \frac {1}{m _ {1}} \exp (t _ {0, 1}), \varepsilon = 1, \end{array} \right.\tag{36}\]

²⁹ Véase apartado 5.4.2.

f = −

∑i=1 fi = 1

³⁰ Si trabajamos con ponderaciones normalizadas, f = ¹_n dado que ⁿ_i=1 f_i = 1.

N = ⁿ_i=1 f_i

Nm ₀

Nµ₀,

η

Nm ₁

Nµ₁

P31 Como es un estimador insesgado del tamaño poblacional efectivo, será b binsesgado de al igual que de . Para α 1, mα es un estimador sesgado de α ≥ 1, mα bµ . Sin embargo, dado que las varianzas del numerador y denominador en (30) tienden a 0 cuando n tiende a infinito, m_η será asintóticamente insesgado de µ_η para todo α 1. Un Mη µη α ≥ 1 razonamiento similar se aplica a t_η,γ. tη,γ

La estimación del índice de Gini es ligeramente más complicada, dado que no puede ser escrito en términos de momentos poblacionales exclusivamente:

\[G (F) = \frac {\delta (F)}{2 \mu_ {1}}\]

Un estimador de la diferencia absoluta media, viene dado por:

\[\hat {\delta} = \frac {1}{n (n - 1)} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} f _ {i} f _ {j} | w _ {i} - w _ {j} |\]

Denotamos por la observación con el i-ésimo menor salario en la muestra. Esta notación nos permite reescribir como

\[\hat {\delta} = \frac {2}{n (n - 1)} \sum_ {i = 1} ^ {n} b _ {(i)} f _ {(i)} w _ {(i)},\]

donde

\[b _ {(i)} = 2 \sum_ {j = 1} ^ {i} f _ {(j)} - f _ {(i)} - \widehat {N}\]

Por tanto, estimaremos el índice de Gini mediante la siguiente ecuación³²:

\[\widehat {G} = \frac {1}{m _ {1}} \frac {1}{n (n - 1)} \sum_ {i = 1} ^ {n} b _ {(i)} f _ {(i)} w _ {(i)}\tag{37}\]

5.4 Inferencia

La necesidad de datos económicos acerca de colectivos finitos (unidades productivas y asalariados, en nuestro caso) pero cuyo número de unidades es muy elevado, ha venido incrementándose en las últimas décadas. Las causas de este aumento progresivo en la demanda de información microeconómica son, en primer lugar, el interés en alcanzar resultados lo suficientemente precisos para la población objeto de estudio; en segundo lugar, la valoración de los resultados alcanzados por último, la toma de decisiones a partir de los mismos. Para conocer el alcance y precisión de nuestras conclusiones, debemos responder a dos preguntas: ¿hasta qué punto la muestra con la que trabajamos es representativa de la población de la que ha sido extraída? es el grado de coincidencia entre la estimación muestral de un parámetro y su verdadero valor poblacional?

Dado que las medidas de desigualdad son estimadas sobre la base de observaciones muestrales, necesitamos contrastar tanto si los valores calculados de los parámetros, como las diferencias observadas entre la magnitud de una misma medida para diferentes submuestras, son estadísticamente significativos³³. La utilización de medidas de desigualdad con propósitos meramente descriptivos ha sido justificada por el argumento de que la disponibilidad de grandes muestras exime al investigador de preocuparse por la precisión (varianza muestral) de los indicadores calculados³⁴. Este razonamiento ha sido contradicho en numerosas ocasiones por la existencia de errores estándar de gran magnitud, lo cual justificaría, todavía en mayor medida, el estudio de las propiedades muestrales de tales medidas y de los métodos de contrastación de hipótesis y de construcción de intervalos de confianza (Maasoumi, 1997).

³² Expresiones alternativas a (37) las podemos encontrar en Deaton (1997) y Cowell (1999).

³³ El objetivo será contrastar si estas diferencias son debidas al error muestral (provocado por la no disponibilidad de información sobre el total de la población), al error de diseño (derivado de los problemas inherentes al procedimiento de muestreo utilizado) o a otro tipo de factores (económicos, institucionales, composición poblacional, etc.).

Los métodos estándar de inferencia estadística para medidas de desigualdad no requieren establecer supuestos sobre la forma de la distribución a partir de la cual son calculadas (distribution-free procedures, DF). La disponibilidad de muestras con un número de observaciones elevado ha permitido la extensión de resultados clásicos de la teoría asintótica para la realización de inferencia sobre los indicadores de desigualdad poblacionales.

Sin embargo, los métodos estándar están basados en el supuesto de que la variable objeto de estudio, en nuestro caso, el salario, es iid. Desafortunadamente esta hipótesis, como hemos comentado anteriormente, no se verifica en la práctica, por lo que dichos métodos no cuantificarán de forma correcta la significatividad estadística del indicador de desigualdad. Dos opciones se han propuesto en la literatura para superar este incoveniente: utilizar procedimientos DF que incorporan la posibilidad de que los datos sean dependientes y no idénticamente distribuidos u optar por métodos de replicación (jackknife, BRR o bootstrap). La significatividad estadística de las ordenadas de la CL será obtenida por el método de ecuaciones de estimación, mientras que para los índices completos de desigualdad hemos optado por emplear la técnica bootstrap.

5.4.1 Criterio de Lorenz

Los métodos DF han gozado de una amplia utilización en la realización de inferencia sobre la CL, a pesar de la complejidad matemática para obtener la distribución muestral de las ordenadas de dicha curva. Sendler (1979) construye intervalos de confianza DF para las ordenadas de la CL (relativa) al derivar sus errores estándar asintóticos sin especificar la forma de la función de distribución subyacente³⁵. Sendler (1979) no especifica la estructura de covarianzas entre ordenadas. Este inconveniente es superado por Beach y Davidson (1983), quienes obtienen la estructura asintótica de varianzas-covarianzas completa de las ordenadas de la CL para una muestra aleatoria simple. Beach y Kaliski (1986) extienden la metodología de Beach y Davidson (1983) a muestras ponderadas y construyen un algoritmo recursivo que facilita la realización de inferencia estadística sobre las ordenadas de la CL. Bishop, Formby y Thistle (1989) y Bishop, Chakravorti y Thistle (1988, 1989, 1994) completan los resultados sobre

³⁴ El supuesto que subyace tras este razonamiento es el “buen funcionamiento” en grandes muestras de la teoría asintótica, la cual constituye la base de una gran mayoría de los conceptos estadísticos en este ámbito.

³⁵ En un estudio anterior al de Sendler (1979), Gail y Gastwirth (1978) derivan la distribución muestral asintótica de las ordenadas de la CL; sin embargo, su resultado estaba condicionado a la elección, más o menos arbitraria, de una forma funcional concreta.

inferencia de estudios previos a CLs absolutas y generalizadas. Desarrollan procedimientos para contrastar conjuntamente la igualdad de las ordenadas de diferentes , lo que permite superar los resultados basados en comparaciones simples de las mismas.

El método de ecuaciones de estimación, cuya utilización para la realización de inferencia sobre medidas de desigualdad fue propuesta por Binder Kova˘cevi´c (1993), será la base de nuestro análisis, dado que permite considerar una amplia clase de diseños muestrales usados en la práctica. Asumimos que:

(a.) se distribuye asintóticamente normal con media varianza ,

(b.) es un estimador consistente de

Bajo estos supuestos, la varianza de , viene dada por la expresión

\[V (\widehat {\theta}) = \left[ J ^ {- 1} (\theta) \right] V (\widehat {U} (\theta)) \left[ J ^ {- 1} (\theta) \right] ^ {T},\tag{38}\]

donde

\[J (\theta) = - \left. \frac {\partial U (\theta)}{\partial \theta} \right| _ {\theta = \theta_ {0}} = - \sum_ {i = 1} ^ {N} \left. \frac {\partial u (w _ {i} , \theta)}{\partial \theta} \right| _ {\theta = \theta_ {0}},\]

es el valor del parámetro poblacional de interés.

Un estimador consistente de

\[\widehat {V} (\widehat {\theta}) = \left[ J ^ {- 1} (\widehat {\theta}) \right] \widehat {V} (\widehat {U} (\widehat {\theta})) \left[ J ^ {- 1} (\widehat {\theta}) \right] ^ {T}\tag{39}\]

Sea la solución a la ecuación (18) , definida por (19), un estimador insesgado de b. Reescribimos (19) como

\[\begin{array}{r c l} 0 & = & \widehat {U} (\widehat {\theta}) = \int \left[ u (w, \widehat {\theta}) - u (w, \theta_ {0}) \right] d F (w) + \int u (w, \theta_ {0}) d \widehat {F} (w) \\ & & + \underbrace {\int \left[ u (w , \widehat {\theta}) - u (w , \theta_ {0}) \right] \left[ d \widehat {F} (w) - d F (w) \right]} _ {R}, \end{array}\]

donde R representa un término residual que será, generalmente, asintóticamente insignificante³⁸. La expresión anterior puede ser expresada, de forma equivalente, como:

\[0 = \widehat {U} (\widehat {\theta}) = U (\widehat {\theta}) - U (\theta) + \widehat {U} (\theta) + R\tag{40}\]

(38) y (39)

³⁶ Una aplicación de esta metodología para el caso español la podemos encontrar en del Río y Ruiz-Castillo (1996).

o ¯θ − θ0¯

^θ → ^θ0^.

³⁷ Binder (1983) ofrece una justificación formal de las expresiones (38) y (39).

³⁸ R será asintóticamente insignificante siempre que sea de oden dado que

Si realizamos una expansión de Taylor de la función en torno a obtendremos:

\[0 = \widehat {U} (\widehat {\theta}) = \left(\widehat {\theta} - \theta_ {0}\right) \left. \frac {\partial U (\theta)}{\partial \theta} \right| _ {\theta = \theta_ {0}} + o (\left| \widehat {\theta} - \theta_ {0} \right|) + \widehat {U} (\theta_ {0}) + R\tag{41}\]

Si ignoramos los términos residuales, la diferencia entre su valor poblacional viene dada por

\[\widehat {\theta} - \theta_ {0} \approx - \left[ \frac {\partial U (\theta)}{\partial \theta} \bigg | _ {\theta = \theta_ {0}} \right] ^ {- 1} \widehat {U} (\theta_ {0}) = \int u ^ {*} (w, \theta_ {0}) d \widehat {F} (w),\tag{42}\]

donde

\[u ^ {*} (w, \theta_ {0}) = - \left[ \frac {\partial U (\theta)}{\partial \theta} \Big | _ {\theta = \theta_ {0}} \right] ^ {- 1} u (w, \theta_ {0})\]

Dado que puede ser aproximado por un estimador de la “población btotal” de funciones de estimación , la varianza de , puede ser bcalculada como la varianza del estimador de un total. Por tanto:

\[V (\widehat {\theta}) = V \left(\widehat {\theta} - \theta_ {0}\right) \approx V \left(\int u ^ {*} (w, \theta_ {0}) d \widehat {F} (w)\right)\tag{43}\]

Sea es el estimador del total poblacional de una determinada característica. bUn estimador de la varianza de que conserva el diseño de la muestra es:

\[\widehat {V} (\widehat {T}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {n _ {h}}{n _ {h} - 1} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} (u _ {h c} ^ {*} (\cdot) - \overline {{u}} _ {h} ^ {*}) ^ {2} \approx \widehat {V} (\widehat {\theta})\tag{44}\]

Para la estimación de la varianza de las ordenadas de la debemos tener en cuenta que nos encontramos ante un problema bidimensional, necesitamos estimar dos parámetros, en lugar de uno. Procediendo de forma similar al caso unidimensional (41), si realizamos una expansión en serie de Taylor de

\[\widehat {U} \left(\widehat {L} (p), \widehat {\xi} _ {p}\right) = \binom{\widehat {U _ {1}} \left(\widehat {L} (p), \widehat {\xi} _ {p}\right)}{\widehat {U} _ {2} \left(\widehat {L} (p), \widehat {\xi} _ {p}\right)},\]

en torno a , obtenemos³⁹

\[\widehat {L} (p) - L (p) \approx \left[ - U _ {1} (L (p), \xi_ {p}) + J _ {1 \xi_ {p}} \left(J _ {2 \xi_ {p}}\right) ^ {- 1} U _ {2} (L (p), \xi_ {p}) \right] \left[ J _ {1 L (p)} \right] ^ {- 1},\]

donde

\[J_{i\lambda} = \left.\frac{\partial U_{i}(\theta,\lambda)}{\partial\lambda}\right|_{\substack{\theta = L(p)\\ \lambda = \xi_{p}}},i = \{1,2\} ,\]

³⁹ Véase Binder y Kova˘cevi´c (1997).

\[J _ {1 L (p)} = \left. \frac {\partial U _ {1} (\theta , \lambda)}{\partial \theta} \right| _ { \begin{array}{c} \theta = L (p) \\ \lambda = \xi_ {p} \end{array} }\]

Por tanto, para estimar , la linealización apropiada viene dada por

\[u _ {h c} ^ {*} (w _ {h c i}, \widehat {L} (p), \widehat {\xi} _ {p}) = \frac {1}{\widehat {N} \widehat {\mu} (F)} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} \left[ \left(w _ {h c i} - \widehat {\xi} _ {p}\right) I \{w _ {h c i} \leq \widehat {\xi} _ {p} \} + p \widehat {\xi} _ {p} - w _ {h c i} \widehat {L} (p) \right],\tag{45}\]

donde , la media aritmética para cada estrato de las , es:

\[\overline {{u}} _ {h} ^ {*} = \frac {1}{n _ {h}} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} u _ {h c} ^ {*} (w _ {h c i}, \widehat {L} (p), \widehat {\xi} _ {p}).\]

Sustituyendo (45) en (44) obtenemos una expresión para la varianza de cada una de las p ordenadas estimadas de la CL.

Una amplia batería de estimadores de parámetros poblacionales pueden ser formulados como solución a la ecuación (19). Las técnicas de muestreo para poblaciones finitas han desarrollado gran parte de estos estimadores sin referirse de forma explícita a un modelo. Este hecho contrasta con el desarrollo de ecuaciones de estimación en la literatura, la cual, generalmente, hace referencia explícita a modelos paramétricos. Sin embargo, como hemos visto, la realización de inferencia en grandes muestras es posible sin hacer hipótesis paramétricas acerca de la función de distribución base. Esto no significa que la obtención de parámetros poblacionales mediante el método de ecuaciones de estimación esté libre de supuestos, puesto que la validez de los resultados en grandes muestras está supeditada al cumplimiento de las condiciones de regularidad sobre normalidad asintótica recogidas en las hipótesis

Binder (1991) y Binder y Patak (1994) se plantean la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro poblacional de interés, , definido como solución a la ecuación (18). Para ello, proponen utilizar el método del test de inversión para contrastar:

\[\begin{array}{r c l} H _ {0} & : & U (\theta) = 0 \\ H _ {1} & : & U (\theta) \neq 0 \end{array}\tag{46}\]

Asumiendo que los supuestos se cumplen, Binder (1991) define el intervalo de confianza para como los valores de para los cuales la hipótesis nula es aceptada, siendo la región de aceptación para

\[\left| \frac {\widehat {U} (\theta)}{s e (\widehat {U} (\theta))} \right| \leq z _ {1 - \frac {\alpha}{2}},\tag{47}\]

⁴⁰ Véase Sen (1988) para una discusión sobre la teoría asintótica en muestras complejas de poblaciones finitas.

donde es el error estándar del estimador de , el cuantil de la distribución normal estándar.

En un caso como el que nos ocupa, el parámetro poblacional debe ser estimado mediante un sistema de ecuaciones de estimación análogo al definido por . Empleando un argumento basado en la eliminación de parámetros adicionales (en nuestro caso, que complican la realización del test, Binder (1991) y Binder y Patak (1994) recomiendan emplear la variable

\[u _ {B P} ^ {*} = u _ {1} (\cdot , \theta_ {0}, \lambda_ {0}) - J _ {1 \lambda} [ J _ {2 \lambda} ] ^ {- 1} u _ {2} (\cdot , \theta_ {0}, \lambda_ {0}), \mathrm{donde}\tag{48}\]

\[J_{i\lambda} = \left.\frac{\partial U_{i}(\theta,\lambda)}{\partial\lambda}\right|_{\substack{\theta = \theta_{0}\\ \lambda = \lambda_{0}}},i = \{1,2\} ,\]

para realizar inferencia sobre . En el caso multidimensional, la región de aceptación de la hipótesis nula viene dada por una expresión similar a (47),

\[\left| \frac {\widehat {U} _ {1} (\theta , \widehat {\lambda})}{\sqrt {\widehat {W} (\theta , \widehat {\lambda})}} \right| \leq z _ {1 - \frac {\alpha}{2}},\tag{49}\]

donde es la varianza del estimador de un total cuando la variable objeto de estimación es

El método de construcción de intervalos de confianza propuesto por Binder (1991) y Binder y Patak (1994) es asintóticamente equivalente al tradicional utilizando el método , el cual busca contrastar:

\[\begin{array}{r c l} H _ {0} & : & \theta = \theta_ {0} \\ H _ {1} & : & \theta \neq \theta_ {0} \end{array}\tag{50}\]

Al igual que en (45), bajo la conjetura de que los supuestos se verifican, la región de aceptación para es

\[\left| \frac {\widehat {\theta} - \theta_ {0}}{\sqrt {V (\widehat {\theta})}} \right| \leq z _ {1 - \frac {\alpha}{2}},\tag{51}\]

donde viene dada por la expresión (44). Por tanto, es la varianza del bestimador de un total cuando la variable que está siendo estimada

\[u ^ {*} = \left[ - u _ {1} (\cdot , \theta_ {0}, \lambda_ {0}) + J _ {1 \lambda} [ J _ {2 \lambda} ] ^ {- 1} u _ {2} (\cdot , \theta_ {0}, \lambda_ {0}) \right] [ J _ {1 \theta} ] ^ {- 1},\tag{52}\]

⁴¹ Binder y Patak (1994) comentan que, a priori, ninguna de las dos aproximaciones es superior. Sin embargo, para tamaños muestrales moderadamente pequeños, el método del test de inversión conduce a intervalos de confianza más estrechos.

⁴² Se comprueba que:

^{u∗ =} −^u∗BP^[J1θ^]−1

donde

\[J_{1\theta} = \left.\frac{\partial U_{1}(\theta,\lambda)}{\partial\theta}\right|_{\substack{\theta = \theta_{0}\\ \lambda = \lambda_{0}}}\]

El procedimiento descrito nos permite contrastar la significatividad individual de cada una de las ordenadas estimadas de una CL. Sin embargo, nuestro objetivo no será conocer si la desviación de cada ordenada estimada con respecto a su valor esperado es estadísticamente significativa, sino construir tests de unión-intersección para contrastar la igualdad entre ordenadas de diferentes CLs.

Siguiendo la terminología propuesta por Bishop, Formby y Thistle (1989), denotamos por

\[L ^ {+} = \left(L _ {1},..., L _ {K - 1}, \mu\right) ^ {\prime},\tag{53}\]

el vector de ordenadas aumentado de la CL (relativa), donde los primeros elementos constituyen el vector de ordenadas de la CL susceptibles de contraste y el K-ésimo elemento es el salario medio poblacional. La expresión (53) nos facilitará contrastar medias conjuntamente con ordenadas de

Sean dos subpoblaciones estadísticamente independientes. Es test de unión-intersección entre los vectores de ordenadas de CLs aumentados de B puede ser realizado mediante el contraste de las subhipótesis

\[\begin{array}{r c l} H _ {0, i} & : & L _ {i} ^ {+ A} = L _ {i} ^ {+ B} \\ H _ {1, i} & : & L _ {i} ^ {+ A} \neq L _ {i} ^ {+ B}, i = 1,..., K \end{array}\tag{54}\]

La igualdad del i-ésimo componente de los vectores puede ser contrastada empleando el estadístico

\[\eta_ {i} = \frac {\left(\widehat {L} _ {i} ^ {+ A} - \widehat {L} _ {i} ^ {+ B}\right)}{\left[ \widehat {s e} (\widehat {L} _ {i} ^ {+ A}) + \widehat {s e} (\widehat {L} _ {i} ^ {+ B}) \right]}, i = 1, \dots , K - 1,\tag{55}\]

donde denota el error estándar de cada ordenada calculado a partir de (44). Bajo dado que a son independientes, se distribuye como una normal estándar

La diferencia entre los salarios medios muestrales se obtiene al comparar los últimos componentes de los vectores . Para contrastarla, se utiliza el test de igualdad de medias de dos muestras independientes,

\[\eta_ {K} = \frac {\left(\widehat {\mu} ^ {A} - \widehat {\mu} ^ {B}\right)}{\left[ \widehat {s e} (\widehat {\mu} ^ {A}) + \widehat {s e} (\widehat {\mu} ^ {B}) \right]},\tag{56}\]

⁴³ No solamente verificaremos la similitud entre ordenadas iguales de distribuciones diferentes, sino que contrastaremos si el diferencial de salarios medios entre ambas distribuciones es estadísticamente significativo.

donde denota el error estándar de la media muestral calculado a partir de

Un problema que se presenta a menudo cuando se comparan CLs empíricas es la existencia de cruces que impiden establecer un orden inequívoco entre las distribuciones estudiadas. Este fenómeno provoca que los tests clásicos de dominancia no sean concluyentes. Dichos tests dividen el espacio muestral en dos regiones, aceptación y rechazo. El inconveniente surge cuando la hipótesis nula de igualdad entre CLs es rechazada, dado que, en este caso, no podemos distinguir entre dominancia y no comparabilidad. Por estos motivos, una parte de la literatura sobre desigualdad⁴⁵ se ha centrado en desarrollar procedimientos DF que permitan superar estas dificultades, construyendo tests que proporcionan una partición más fina del espacio muestral y tratando de detectar si un cruce entre dos CLs es estadísticamente significativo (esto es, si tiene lugar entre distribuciones poblacionales), o puede ser atribuible a errores muestrales.

Bishop, Chakravorty y Thistle (1994) demuestran que ningún test de dominancia con una (hipótesis) alternativa colectiva puede discriminar entre los tres resultados posibles: dominancia, igualdad y no comparabilidad. Este resultado nos obliga a utilizar tests conjuntos construidos a partir de los tests de subhipótesis individuales descritos en (54). La hipótesis nula conjunta es la intersección de las K subhipótesis disjuntas, mientras que la alternativa conjunta es la unión de las subhipótesis alternativas:

\[\begin{array}{r c l} H _ {0} & : & L ^ {+ A} = L ^ {+ B} \\ H _ {1} & : & L ^ {+ A} \neq L ^ {+ B} \end{array}\tag{57}\]

Por tanto, cada test dado por (54) constituye una subhipótesis del test conjunto de igualdad de dos vectores de ordenadas de CLs. Bishop, Chakravorty y Thistle (1994) muestran que, bajo , el estadístico sigue una distribución SMM (Studentized Maximum Modulus) con parámetro K- número de subhipótesis- e infinitos grados de libertad, manteniendo fijo el tamaño (α) del test conjunto⁴⁶.

Denotando por el valor crítico de la distribución SMM correspondiente⁴⁷, la regla de decisión para el criterio de Lorenz relativo aumentado es la siguiente. Si no rechazamos la subhipótesis nula para todo 2 no podemos rechazar la hipótesis nula conjunta, , por lo que concluimos que las distribuciones son estadísticamente iguales . Si rechazamos para algún rechazaremos, entonces, , lo que conduce a dos posibles situaciones:

⁴⁴ Por tanto, diremos que la distribución A domina a la B según el criterio de Lorenz relativo aumentado sí y sólo si: ^(A ºL+ ^B)

µ(A) µ(B) y L^A(p) L^B(p) p [0, 1]

⁴⁵ Véase Bishop, Formby y Thistle (1989), Bishop, Chakravorty y Thistle (1988, 1989, 1994) y Bishop, Chow y Formby (1994).

⁴⁶ Para más detalles sobre la distribución SMM, véanse Savin (1984) y Hochberg y Tamhane (1987).

^{47 Stoline y} Ury ⁽¹⁹⁷⁹⁾ obtienen los valores críticos de la distribución SMM, ^mα^(K, ∞^), para mα(K,∞) distintos niveles de significación.

1. Si la diferencia entre al menos una ordenada estimada de las CLs de A y B es positiva y estadísticamente significativa y las restantes no son significativas, diremos que la distribución A domina⁴⁸ a la B según el criterio de Lorenz relativo aumentado

\[A \succ_ {L ^ {+}} B \Leftrightarrow \exists i / \eta_ {i} > m _ {\alpha} (K, \infty) \text { y } \eta_ {j} \geq - m _ {\alpha} (K, \infty) \forall j \neq i, i, j = 1,..., K\]

2. Si existe al menos una diferencia positiva y al menos una negativa entre las ordenadas de las CLs estimadas, ambas significaticas, diremos que las distribuciones A y B son no comparables según el criterio de Lorenz relativo aumentado,

A, B no comparables

5.4.2 Índices completos de desigualdad.

La realización de inferencia estadística en los estudios sobre medición de la desigualdad mediante índices completos ha estado centrada, casi exclusivamente, en la extensión de resultados clásicos de la teoría asintótica. Desde los trabajos de Gastwirth (1974) y Nygård y Sandström (1981), muchos han sido los autores⁴⁹ que han tratado de derivar la distribución en grandes muestras de numerosas medidas de desigualdad, lo que ha permitido la construcción de intervalos de confianza y tests DF. Sin embargo, tal y como hemos comentado anteriormente, un elemento común en la mayoría de estos trabajos es la suposición de que la muestra objeto de estudio es aleatoria simple, por lo que la medida del ingreso es una variable iid. A pesar de que los procedimientos propuestos en un contexto muestral de observaciones iid no son directamente aplicables a los datos proporcionados por los organismos estadísticos oficiales, es posible adaptar los resultados de la teoría asintótica a muestras diseñadas de forma compleja, tal y como han mostrado Binder y Kova˘cevi´c (1993), Davison y Duclos (1997), Schluter y Trede (1998), Van Kerm (2002) y Biewen y Jenkins (2003), entre otros. Entonces, ¿cuáles son las causas por las que no utilizaremos métodos asintóticos para la realización de inferencia estadística cuando calculamo indicadores completos de desigualdad?

En primer lugar, muchos de los índices de desigualdad contemplados en la literatura son funciones no lineales de la variable aleatoria empleada para cuantificar el ingreso. Por esta razón, conocer el grado de precisión del estimador de una medida requiere el cálculo de matrices de varianzas-covarianzas cuya formulación presenta una gran complejidad algebraica.

En segundo lugar, la práctica totalidad de medidas de desigualdad están acotadas; en particular, las descomponibles aditivamente. Este hecho no es tenido en cuenta por la teoría asintótica estándar. Por tanto, podría ocurrir que los límites del intervalo de confianza del estimador de un índice excediesen del dominio de definición (teórico) del mismo.

L^+A_i > L^+B_i

⁴⁸ La dominancia en el sentido de Lorenz será débil si , con al menos una desigualdad estricta. Será fuerte cuando para todo i.

⁴⁹ Véase, por ejemplo, Cowell (1989), Thistle (1990) y Kakwani (1990).

Mills y Zandvakili (1997) no solamente apuntan este último argumento, sino que comentan que la tasa de convergencia⁵⁰ de estimadores no lineales (en nuestro caso, indicadores de desigualdad) puede ser baja. Como consecuencia, las aproximaciones asintóticas basadas en el argumento de que el teorema central del límite asegura la convergencia pueden no ser lo suficientemente precisas.

Por estos motivos, Mills y Zandvakili (1997) proponen la ténica bootstrap⁵¹ como instrumento de inferencia estadística alternativo a la teoría asintótica para medidas de desigualdad.

Desde la publicación en del primer artículo sobre bootstrap (Efron, 1979), esta técnica se ha convertido en el método basado en computación intensiva más popular. Podemos resumir la diferencia fundamental entre el bootstrap y el enfoque analítico tradicional del siguiente modo. Sean una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución de probabilidad desconocida y su realización observada,

\[X _ {i} = x _ {i}, X _ {i} \sim F _ {0}, i = 1, \dots , n\]

Denotamos por F un miembro general de la familia de funciones de distribución Ω. Sea un parámetro dependiente de un estimador natural de cla distribución muestral exacta de es diferente para diferentes funciones de distribución deberá ser estimada dado que es desconocida.

La teoría asintótica constituye un marco para la estimación de al obtener una fórmula explícita que aproxima la distribución de . Denotamos por la distribución asintótica de c. La demostración de que numerocsos estadísticos son asintóticamente pivotales (ap) ha favorecido la amplia difusión alcanzada por esta clase de aproximaciones. Si es ap, puede ser estimada mediante csiempre que el tamaño muestral sea lo suficientemente grande; si no es , pero se distribuye asintóticamente normal, cpuede ser aproximada por una distribución normal cuya media y varianza son las estimadas a partir de los datos muestrales. Al igual que en el caso anterior, la precisión de la estimación dependerá directamente del número de observaciones disponibles.

El bootstrap establece una metodología alternativa para estimar la distribución muestral de sobre la base de los datos observados, x. A diferencia cde la aproximación asintótica, el método bootstrap emplea un estimador de la función de distribución al que denotaremos por para aproximar c. La técnica bootstrap implementada dependerá de la elección de Si es estimada a partir de la función de distribución empírica de los cdatos53, es el estimador no paramétrico de máxima verosimilitud de c(bootstrap no paramétrico). Si conocemos la función de distribución de la variable aleatoria objeto de estudio (X), podemos aproximar mediante un estimador paramétrico, aún cuando desconozcamos los paramétros que definen la distribución de X (bootstrap paramétrico). La estimación de mediante la función de distribución empírica presenta discontinuidades, lo que constituye un problema cuando se presupone la continuidad de . Por tanto, en ocasiones es factible suponer que guarda una cierta semejanza con algún miembro de la familia de funciones de distribución continuas. En este caso, 2 donde ces la función de distribución asociada a un estimador de la función de densidad siendo h el parámetro de alisamiento (bootstrap suavizado⁵⁴).

⁵⁰ La tasa de convergencia de un estimador consitente mide la “velocidad” con la que dicho estimador tiende a su verdadero valor poblacional a medida que incrementamos el tamaño de la muestra.

⁵¹ Véase Efron y Tibshirani (1993), Hall (1994), Romo (1994), Shao y Tu (1995) y Horowitz (2001), entre otros, para una revisión de la técnica bootstrap.

⁵² Excepto en el caso de que θ no dependa de parámetros poblacionales desconocidos. En este caso se dice que θ es pivotal.

Tras la elección de , el estimador bootstrap de al que denotaremos por ces obtenido mediante una aproximación de Monte Carlo, cen la cual múltiples muestras aleatorias son construidas a partir de . El proceso de estimación bootstrap se desarrolla como sigue:

1. Se genera una muestra bootstrap de tamaño , extraída de . Si utilizamos la función de distribución empírica para estimar , la cobtención de la muestra bootstrap se traduce en una muestra aleatoria con reemplazamiento de entre las realizaciones observadas, ,

\[X ^ {*} = x ^ {*}\]

2. Se calcula el parámetro de interés a partir de la muestra bootstrap,

\[\widehat {\theta_ {n} ^ {*}} = t (X ^ {*})\]

3. Se repiten los pasos 1 un número lo suficientemente elevado de veces⁵⁵, B, para calcular

\[\widehat {\theta_ {n} ^ {* j}} = t (X ^ {* j}), j = 1, \dots , B.\]

⁵³ El Teorema de Glivenko-Cantelli establece una convergencia casi segura entre cuando el tamaño muestral tiende a infinito.

X_i, i = 1, ..., n,

F₀ y

F_n

Teorema de Glivenko-Cantelli. Sea una muestra aleatoria extraída de una población con función de distribución sea la correspondiente función de distribución empírica. Entonces, si n , n→∞

sup ¯Fn − F0¯ 0 →c.s. x

⁵⁴ Véase Cuevas y Romo (1997) para una revisión del bootstrap suavizado en donde se utilizan estimadores tipo kernel de la función de densidad.

n, y

θ_n

Hn

⁵⁵ La precisión con la que la distribución bootstrap estima H_n depende del tamaño muestral, del número de replicaciones, B. Por convención, entre 50 y 200 replicaciones resultan suficientes para estimar la varianza; si se pretenden estimar múltiples características de la distribución de simultáneamente, o bien, los límites del intervalo de confianza, el número cde replicaciones debe ser, al menos, 1000 (Efron y Tibshirani, 1993).

El estimador de la distribución de viene dado por el histograma construido a partir de c. El estimador del error estándar de es la desviación típica de las B replicaciones de 2

\[\widehat {s e} _ {B} \left(\widehat {\theta_ {n}}\right) = \left[ \frac {1}{B - 1} \sum_ {j = 1} ^ {B} \left(\widehat {\theta_ {n} ^ {* j}} - \overline {{\widehat {\overline {{\theta_ {n} ^ {*}}}}}}\right) ^ {2} \right] ^ {\frac {1}{2}},\tag{58}\]

donde

\[\widehat {\overline {{\theta_ {n} ^ {*}}}} = \frac {1}{B} \sum_ {j = 1} ^ {B} \widehat {\overline {{\theta_ {n} ^ {* j}}}}\]

es el valor medio de las B estimaciones bootstrap⁵⁶.

Mills y Zandvakili (1997) utilizan la metodología bootstrap para estudiar la significatividad del cambio en la desigualdad, cuantificada mediante los índices de Gini y de Theil, en EEUU. Utilizan el para medir si la diferencia entre el grado de desigualdad antes y después de impuestos es estadísticamente distinta de cero entre los años 1983 y 1988. Emplean la para analizar la evolución, entre 1984 y 1989, de la desigualdad entre los jóvenes, descomponiéndola por grupos de edad. Sin embargo, los autores no tienen en cuenta el diseño complejo de las encuestas con las que trabajan. De hecho, el método bootstrap, tal y como fue concebido por Efron (1979) y descrito en este trabajo anteriormente, no puede ser aplicado sin modificación a muestras diseñadas de modo bietápico y estratificado como la EES. La razón es simple. El bootstrap fue creado para su utilización en muestras iid, por lo que su aplicación en muestras complejas tendrá las mismas consecuencias que la omisión del diseño tiene sobre los estimadores tradicionales.

Biewen (2002a, 2002b) muestra la consistencia del método bootstrap para la realización de inferencia sobre medidas de desigualdad y movilidad en muestras donde existen correlación intra hogar y diferentes probabilidades de inclusión. Haciendo uso de índices de desigualdad aditivamente descomponibles, cuantifica el error cometido en la estimación por no tener en cuenta el diseño del La estrategia seguida por Biewen consiste en reformular el procedimiento de estimación con el objetivo de aplicar la metodología bootstrap estándar. Interpreta los datos observados como una muestra iid de tamaño n extraída de una función de distribución conjunta de ponderaciones y rentas. Para tener en cuenta la posibilidad de que exista asociación entre observaciones (individuos)

seB

bθ, seF (θn),

B→∞

⁵⁶ El límite de se _B cuando B es la estimación bootstrap ideal, , del error se_F (θ∗_n) estándar de

lim se _B = se (θ_n) = se (θ∗_n), B→∞

(Efron y Tibshirani, 1993).

⁵⁷Panel Study of Income Dynamics

⁵⁸ National Longitudinal Survey of Youth.

⁵⁹German Socio-Economic Panel.

dentro de un mismo cluster⁶⁰ (hogar), introduce variables dummy que reflejan la posición ocupada por cada integrante del hogar. Por último, realiza una descomposición del grado de desigualdad en dos componentes: la desigualdad existente dentro de cada subgrupo de individuos con idénticas posiciones en sus hogares la desigualdad entre estos subgrupos. Asumiendo que los datos observados son de la forma

\[y _ {i} = \left(f _ {1 i}, x _ {1 i}, c _ {1 i}, f _ {2 i}, x _ {2 i}, c _ {2 i}, \dots , f _ {H i}, x _ {H i}, c _ {H i}\right),\]

donde son el factor de elevación la renta del individuo i en el hogar respectivamente, es una dummy que indica la tipología del individuo i (cabeza de familia, cónyuge, ascendientes, descendientes, etc.) en el hogar h, la aplicación de la técnica bootstrap a y_i permite incorporar al análisis la estructura de covarianzas de tipos y rentas de los hogares, así como la correlación existente entre los ingresos percibidos por los miembros que ocupan diferentes posiciones dentro del hogar.

Sin embargo, el procedimiento descrito anteriormente no es aplicable en nuestro caso. En primer lugar, no podemos equiparar la estructura de un hogar, con una gama limitada de posibles miembros, con la estructura jerárquica de una empresa, de mayor dimensión y con empleados que pueden estar desarrollando una misma ocupación. Si utilizásemos el método propuesto por Biewen, la dimensión del vector sería tal que nos impediría llevar a cabo el proceso de remuestreo. En segundo lugar, se supone (de forma implícita) que el grado de correlación entre las ingresos de los integrantes de un hogar es una función de su tamaño, y está motivado por la posibilidad de que las decisiones de oferta de trabajo se tomen conjuntamente dentro del mismo. Las causas de la correlación salarial intra empresa son más difusas, puesto que no solamente dependen del tamaño de la firma, sino también de la política retributiva implementada, del tipo de convenio que cubre al trabajador, del sector en el que la empresa desarrolla su actividad, etc. Por último, en las encuestas a hogares, se incluye a todos los miembros de la unidad familiar una vez que ésta ha sido seleccionada para formar parte de la muestra. En las encuestas a empresas esto no sucede. De hecho, en la EES, la selección de trabajadores dentro de cada empresa se realizó por medio de un muestreo sistemático (con listas de trabajadores ordenadas por grupo de cotización a la Seguridad Social). La utilización del método de Biewen nos llevaría a incurrir en un sesgo adicional en la medida que no todos los empleados de una empresa tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en cada replicación; los trabajadores no incluidos en la muestra original tendrán probabilidad cero.

El bootstrap propuesto en nuestro caso es una variante del sugerido por Deaton (1997) para muestras bietápicas estratificadas. Está inspirado en la concepción del bootstrap como método de replicación, en donde cada una de las B muestras debe ser obtenida “del modo más similar posible” a como ha sido seleccionada la muestra original. Por tanto, el proceso de estimación bootstrap en dos etapas que hemos diseñado se desarrolla como sigue:

⁶⁰ Biewen (2002a, 2002b) considera la existencia de clustering a nivel de hogar, mientras que Van Kerm (2002) plantea la posibilidad de formación de clusters en una etapa anterior (área geográfica).

1. Se genera una muestra bootstrap de tamaño con reemplazamiento de clusters para cada estrato representa el número de unidades primarias dentro de cada estrato.

2. Se seleccionan de forma aleatoria unidades finales (trabajadores) dentro de cada cluster ⁶¹, de tal forma que el número de unidades finales seleccionadas dentro de cada unidad primaria en cada replicación sea igual al número de unidades finales originalmente encuestadas.

3. Se calcula el parámetro de interés (índice de desigualdad) a partir de la muestra bootstrap de unidades primarias y finales,

\[\widehat {I _ {n} ^ {*}} = t (w ^ {*}, f ^ {*}).\]

4. Se repiten los pasos 1 3 un número lo suficientemente elevado de veces, B, para calcular

\[\widehat {I _ {n} ^ {* j}} = t (w ^ {* j}, f ^ {* j}), j = 1, \dots , B.\]

Debemos destacar que el procedimiento sugerido no está exento de problemas. En la EES, tanto en primera como en segunda etapa, la selección de unidades se realizó por medio de un muestreo sistemático, mientras que las muestras bootstrap son extraídas mediante muestreo aleatorio simple. Esta diferencia no supondría un inconveniente si el orden en el cual las unidades aparecen en el marco o lista es aleatorio; en tal caso, el muestreo sistemático proporciona estimadores equivalentes a los obtenidos mediante muestreo aleatorio simple. Por el contrario, si el orden no es aleatorio, el efecto del muestreo sistemático sobre la variabilidad muestral de las estimaciones dependerá de cómo las unidades hayan sido previamente ordenadas.

La selección de empresas (centros de cotización) dentro de cada estrato puede asimilarse con el primer caso, puesto que no tenemos motivos para pensar que existe semejanza, más allá de la que ha sido originada por el propio proceso de estratificación, entre las empresas incluidas en la lista. Sin embargo, la selección de empleados dentro de cada empresa se realizó a partir de listas de trabajadores ordenadas por grupo de cotización a la Seguridad Social, con el objetivo de asegurar la representatividad de los distintos grupos de cotización. Por este motivo, el grado de heterogeneidad entre trabajadores “adyacentes” será menor al de la población original. Este hecho induce lo que se ha dado en llamar estratificación implícita. Su efecto sobre la precisión de los estimadores es similar (aunque de menor magnitud) al de la estratificación explícita, reduciendo su varianza, por lo que ignorar el carácter sistemático del muestreo puede provocar una infraestimación de la precisión de los estimadores. Las pruebas realizadas para la EES nos indican que cuando el número de replicaciones es lo suficientemente elevado (500 o más), la diferencia entre el error estándar bootstrap obtenido mediante el procedimiento descrito y el utilizado por Kauf man es despreciable.

w, y

f,

⁶¹ Identificamos cada trabajador por su salario, w, y factor de elevación, f, respectivos.

Al igual que en el enfoque clásico (paramétrico), una forma paralela de abordar el problema consiste en la construcción de intervalos de confianza que permitan precisar el grado de incertidumbre existente en la estimación. es la diferencia entre la estimación por intervalo clásica la elaboración de intervalos de confianza mediante bootstrap? En el contexto paramétrico tradicional, fijado un nivel de significación , la obtención de las cotas inferior y superior del intervalo de confianza de un estimador requiere no sólo el conocimiento de la distribución muestral del estadístico, sino también que dicha distribución sea la misma para diferentes valores del parámetro. Sin embargo, en ocasiones no es posible conocer la distribución muestral de . Las dificultades derivadas de este inconveniente pueden ser superadas mediante la utilización del método bootstrap. El hecho de que esta técnica no proporcione intervalos de confianza exactos ha favorecido la aparición de diversas aproximaciones. Una revisión de las mismas la podemos encontrar en Efron (1987) y Efron Tibshirani (1993).

El método que aconsejamos en este trabajo para computar intervalos de confianza es el denominado percentil corregido por el sesgo (método BC). La distribución bootstrap de los índices de desigualdad estimados es aproximadamente normal, tanto para España como para las dieciocho CCAA analizadas. Este resultado justificaría la utilización del método de la aproximación normal para el cálculo de intervalos confidenciales,

\[P \left(\theta \in \left[ \widehat {\theta} - t _ {1 - \alpha / 2; B - 1} \cdot \widehat {s e} _ {B}, \widehat {\theta} + t _ {1 - \alpha / 2; B - 1} \cdot \widehat {s e} _ {B} \right]\right) = 1 - \alpha ,\]

donde es el cuantil de la distribución t-Student con B-1 grados de libertad. Sin embargo, el objetivo no es tanto contrastar la existencia o no de desigualdad en una región, sino conocer si su grado de desigualdad salarial es significativamente distinto al de otras. Para ello, Mills Zandvakili (1997) proponen un test similar al de igualdad de medias de dos muestras independientes.

Sea un modelo probabilístico generador de los datos que observamos (x). Entendemos como una dupla de funciones de distribución independientes

\[P = \left(F _ {0} ^ {1}, F _ {0} ^ {2}\right),\]

donde es la función de distribución de para la región . Sean las realizaciones observadas de las muestras de tamaños n₁ y n₂,

\[x = \left(x ^ {1}, x ^ {2}\right)\]

Si denotamos por las funciones de distribución empíricas de 2 dun estimador natural de es:

\[\widehat {P} = \left(\widehat {F _ {n _ {1}} ^ {1}}, \widehat {F _ {n _ {2}} ^ {2}}\right)\]

⁶² Kaufman (1999, 2000) propone un bootstrap en donde se tiene en cuenta el carácter sistemático de un muestreo con probabilidades proporcionales al tamaño.

Definimos por dθ la diferencia del parámetro θ entre las regiones 1

\[d \theta = \theta^ {1} - \theta^ {2},\]

y por la distribución muestral exacta de dθ. Al igual que en el caso de una única muestra, el estimador bootstrap de , es obtenido bmediante un experimento de Monte Carlo análogo al descrito anteriormente. Consiste en simular la distribución de extrayendo muestras de tamaños c c cde las funciones de distribución empíricas, computando, en cada replicación, la diferencia entre los parámetros estimados en las dos muestras. Cuando este proceso se repite B veces, obtenemos⁶³

\[\widehat {d \theta_ {n} ^ {* j}} = \widehat {\theta_ {n _ {1}} ^ {1 * j}} - \widehat {\theta_ {n _ {2}} ^ {2 * j}},\]

donde

En nuestro caso, cuando examinamos la normalidad de la distribución bootstrap del estimador , observamos que el método de la aproximación normal dsobreestima los límites del intervalo de confianza, principalmente la cota superior64. Este resultado justificaría la utilización de los percentiles de la distribución bootstrap del estimador como límites del intervalo de confianza (método percentil),

\[P \left(d \theta \in \left[ \widehat {d \theta^ {*}} _ {\alpha / 2}, \widehat {d \theta^ {*}} _ {1 - \alpha / 2} \right]\right) = 1 - \alpha ,\]

donde es el 100β esimo ´ percentil de la distribución bootstrap El principal inconveniente del método percentil es que asume la inexistencia de sesgo, entendido éste como la diferencia entre el valor mediano de la distribución bootstrap y el estimador (muestral) Cuando el sesgo existe, la cobertura real cdel intervalo de confianza es distinta a la nominal , hecho que no tiene en cuenta el método percentil. Por este y otros motivos, se propone el método percentil corregido por el sesgo⁶⁵.

⁶³ El hecho de que sea calculado a partir de dos muestras no afecta a la definición del derror estándar bootstrap dada en (58), por lo que se cumple que:

lim se _B = se_P(dθ∗_n) B→∞

⁶⁴ Obsérvese que el método de la aproximación normal establece una fuerte restricción al imponer la normalidad de la distribución muestral (y bootstrap) del estadístico. Por este motivo, la existencia de valores extremos y de ligeras asimetrías se traducen en intervalos de confianza menos precisos.

⁶⁵ Los extremos del intervalo de confianza construido mediante el método BC son precisos de segundo orden, i.e.,

P ³θ ≤ θBCα´ = α + O(n−¹),

mientras que los obtenidos por el método percentil son precisos de primer orden, i.e,

P ³θ ≤ θ^P α´ = α + O(n− ¹2 ),

y por tanto, de mayor magnitud.

Al igual que en el caso anterior, el método BC establece como extremos del intervalo percentiles de la distibución bootstrap del estimador, pero corrige estos valores según la magnitud del sesgo en el que se incurre:

\[P \left(d \theta \in \left[ \widehat {d \theta^ {*}} _ {\alpha_ {1}}, \widehat {d \theta^ {*}} _ {\alpha_ {2}} \right]\right) = 1 - \alpha ,\]

donde

\[\begin{array}{r c l} \alpha_ {1} & = & \Phi (2 \widehat {z} _ {0} - z _ {1 - \alpha / 2}), \\ \alpha_ {2} & = & \Phi (2 \widehat {z} _ {0} + z _ {1 - \alpha / 2}) \end{array}\]

denota la función de distribución acumulativa normal estándar, es el -percentil de la distribución normal estándar es el valor que mide la corrección por el sesgo. El sesgo mediano de b, se obtiene a partir c bde la proporción de observaciones de la distribución bootstrap que son menores o iguales que ,

\[\widehat {z} _ {0} = \Phi^ {- 1} \left\{\frac {\# \left(\widehat {d \theta_ {n} ^ {*}} \leq \widehat {d \theta_ {n} ^ {*}}\right)}{B} \right\}\]

Cuando , la mitad de los B estimadores bootstrap son menores o iguales que . En este caso,

\[\alpha_ {1} = \Phi (z _ {1 - \alpha / 2}) = \alpha , \alpha_ {2} = \Phi (- z _ {1 - \alpha / 2}) = 1 - \alpha ,\]

por lo que el método BC proporciona los mismos intervalos de confianza que el método percentil. Si el intervalo de confianza aproximado no incluye el valor cero, podemos concluir que la diferencia entre el grado de desigualdad salarial de dos subpoblaciones independientes es estadísticamente significativo con una probabilidad de

6 Conclusiones

La cuantificación de la desigualdad ha recibido una creciente atención en la literatura económica en las últimas décadas. Este trabajo teórico pretende ofrecer una descripción detallada de los métodos de estimación e inferencia estadística de medidas de desigualdad, así como de los problemas derivados de la utilización de muestras diseñadas de modo complejo.

Siguiendo a Kakwani (1990), Cowell (2000) y Giorgi (1999), hemos desarrollado una aproximación estadística al estudio de la desigualdad salarial. Dejando a un lado los problemas asociados a la recogida de datos y a la necesidad de preservar el secreto estadístico, la aproximación realizada explota la analogía existente entre la función de distribución de probabilidad la función de distribución del salario. Si denotamos por Ω el espacio de todas las distribuciones salariales posibles es una variable aleatoria distribuida de acuerdo a la retribución salarial de cada una de las observaciones de las que disponemos, w, es una realización particular de W. El problema estriba en el hecho de que no conocemos F, i. e., no disponemos de una enumeración completa de todas las unidades integrantes de la población, sino tan sólo de una muestra extraída de la misma. Dado que F es desconocida, utilizaremos la función de distribución empírica como una estimación de la misma, , la cual asigna a bcada observación en la muestra su masa de probabilidad asociada.

Así por tanto, el estudio moderno de la medición de la desigualdad económica está estrechamente ligado a la adaptación de métodos cuantitativos y técnicas analíticas relativamente sofisticados a datos muestrales y, por lo tanto, imperfectos. Este hecho, unido a que, por una parte, no existe un único modo de seleccionar las unidades que formarán parte de la muestra y, por otra, que los procesos de estimación e inferencia no son robustos al diseño muestral, dificulta el modo de abordar el problema.

Un ejemplo de la importancia del error muestral, provocado por la no disponibilidad de información sobre el total de la población, y del error de diseño, derivado de los problemas inherentes al procedimiento de muestreo utilizado, lo encontramos cuando empleamos los datos de la EES para cuantificar el grado de desigualdad salarial en España. Tal y como hemos demostrado, tanto los estimadores de parámetros poblacionales (en nuestro caso, medidas de desigualdad), como su varianza muestral no pueden ser computados mediante los métodos tradicionales cuando las observaciones han sido seleccionadas siguiendo un diseño complejo. Por este motivo, sugerimos el método de ecuaciones de estimación (Binder, 1983, 1991; Binder y Kova˘cevi´c, 1993,1997) para calcular las ordenadas de las CLs y sus errores estándar, mientras que optamos por el método de momentos (Cowell, 1989; Maasoumi, 1997) y una variante del bootstrap propuesto por Deaton (1997) para los índices completos de desigualdad.

Este trabajo constituye una primera aproximación al estudio del papel que el diseño muestral juega en la medición de la desigualdad. Las posibles extensiones irán encaminadas en tres direcciones. En primer lugar, completar el análisis teórico realizado con un estudio empírico que nos permita cuantificar el impacto del diseño de la EES sobre la estimación e inferencia de medidas de desigualdad.

En segundo lugar, se debe analizar la importancia del análisis inferencial y los efectos diseño en la descomposición del grado de desigualdad salarial por subgrupos de población. Los objetivos son:

a.) Conocer qué características individuales del trabajador y de la empresa en la que desarrolla su actividad contribuyen en mayor medida a explicar el valor estimado del índice aditivamente descomponible.

b.) Analizar el grado de dependencia de la contribución de cada variable y de su significatividad al tipo de diseño.

Por último, la futura aparición de una nueva EES nos permitirá poner en práctica un análisis longitudinal, en donde trataremos de cuantificar, de forma correcta, el valor del cambio en el nivel de desigualdad salarial en España.

Referencias

References

1. [1] Atkinson, A. B. (1970): “On the measurement of inequality”, Journal of Economic Theory, 2, pp. 244-263

References

1. [2] Beach, C. M.; Davidson, R. (1983): “Distribution-free statistical inference with Lorenz curves and income shares”, The Review of Economic Studies, 50 (4), pp. 723-735.

References

1. [3] Beach, C. M.; Kaliski, S. F. (1986): “Lorenz curve inference with sample weights: an application to the distribution of unemployment experience”, Applied Statistics, 35 (1), pp. 38-45.

References

1. [4] Biewen, M. (2002a): “Measuring inequality in the presence of intra-household correlation”, Applied Economics Letters, 9, pp. 1003-1006.

References

1. [5] Biewen, M. (2002b): “Bootstrap inference for inequality, mobility and poverty measurement”, Journal of Econometrics, 108, pp. 317-342.

References

1. [6] Biewen, M.; Jenkins, S. P. (2003): “Estimation of generalized entropy and Atkinson inequality indices from complex survey data”, IZA Discussion Paper 763, Bonn.

References

1. [7] Binder, D. A. (1983): “On the variances of asymptotically normal estimators from complex surveys”, International Statistical Review, 51, pp. 279-292.

References

1. [8] Binder, D. A. (1991): “Use of estimating functions for interval estimation from complex surveys”, Proceedings of the Survey Research Methods Section, American Statistical Association (1991), pp. 34-42.

References

1. [9] Binder, D. A.; Patak, Z. (1994): “Use of estimating functions for estimation from complex surveys”, Journal of the American Statistical Association, 89, pp. 1035- 1043.

References

1. [10] Binder, D. A.; Kova˘cevi´c, M. S. (1993): “Estimating some measures of income inequality from survey data: An application of the estimating equations approach”, Proceedings of the Survey Research Methods Section, American Statistical Association, pp. 550-555.

References

1. [11] Binder, D. A.; Kova˘cevi´c, M. S. (1997): “Variance estimation for measures of income inequality and polarization. The estimating equations approach”, Journal of Oficial Statistics, Vol. 13, 1, pp. 41-58.

References

1. [12] Bishop, J. A.; Chakravorti, S.; Thistle, P. D. (1988): “Large sample test for absolute Lorenz dominance”, Economic Letters, 23, pp. 291-294.

References

1. [13] Bishop, J. A.; Chakravorti, S.; Thistle, P. D. (1989): “Asymptotically distribution free statistical inference for generalized Lorenz curves”, Review of Economics and Statistics, 71, pp. 725-727.

References

1. [14] Bishop, J. A.; Chakravorti, S.; Thistle, P. D. (1994): “Relative inequality, absolute inequality, and welfare: large sample test for partial orders”, Bulletin of Economic Research, 46 (1), pp. 41-59.

References

1. [15] Bishop, J. A.; Chow, K. V.; Formby, J. P. (1994): “A large sample test for diferences between Lorenz and concentration curves”, International Economic Review, 35, pp. 479-488.

References

1. [16] Bishop, J. A.; Formby, J. P.; Thistle, P. D. (1989): “Statistical inference, income distributions, and social welfare”, Research on Economic Inequality, 1, pp. 49-82.

References

1. [17] Bishop, J. A.; Formby, J. P. (1999): “Test of significance for Lorenz partial orders”. In J. Silber (ed.) Handbook on Income Inequality Measurement, pp. 315-340, Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London.

References

1. [18] Blackorby, C.; Donaldson, D. (1978): “Measures of relative inequality and their meaning in terms of social welfare”, Journal of Economic Theory, 18, pp. 59-80.

References

1. [19] Blackorby, C.; Bossert, W.; Donaldson, D. (1999): “Income inequality measurement: the normative approach”. In J. Silber (ed.) Handbook on Income Inequality Measurement, pp. 133-161, Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London.

References

1. [20] Bourguigon, F. (1979): “Decomposable income inequality measures”, Econometrica, 47, pp. 901-920.

References

1. [21] Cochrane, W.G. (1977): Sampling Techniques. 3^oedition. Wiley, New York.

References

1. [22] Cowell, F. A. (1989) : “Sampling variance and decomposable inequality measures”, Journal of Econometrics, 42, N^o1, pp.27-42.

References

1. [23] Cowell, F. A.; Victoria-Feser, M.-P. (1994): “Robustness properties of inequality measures: The influence function and the principle of transfers”, DARP Discussion Paper 1, STICERD, London Schoool of Economics, London.

References

1. [24] Cowell, F. A. (1999): “Estimation of inequality indices”. In J. Silber (ed.) Handbook on Income Inequality Measurement, pp. 163-186, Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London.

References

1. [25] Cowell, F. A. (2000): “Measurement of inequality”. In A. B. Atkinson and F. Bourguigon (eds.), Handbook of Income Distribution, vol. 1, Handbooks in Economics 16, pp. 269-290, North Holland, Elsevier, Amsterdam.

References

1. [26] Cuevas, A.; Romo, J. A. (1997): ”Diferentiable functionals and smoothed bootstrap”, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 49, pp. 355-370.

References

1. [27] Davidson, E.; Duclos, J.-Y. (1997): “Statistical inference for the measurement of the incidence of taxes and transfers”, Econometrica 65, pp. 1453-1465.

References

1. [28] Dalton, H. (1920): “The measurement of inequality of incomes”, Economic Journal, 30, pp. 348-361.

References

1. [29] Deaton, A. (1997): The Analysis of Household Surveys. A Microeconometric Approach to Development Policy. The World Bank. The John Hopkins University Press, Baltimore.

References

1. [30] Efron, B. (1979): “Bootstrap methods: another look at the jackknife”; The Annals of Statistics, 7, pp. 1-26.

References

1. [31] Efron, B. (1987): “Better bootstrap confidence intervals”, Journal ofthe American Statistical Association, 82, pp. 171-200.

References

1. [32] Efron, B.; Tibshirani, R. J. (1993): An introduction to the bootstrap. Monographs on Statistics an Applied Probability 57. Chapman & Hall. New York.

References

1. [33] Gail, M. H.; Gastwirth, J. L. (1978): “A scale-free goodness-of-fit test for the exponential distribution based on the Lorenz curve”, Journal of the American Statistical Association, 73, pp. 787-793.

References

1. [34] García, J. R. (2003): “Diseños complejos: una aplicación al estudio de la desigualdad salarial en España”, Universidad de Santiago de Compostela, mimeo.

References

1. [35] Gastwirth, J. L. (1971): “A general definition of the Lorenz curve”, Econometrica, 39, pp. 1037-1039.

References

1. [36] Gastwirth, J. L. (1974): “Large sample theory of some measures of inequality”, Econometrica, 42, pp. 191-196.

References

1. [37] Giorgi, G. M. (1999): “Income inequality measurement: the statistical approach”. In J. Silber (ed.) Handbook on Income Inequality Measurement, pp. 245-267, Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London.

References

1. [38] Hall, P. (1994): “Methodology and theory for the bootstrap”. In R. F. Engle and D. L. McFaden (eds.) Handbook of Econometrics, Vol. IV, pp. 2341-2379, Elsevier Science BV., North-Holland.

References

1. [39] Hochberg, Y.; Tamhane, A. C. (1987): Multiple comparison procedures. Wiley Series in probability and mathematical statistics, John Wiley & Sons, New York.

References

1. [40] Horowitz, J. L. (2001): “The bootstrap”. In J.J. Heckman and E.E. Leamer (eds.), Handbook of Econometrics, Vol. V, pp. 3159-3228, Elsevier Science B.V., North-Holland.

References

1. [41] INE-UAM (1996): Encuesta de Presupuestos Familiares. Desigualdad y Pobreza en España. Instituto Nacional de Estadística. Madrid.

References

1. [42] INE (1997): Encuesta de Estructura Salarial 1995. Instituto Nacional de Estadística. Madrid.

References

1. [43] Kakwani, N. (1990): “Large sample distribution of several inequality measures: with application to Côte dÍvoire”, Living Standards Measurement Study (LSMS), Working Paper 61, The World Bank, Washinton, D. C.

References

1. [44] Kaufman, S. (1999): ”Using the bootstrap to estimate the variance from a single systematic PPS sample”, Proceedings of the Survey Research Methods Section, American Statistical Association, pp. 683-688.

References

1. [45] Kaufman, S. (2000): ”Using the bootstrap to estimate the variance in a very complex sample design”, Proceedings of the Survey Research Methods Section, American Statistical Association, pp. 180-185.

References

1. [46] Kish, L. (1965): Survey Sampling. Wiley, New York.

References

1. [47] Kish, L. (1982): Dessign efect. In S. Kotz and N. L. Johnson (eds.) Encyclopedia of Statistical Sciences, Volume 2, pp. 347-348. Wiley, New York.

References

1. [48] Kolm, S-C. (1999): “Rational foundations of income inequality measurement”. In J. Silber (ed.) Handbook on Income Inequality Measurement, pp. 19-100, Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London.

References

1. [49] Maasoumi, E. (1997): “Empirical analysis of inequality and welfare”. In M. H. Pesaran and P. Schmidt (eds.), Handbook of Applied Econometrics. Vol II: Microeconometrics, Blackwell Handbooks in Economics, pp. 202-245, Blackwell Publishers Ltd., Oxford.

References

1. [50] Mills, J. A.; Zandvakili, S. (1997): “Statistical inference via bootstraping for measures of inequality”, Journal of Applied Econometrics, 12, pp. 133-150.

References

1. [51] Mirás, J. (2000): Elementos de muestreo para poblaciones finitas. Instituto Nacional de Estadística, Colección de Libros de Autor, Madrid.

References

1. [52] Nygård, F.; Sandström, A. (1981): Measuring income inequality. Almqvist and Wiksell International, Stockholm.

References

1. [53] Río, C. (del); Ruiz-Castillo, J. (1996): “Ordenaciones de bienestar e inferencia estadística. El caso de las EPF de 1980-81 y 1990-91”, en VV.AA La desigualdad de recursos. (II Simposio sobre Igualdad y Distribución de la Renta y la Riqueza), pp. 9-44, Colección Igualdad, Vol VI, Fundación Argentaria, Visor Dis., Madrid.

References

1. [54] Romo, J. (1994): “Técnicas bootstrap en econometría: una introducción”, ICE Cuadernos Económicos , 56 (1), pp. 179-194.

References

1. [55] Ryu, H. K.; Slottje, D. J. (1999): “Parametric approximations of the Lorenz curve”. In J. Silber (ed.) Handbook on Income Inequality Measurement, pp. 291- 314, Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London.

References

1. [56] Savin, N. E. (1984): “Multiple hypothesis testing”. In Z. Griliches and M. Intrilligator (eds.), Handbook of Econometrics, vol. II, pp. 827-879, Elsevier Science Publishers, North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford.

References

1. [57] Schluter, C.; Trede, M. (1998): “Statistical inference for inequality measurement with dependent data”, Bristol Economics, Discussion Papers N^o98/456.

References

1. [58] Sen, A. (1973): On economic inequality. Oxford University Press. Oxford.

References

1. [59] Sen, K. (1988): “Asymptotics in finite population sampling”. In P. R. Krishnaiah and C. R. Rao (eds.), Handbook of Statistics, vol. 6, pp. 291-331, Elsevier Science Publishers, North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford.

References

1. [60] Sendler, W. (1979): “On statistical inference in concentration measurement”, Metrika, 26, pp. 109-122.

References

1. [61] Shao, J.; Tu, D. (1995): The jackknife and bootstrap. Springer-Verlag, New York.

References

1. [62] Stoline, M. R.; Ury, H. K. (1979): “Table of the Studentized Maximum Modulus distribution and an application to multiple comparisons among means”, Technometrics, Vol. 21, pp. 87-93.

References

1. [63] Theil, H. (1967): Economics and information theory. Norht-Holland, Amsterdam.

References

1. [64] Thistle, P. D. (1990): “Large sample properties of two inequality indices”, Econometrica, 58, pp. 725-728.

References

1. [65] Van Kerm, P. (2002): “Inference on inequality measures: A Monte Carlo experiment”, in P. Moyes, C. Seidl and A.F. Shorrocks (eds.), Inequalities: Theory, Experiments and Applications, Journal of Economics, Supplement 9, 283-306.

Apéndices

Supongamos que disponemos de una muestra aleatoria simple con reposición de n observaciones extraída de una población de tamaño N. Un estimador insesgado de la media poblacional, X , sería la media muestral,

\[\bar {x} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}\tag{A.1}\]

La varianza estimada de x¯ será,

\[\hat {v} (\bar {x}) = \frac {1}{n} \hat {s} ^ {2}\tag{A.2}\]

donde viene dado por,

\[\hat {s} ^ {2} = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - \bar {x}) ^ {2}\]

Si las probabilidades de inclusión en la muestra difieren para cada observación, la estimación de la media poblacional se correspondería con⁶⁷,

\[\bar {x} _ {f} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i}}\tag{A.3}\]

siendo el factor de elevación,

\[f _ {i} = \frac {1}{n \pi_ {i}}\]

La varianza de es el cociente de dos estimaciones: un estimador del total poblacional de X, un estimador del tamaño poblacional, . La varianza de dicho cociente puede ser aproximada mediante una expansión en serie de Taylor de primer orden⁶

\[V (\bar {x} _ {f}) \approx \frac {1}{N ^ {2}} \left[ V (\hat {X} _ {T}) - 2 \bar {X} C o v (\hat {X} _ {T}, \hat {N}) + \bar {X} ^ {2} V (\hat {N}) \right]\]

y

⁶⁶ Véase Cochrane (1977) y Deaton (1997) para una discusión en mayor profundidad sobre el tema.

67xf

⁶⁷ x¯_f es un estimador sesgado de la media poblacional. Sin embargo, es asintóticamente insesgado, puesto que tanto la varianza del numerador como la del denominador de A.3 convergen a 0 cuando n tiende a infinito

⁶⁸ Este procedimiento se ha dado en llamar método delta.

lo cual, en este caso, nos conduce a,

\[V (\bar {x} _ {f}) \approx \frac {1}{N ^ {2}} \sum_ {i = 1} ^ {N} f _ {i} (x _ {i} - \bar {X}) ^ {2}\]

La expresión anterior puede ser estimada a partir de la muestra mediante,

\[\hat {v} (\bar {x} _ {f}) = \frac {n}{n - 1} \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} ^ {2} (x _ {i} - \bar {x} _ {f}) ^ {2}}{(\sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i}) ^ {2}}\tag{A.4}\]

Consideremos ahora un diseño muestral definido sobre una población estratificada en estratos, siendo el factor de elevación de la observación i en el estrato ,

\[f _ {h i} = \frac {1}{n _ {h} \pi_ {h i}}\]

Podemos definir un estimador de la media poblacional como,

\[\bar {x} _ {f} = \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h}} f _ {h i} x _ {h i}}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h}} f _ {h i}}\tag{A.5}\]

Calcularemos una estimación de la varianza de del siguiente modo,

\[\hat {v} (\bar {x} _ {f}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {n _ {h}}{n _ {h} - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h}} \left[ (f _ {h i} x _ {h i} - \bar {f} _ {h} \bar {x} _ {h}) - (f _ {h i} - \bar {f} _ {h}) \bar {x} _ {f} \right] ^ {2}\tag{A.6}\]

Para conocer cuál es la ganancia de precisión en la estimación de la media poblacional originada por la estratificación, debemos comparar la varianza obtenida de un muestreo aleatorio no estratificado,

\[V (\bar {x} _ {N E}) = \frac {1}{n} S ^ {2}\]

con la calculada a partir de un muestreo aleatorio estratificado⁶⁹,

\[V (\bar {x} _ {E}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \left(\frac {N _ {h}}{N}\right) ^ {2} \frac {S _ {h} ^ {2}}{n _ {h}}\]

Consideremos la siguiente descomposición,

\[(N - 1) S ^ {2} = \sum_ {h = 1} ^ {H} (N _ {h} - 1) S _ {h} ^ {2} + \sum_ {h = 1} ^ {H} N _ {h} (\bar {X} _ {h} - \bar {X}) ^ {2}\]

⁶⁹ Dado que no modifican las conclusiones de la demostración, omitiremos la existencia de factores de elevación para simplicar el análisis.

Si aproximamos la fracción de muestreo del estrato h, ,

\[\frac {N _ {h}}{N} \approx \frac {(N _ {h} - 1)}{(N - 1)} \mathrm{y} \frac {N _ {h}}{N} \approx \frac {N _ {h}}{(N - 1)}\]

obtendremos la expresión,

\[S ^ {2} \approx \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {N _ {h}}{N} S _ {h} ^ {2} + \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {N _ {h}}{N} (\bar {X} _ {h} - \bar {X}) ^ {2}\]

de la cual se deduce,

\[V (\bar {x} _ {N E}) \approx V (\bar {x} _ {E}) + \left[ \frac {1}{n} \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {N _ {h}}{N} S _ {h} ^ {2} - \sum_ {h = 1} ^ {H} \left(\frac {N _ {h}}{N}\right) ^ {2} \frac {S _ {h} ^ {2}}{n _ {h}} \right] + \frac {1}{n} \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {N _ {h}}{N} (\bar {X} _ {h} - \bar {X}) ^ {2}\]

El tercer sumando es siempre positivo (por definición). El signo del segundo dependerá del tipo de afijación muestral. Si la afijación es proporcional, esto es, , el segundo sumando se anulará, por lo que siempre será mayor que . Este resultado nos indica que, para un diseño estratificado con afijación proporcional, la ganancia de precisión⁷⁰ dependerá positivamente del grado de dispersión de los valores medios de los estratos

Por último, analizaremos un diseño bietápico estratificado similar al utilizado para elaborar la EES: en la primera etapa, se seleccionan los clusters o unidades primarias (centros de cotización) y en la segunda, las unidades estadísticas finales (asalariados) dentro de cada cluster. Las probabilidades de selección pueden diferir en cualquiera de las dos etapas del diseño, entre clusters o entre unidades finales dentro de cada cluster. La estimación de la media poblacional no se verá especialmente alterada por el carácter bietápico del diseño de la muestra, con relación al caso en el que considerábamos la estratificación como el único componente de la complejidad. Sin embargo, la variabilidad muestral de dicha estimación sí estará afectada por el diseño.

Plantearemos dos escenarios. En el primero, solamente consideraremos un único estrato, lo que nos permite simplificar la notación para poder definir con claridad una serie de conceptos relevantes. El segundo reproduce, con ligeras diferencias, el diseño de la EES.

Escenario 1

Sea el número de unidades primarias en la población. Supongamos que las probabilidades de selección son diferentes en ambas etapas. Denotamos por la probabilidad de selección del cluster c en la primera etapa y por , la probabilidad de que la observación i sea incluida en la muestra en la segunda etapa, condicionada a que c lo haya sido en la primera⁷¹. Por este motivo, debemos definir un factor de elevación específico para cada etapa del diseño:

⁷⁰ Si la asignación fuese óptima, la ganancia de precisión sería todavía mayor.

πicπc

⁷¹ Por lo tanto, la probabilidad (no condicionada) de que el empleado i en la empresa c entre a formar parte de la muestra será πicπ_c

1^aEtapa

\[f ^ {1} = \frac {1}{n _ {c} \pi_ {c}}\]

2^aEtapa

\[f ^ {2} = \frac {1}{m _ {c} \pi_ {c i}}\]

donde es el número de clusters seleccionados de la población el número de unidades finales dentro de cada cluster. El factor de elevación total, el número de observaciones en la población representadas por la unidad final i, será,

\[f _ {i c} = \frac {1}{\pi_ {c} \pi_ {c i} m _ {c} n _ {c}}\]

El estimador de la media poblacional vendrá dado por,

\[\overline {{x _ {f}}} = \frac {\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} \sum_ {i = 1} ^ {m _ {c}} f _ {c i} x _ {c i}}{\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} \sum_ {i = 1} ^ {m _ {c}} f _ {c i}} = \frac {\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} f _ {c} \bar {x} _ {c f}}{\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} f _ {c}}\tag{A.7}\]

donde es la media ponderada para el cluster c.

Para cacular la varianza de A.7 debemos tomar esperanzas en dos etapas, de tal modo que,

\[E \left(\bar {x} _ {f}\right) = E _ {1} \left[ E _ {2} \left(\bar {x} _ {f}\right) \right]\]

donde es tomada con respecto a la segunda etapa del diseño, tratando la selección de clusters como fija, es tomada con respecto a la selección de los clusters. La varianza vendrá dada por:

\[V \left(\bar {x} _ {f}\right) = V _ {1} \left[ E _ {2} \left(\bar {x} _ {f}\right) \right] + E _ {1} \left[ V _ {2} \left(\bar {x} _ {f}\right) \right]\]

Un estimador consistente de puede ser obtenido mediante A.8,

\[\hat {v} (\bar {x} _ {f}) = \frac {n _ {c}}{n _ {c} - 1} \frac {\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} f _ {c} ^ {2} (\bar {x} _ {c f} - \bar {x} _ {f}) ^ {2}}{(\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} f _ {c}) ^ {2}}\tag{A.8}\]

A pesar de su similitud formal con la expresión A.4, la varianza calculada a partir de la expresión A.8 es diferente de la fórmula correspondiente cuando el diseño no incluye clustering. Ilustraremos esta diferencia mediante el siguiente ejemplo.

Sea el número de observaciones en cada uno de los clusters. Supongamos que en la primera etapa, las unidades primarias son seleccionadas mediante un muestreo aleatorio simple, por lo que cada cluster está igualmente ponderado. En este caso, la varianza estimada mediante A.8 será:

\[\hat {v} (\bar {x}) = \frac {1}{n _ {c} (n _ {c} - 1)} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} \left(\bar {x} _ {c} - \bar {x}\right) ^ {2}\tag{A.9}\]

Si ignoramos el clustering y consideramos cada observación como una realización independiente en una muestra aleatoria simple de tamaño emplearíamos A.2 para obtener,

\[\hat {v} ^ {*} (\bar {x}) = \frac {1}{n _ {m} n _ {c}} \hat {s} ^ {2}\tag{A.10}\]

donde es,

\[\dot {s} ^ {2} = \frac {1}{n _ {m} n _ {c} (n _ {m} n _ {c} - 1)} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {n}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {m}} (x _ {c i} - \bar {x}) ^ {2}\]

Si sustituimos la media de cada cluster en A.9 y reordenamos, obtendremos,

\[\hat {v} (\bar {x}) \approx \hat {v} ^ {*} (\bar {x}) [ 1 + (n _ {m} - 1) \hat {\rho} ]\tag{A.11}\]

es una estimación del coeficiente de correlación intra cluster, definida por,

\[\hat {\rho} = \frac {\sum_ {c = 1} ^ {n _ {c}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {m}} \sum_ {k \neq j} ^ {n _ {m}} (x _ {c j} - \bar {x}) (x _ {c k} - \bar {x})}{n _ {m} n _ {c} (n _ {m} - 1) \hat {s} ^ {2}}\]

La ecuación A.11 muestra cómo la magnitud de afecta a la estimación de la varianza de la media muestral. Cuando , la varianza estimada a partir de la muestra aleatoria simple coincide con la obtenida a partir del diseño bietápico; si , por lo que el tamaño muestral efectivo no será el número de observaciones muestrales, , sino el número de unidades primarias,

Escenario 2

Sea el número de estratos en la población, el número de clusters en cada uno de los estratros e el número de observaciones en cada cluster. La media poblacional de la variable es:

\[\bar {X} = \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {N _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {N _ {h c}} x _ {h c i}}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {N _ {h}} N _ {h c}}\]

Un estimador de X puede ser obtenido mediante la siguiente expresión,

\[\bar {x} _ {f} = \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} x _ {h c i}}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i}}\tag{A.12}\]

donde es el factor de elevación de la observación i, en el cluster en el estrato

La varianza de puede ser aproximada mediante un desarrollo en serie de Taylor de primer orden estimada como,

\[\hat {v} (\bar {x} _ {f}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {n _ {h}}{n _ {h} - 1} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} (y _ {h c} ^ {r} - \bar {y} _ {h} ^ {r}) ^ {2}\tag{A.13}\]

⁷² Cuando las observaciones son idénticas dentro de cada cluster, seleccionar más de una dentro de cada unidad primaria no incrementa la precisión de la estimación.

donde,

\[y _ {h c} ^ {r} = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} r _ {h c i}\]

\[\bar {y} _ {h} ^ {r} = \frac {1}{n _ {h}} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} y _ {h c} ^ {r}\]

\[r _ {h c i} = \frac {1}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i}} \left(x _ {h c i} - \bar {x} _ {f}\right)\]

DOCUMENTOS DE TRABAJO

References

1. 2003-24: “El diseño complejo de la encuesta de estructura salarial 1995: Implicaciones sobre la estimación de medidas de desigualdad”, Juan Ramón García López.

References

1. 2003-23: “Polarization, Inequality and Tax Reforms”, Juan Prieto, Juan Gabriel Rodríguez y Rafael Salas.

References

1. 2003-22: “El efecto del capital humano sobre el crecimiento: ¿Importa el tiempo?”, Simón Sosvilla-Rivero y Javier Alonso.

References

1. 2003-21: “On-the-Job Search in a Matching Model with Heterogenous Jobs and Workers”, Juan J. Dolado, Marcel Jansen y Juan F. Jimeno.

References

1. 2003-20: “Una revisión de la Paridad del Poder Adquisitivo”, Simón Sosvilla-Rivero y Emma García

References

1. 2003-19: “Credibilidad y duración en zonas objetivo: Evidencia para el SME”, Simón Sosvilla-Rivero y Francisco Pérez-Bermejo.

References

1. 2003-18: ““Mondays at the sun”: Unemployment, Time Use, and Consumption Patterns in Spain”, Namkee Ahn, Juan F. Jimeno y Arantza Ugidos.

References

1. 2003-17: “Protecting Against Labour Market Risk: Employment Protection or Unemployment Benefits?”, Tito Boeri, J. Ignacio Conde-Ruiz y Vincenzo Galasso.

References

1. 2003-16: “What Social Security: Beveridgean or Bismarckian?”, J. Ignacio Conde-Ruiz y Paola Profeta.

References

1. 2003-15: “Forecasting the Dollar/Euro Exchange Rate: Can International Parities Help?", Simón Sosvilla-Rivero y Emma García.

References

1. 2003-14: “Employment Consequences of Restrictive Permanent Contracts: Evidence from Spanish Labor Market Reforms”, Adriana Kugler. Juan F. Jimeno y Virginia Hernanz.

References

1. 2003-13: “The underestimated virtues of the two-sector AK model”, Gabriel J. Felbermayr y Omar Licandro.

References

1. 2003-12: “The Effects of Employment Protection: Learning from Variable Enforcement”, Tito Boeri y Juan F. Jimeno.

References

1. 2003-11: “The effect of Structural Fund spending on the Spanish regions: an assessment of the 1994-99 Objective 1 CSF”, Angel de la Fuente.

References

1. 2003-10: “Spanish Unemployment: The End of the Wild Ride?, Samuel Bentolila y Juan F. Jimeno.

References

1. 2003-09: “A New Test for Chaotic Dynamics Using Lyapunov Exponents”, Fernando Fernández-Rodríguez, Simón Sosvilla-Rivero y Julián Andrada-Félix.

References

1. 2003-08: “Endogenous Policy Leads to Inefficient Risk Sharing”, Marco Celentani, J. Ignacio Conde-Ruiz y Klaus Desmet.

References

1. 2003-07: “Efectos a largo plazo sobre la economía andaluza de las ayudas procedentes de los fondos estructurales: el Marco de Apoyo Comunitario 1994-1999”, Encarnación Murillo García y Simón Sosvilla-Rivero.

References

1. 2003-06: “The Role of Education vis-à-vis Job Experience in Explaining the Transitions to Employment in the Spanish Youth Labour Market”, Cristina Fernández.

References

1. 2003-05: “The Macroeconomics of Early Retirement”, J. Ignacio Conde-Ruiz y Vincenzo Galasso.

References

1. 2003-04: “Positive Arithmetic of the Welfare State”, J. Ignacio Conde-Ruiz y Vincenzo Galasso.

References

1. 2003-03: “Early retirement”, J. Ignacio Conde-Ruiz y Vincenzo Galasso.

References

1. 2003-02: “Balance del sistema de pensiones y boom migratorio en España. Nuevas proyecciones del modelo MODPENS a 2050”, Javier Alonso Meseguer y José A. Herce.

References

1. 2003-01: “Convergence in social protection across EU countries, 1970-1999”, Simón Sosvilla-Rivero, José A. Herce y Juan-José de Lucio.