La desigualdad salarial en España. Efectos de un diseño muestral complejo por Juan Ramón García* DOCUMENTO DE TRABAJO 2003-26

Noviembre 2003

Universidad de Santiago de Compostela y FEDEA.

Juan Ramón García∗ Universidad de Santiago de Compostela y FEDEA

Resumen

La práctica habitual en los estudios sobre medición de la desigualdad ha sido suponer que la información de la que se dispone corresponde a observaciones independientes e idénticamente distribuidas (iid). Sin embargo, cuando los datos provienen de encuestas realizadas mediante un procedimiento de muestreo complejo, la hipótesis de observaciones iid no se verifica, por lo que las técnicas de estimación e inferencia tradicionales no son directamente aplicables. Este es el caso de la Encuesta de Estructura Salarial (EES) de 1995. El objetivo de este trabajo es mostrar la incidencia que el diseño de la muestra tiene sobre la cuantificación del grado de desigualdad salarial en España. Los resultados obtenidos indican que las ordenadas estimadas de las curvas de Lorenz y la precisión de las medidas de desigualdad utilizadas se modifican significativamente cuando se tiene en cuenta el diseño de la EES. Del mismo modo, comprobamos que la posición ocupada por cada Comunidad Autónoma en el ranking de desigualdad también sufre cambios cuando se considera el pro cedim iento de mu estreo d e d icha encuesta.

Códigos JEL: C15, C42, D31, J31.

Palabras clave: desigualdad salarial, diseño muestral, ecuaciones de estimación, bootstrap.

1 Introducción

El mercado de trabajo no opera en un régimen de competencia perfecta, por lo que su estructura salarial no se mantiene estable en el tiempo ni homogénea entre regiones. El estudio de la estructura salarial ha tratado de identificar las causas y consecuencias de esta falta de homogeneidad, tanto entre territorios, como entre los salarios percibidos por los trabajadores de una misma región. Una de las manifestaciones de dicha heterogeneidad es la existencia de desigualdad salarial, fenómeno que ha centrado la atención de un nutrido grupo de economistas durante las últimas décadas¹ . Sin embargo, para poder afirmar que existe y analizar sus causas, debemos, en primer lugar, cuantificarla. La creciente disponibilidad de información microeconómica sobre salarios y características individuales de los trabajadores ha favorecido la proliferación de estudios, metodológicos y/o empíricos, que tratan de medir el nivel de desigualdad de una distribución salarial.

∗Quisiera agradecer al Ministerio de Ciencia y Tecnología por la financiación recibida a través de la beca FPI asociada al proyecto SEC2001-0061 “Observatorio del Mercado de Trabajo”, dirigido por Juan F. Jimeno. A Coral del Río, por facilitarme el artículo de Stoline y Ury (1979), sin el cual no hubiese sido posible completar las secciones 3 y 4 de este traba jo. A Cristina Fernández , Eduardo Pis y Ánxela Troitiño por sus útiles comentarios, así como a los restantes participantes en los seminarios de FEDEA y USC. Y, especialmente, a Melchor Fernández y Juan F. Jimeno, p o r s u c e r t e r o s c o n s e j o s . C u a lq u ie r p o s ib le e r r o r e s r e s p o n s ab ilid a d d e l a u t o r .

¹ Gottschalk y Smeeding (1997) y Katz y Autor (1999) realizan una importante revisión de la literatura sobre estructura salarial y desigualdad durante las últimas décadas.

Dado que resulta complicado contar con información individualizada de cada una de las unidades que componen la población objeto de estudio, el investigador solamente dispone de una muestra extraída de la misma. Por tanto, como las medidas de desigualdad deben ser estimadas sobre la base de observaciones muestrales, necesitamos contrastar el grado de similitud con sus verdaderos valores poblacionales. La práctica habitual en los estudios sobre medición de la desigualdad es suponer que las observaciones utilizadas son independientes e idénticamente distribuidas (iid). No obstante, cuando los datos empleados proceden de encuestas diseñadas de modo complejo² , la hipótesis de observaciones iid no se cumple, por lo que las técnicas de estimación e inferencia estadística tradicionales no son directamente aplicables.

Las comparaciones internacionales más recientes (Beblo y Knauss, 2000; Álvarez et al., 2002; entre otros) muestran que España se encuentra entre los estados de la Unión Europea con un mayor grado de desigualdad salarial, muy cercano al de los países mediterráneos y anglosajones, y significativamente más elevado que el de los países nórdicos y de Europa central.

En un análisis longitudinal, Álvarez et al. (2002) encuentran que la evolución de la desigualdad en España no sigue una tendencia monótona, sino que se reduce entre 1993 y 1994 para incrementarse posteriormente³ . Este resultado contrasta con el obtenido por Oliver-Alonso et al. (2001). Utilizando las ECPFs⁴ y mediante una gama de indicadores semejante a la estimada en este trabajo, los autores corroboran la evidencia de una tendencia a la reducción del grado de desigualdad durante la segunda mitad de la década de los 80, que continúa, aunque a un menor ritmo y no de forma monótona, durante la primera mitad de los 90. Dicho comportamiento de la desigualdad de la renta familiar en España ya había sido apuntado por Jimeno et al. (2000), quienes destacan el contraste que tiene lugar cuando se analiza únicamente la dispersión de la renta laboral familiar. En este caso, el grado de desigualdad no sólo no se reduce entre 1980 y 1995, sino que se incrementa de forma significativa, principalmente durante la primera mitad de los 90.

El hecho de que los estudios anteriores no ofrezcan los mismos resultados en cuanto a la evolución de la desigualdad en España se debe a múltiples factores. Entre ellos, destacan la utilización de bases de datos diferentes (PHOGUE⁵ en el primer caso, ECPF en el segundo y EPF/ECPF en el tercero), distintas unidades de análisis, escalas de equivalencia y definiciones de ingresos, etc. Sin embargo, con la excepción de Oliver-Alonso et al. (2001), ninguno de ellos lleva a cabo, al menos de forma explícita, un análisis inferencial de la magnitud de los indicadores de desigualdad que nos permita contrastar la precisión de las conclusiones alcanzadas.

Este trabajo tiene un doble objetivo. En primer lugar, reivindicar el papel del análisis inferencial en los estudios de desigualdad, abandonando el argumento de que la utilización de grandes muestras exime al investigador de preocuparse por la precisión (varianza muestral) de los indicadores calculados. En segundo lugar, mostrar la incidencia que el diseño muestral tiene sobre la cuantificación del grado de desigualdad salarial en España. Para ello utilizamos, como base empírica, los datos de la Encuesta de Estructura Salarial (EES), referidos al sector privado en el año 1995. Los resultados obtenidos nos indican que, si bien los valores de los índices completos de desigualdad estimados para España y las diecisiete Comunidades Autónomas (CCAA) analizadas no sufren cambios de gran magnitud cuando ignoramos el diseño de la EES, las ordenadas estimadas de las curvas de Lorenz y la precisión de las medidas de desigualdad utilizadas sí se ven significativamente modificadas. Del mismo modo, comprobamos que la posición ocupada por cada CA en el ranking de desigualdad tampoco es robusta a la consideración del procedimiento de muestreo.

{ }i=1 , y S = {sj}nj=1

² Sea el conjunto de N elementos que constituyen la población finita objeto de Nⁿ se pueden formar con las N unidades de A. Cuando el procedimiento mediante el cual se selecciona una de estas muestras es no restringido y todas las muestras son equiprobables ^{(P (s}j ^{) > 0} ∀^j) (P (s_j ) = P (s_i) i, j i = j), nos encontramos ante un diseño simple. En caso contrario, estamos ante un diseño complejo.

³ Téngase en cuenta que el indicador de recursos utilizado en el traba jo de Álvarez et al. (2002) es la renta del hogar, por lo que estarían incluyendo fuentes de ingresos adicionales (pensiones, subsidios u otro tipo de prestaciones sociales) además del salario. Esta consideración es importante si tenemos en cuenta que el aumento de la desigualdad salarial es una de las causas principales del incremento en la desigualdad de la renta familiar. Sin embargo, tal y como señalan Gottschalk y Smeeding (1997), este crecimiento de la desigualdad de la renta total de los hogares ha sido menos que proporcional, lo que sugiere un cierto nivel de eficacia de los mecanismos redistributivos del Estado.

⁴ Encuesta Continua de Presupuestos Familiares.

⁵ Panel de Hogares de la Unión Europea.

El resto del trabajo se organiza del siguiente modo. En la sección 2 describimos brevemente la EES, especificando los elementos que la caracterizan como una muestra compleja. En la sección 3 definimos las técnicas de estimación y de inferencia (método de ecuaciones de estimación y bootstrap) que nos permitirán conocer la magnitud y el grado de precisión de las medidas de desigualdad. En la sección 4 aplicamos el análisis metodológico descrito en la sección anterior para cuantificar el grado de desigualdad salarial en España. En la sección 5 comentamos las principales conclusiones del trabajo.

2 El diseño complejo de la EES 1995

La EES “es una operación estadística dirigida a conocer la estructura y distribución de los salarios” (INE (1997), pag. 13). La encuesta se extiende a todos los empleados incluidos en nómina el último día de octubre de 1995, en centros de cotización de 10 o más trabajadores y cuya actividad principal sea una de las comprendidas entre las secciones C (industrias extractivas) y K (actividades inmobiliarias y servicios empresariales) de la CNAE-93, ambas inclusive. El marco usado para la selección de la muestra fue el Registro General de Cuentas de Cotización a la Seguridad Social, del Ministerio de Trabajo y Asuntos Sociales. Por tanto, la unidad informante no es exactamente la empresa, sino el centro de cotización a la Seguridad Social.

El procedimiento de selección aleatoria de unidades no se corresponde a un muestreo aleatorio simple⁶ . La EES fue realizada siguiendo un diseño bietápico, en donde las unidades de primera etapa (clusters) son los centros de cotización a la Seguridad Social, mientras que las de segunda etapa son los trabajadores. La variabilidad de las observaciones dentro de cada cluster es menor que entre clusters. Por lo tanto, en relación a un muestreo aleatorio simple, el muestreo bietápico reduce la diversidad de la información y conduce a una menor cobertura de la población. Cuanto mayor sea el grado de homogeneidad de cada unidad de primera etapa, mayor será la pérdida de información provocada por el clustering.

La principal implicación de un diseño bietápico como el de la EES es que las observaciones dentro de un mismo cluster no son estadísticamente independientes. Este hecho provoca que la varianza muestral de los estimadores se incremente, siendo tanto más elevada cuanto mayor sea la magnitud del coeficiente de correlación intra cluster⁷ .

Debido a la falta de homogeneidad de la población objeto de estudio, la selección de la muestra de primera etapa⁸ se realizó a partir de una población estratificada según tres criterios, la actividad económica (secciones y subsecciones de la CNAE 93), la Comunidad Autónoma y el tamaño del establecimiento (cinco intervalos de tamaño). El objetivo es garantizar que la cobertura de determinados grupos sea lo suficientemente representativa como para obtener cierta precisión en las estimaciones. Así por tanto, el efecto de la estratificación es fragmentar la muestra inicial en múltiples muestras independientes e internamente homogéneas, una para cada estrato⁹ .

⁶ Para una explicación detallada de los elementos que caracterizan un diseño muestral complejo, véanse Weibull (1960), Kish (1965), Cochran (1977), Deaton (1997) y Mirás (2000), entre otros.

⁷ Véanse Deaton (1997), pag. 54, y Schluter y Trede (1998).

⁸ La selección de unidades se realizó, tanto en primera como en segunda etapa, por medio

La propiedad de independencia estadística entre estratos garantiza que la varianza del estimador de un parámetro poblacional es igual a la suma de las varianzas de las estimaciones de cada estrato. Por lo tanto, la varianza de dicho estimador depende únicamente de la dispersión existente dentro de cada estrato, y no de la variabilidad entre estratos. Dado que la varianza presenta una gran sensibilidad a la presencia de valores extremos, el muestreo estratificado puede traducirse en notables ganacias de precisión, tanto mayores cuanto menor sea la heterogeneidad intra estrato y cuanto mayor sea la diversidad entre estratos.

La EES no es una muestra autoponderada (self-weighted), i.e., las unidades últimas (los trabajadores) no tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la encuesta¹⁰ . Para corregir el desequilibrio existente en la muestra entre las unidades infrarrepresentadas (con baja probabilidad de selección) y las sobrerrepresentadas (con elevada probabilidad de selección) y evitar sesgos sistemáticos, debemos optar por el cálculo de estimadores ponderados, en donde el peso de cada observación será inversamente proporcional a su probabilidad de ser seleccionada para formar parte de la muestra. Estas ponderaciones se denominan factores de elevación.

3 Medidas de desigualdad. Estimación e inferencia en muestras complejas

Dentro del amplio conjunto de medidas que se han venido utilizando para la cuantificación del grado de desigualdad, hemos seleccionado en este trabajo aquellas que, al menos, verifican el principio de transferencias de Pigou-Dalton¹¹ . Por este motivo, hemos desechado las medidas de dispersión tradicionales (excepto el coeficiente de variación, que sí cumple el principio de transferencias) y nos hemos centrado en la Curva de Lorenz (CL), en los índices de entropía generalizada (EG), en la familia de índices de Atkinson y en el índice de Gini. Para una definición de estas (y otras) medidas de desigualdad véanse Kakwani (1980), Cowell (1995, 2000), Gradín y del Río (2001) o García (2003), entre otros.

de un muestreo sistemático, dentro de cada estrato en el primer caso y dentro de cada cuenta de cotización en el segundo, con listas de trabajadores ordenadas por grupo de cotización a la Seguridad Social. El tamaño definitivo de la muestra diseñada (recogida) fue de 19070 (18139) establecimientos y 185226 (177168) trabajadores.

⁹ La muestra suministrada por el INE no se corresponde con la totalidad de la muestra recogida. La necesidad de preservar el secreto estadístico obliga a eliminar de la muestra objeto de estudio aquellas observaciones susceptibles de ser identificadas. Este hecho provoca que el número de estratos vacíos o con tan sólo una unidad primaria, fuese muy elevado. Por esta causa, hemos optado por considerar en la aplicación empírica un único nivel de estratificación (por Comunidad Autónoma), conscientes del posible sesgo en la precisión de los estimadores que esta opción podría ocasionar

¹⁰ Las probabilidades de inclusión pueden diferir por múltiples razones: mayor coste de encuestar a algunas unidades, tipo de diseño muestral implementado, falta de respuesta, etc.

¹¹ Una medida de desigualdad verifica el principio de transferencias de Pigou-Dalton si su magnitud (en valor absoluto) disminuye ante transferencias progresivas entre pares de individuos, siendo tanto mayor la disminución cuanto mayor sea el volumen de la transferencia, siempre que ésta no sea superior a la mitad de la diferencia entre los salarios de los trabajadores afectados.

3.1 Estimación

Consideremos un diseño muestral bietápico definido sobre una población estratificada en H estratos (Comunidades Autónomas), con unidades primarias (establecimientos) seleccionadas dentro de cada estrato. Sea el factor de elevación de la observación i-ésima en el cluster c-ésimo en el estrato h-ésimo. Un estimador insesgado de la función de distribución poblacional del salario, w, es

\[\widehat {F} (w) = \frac {1}{\widehat {N}} \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} I \{w _ {h c i} \leq w \},\tag{[1]}\]

donde es el tamaño poblacional estimado e es una bfunción indicador que toma el valor 1 si en caso contrario.

- La Curva de Lorenz

La CL relativa de una distribución salarial¹² es la función monótona creciente y convexa que indica el porcentaje acumulado de salario, , percibido por el 100p esimo´ percentil de la población asalariada.

La estimación de las ordenadas de la CL bajo un diseño muestral complejo puede ser realizada mediante el método de ecuaciones de estimación¹³ . Siguiendo a Binder (1983, 1991) y Binder y Kova˘cevi´c (1993, 1997), el estimador de cada ordenada de la , viene dado por

\[\widehat {L} (p) = \frac {1}{\widehat {N} \widehat {\mu} (F)} \sum_ {h = 1} ^ {H} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} I \{w _ {h c i} \leq \widehat {\xi} _ {p} \} w _ {h c i},\tag{[2]}\]

donde es el salario medio poblacional estimado bes el estimador (muestral) del cuantil poblacional

\[\hat {\xi} _ {p} = \inf \{w _ {h c i}: \widehat {F} (w _ {h c i} \geq p) \}\]

- Índices completos de desigualdad

Dado que los fenómenos de clustering y estratificación, en sí mismos, no afectan a la estimación de indicadores de desigualdad (aunque sí a la realización de inferencia sobre los mismos), supondremos, por el momento y para simplificar la notación, que los datos observados pueden ser interpretados como una muestra independiente, pero no idénticamente distribuida, de tamaño n de salarios y factores de elevación.

Una gran parte de las medidas consideradas en los estudios sobre desigualdad son funciones de momentos de la distribución (salarial) subyacente objeto de estudio¹⁴ . Por este motivo, definimos la familia de momentos poblacionales en torno a cero como:

\[\mu_ {\eta} (F) = E \left(w _ {i} ^ {\eta}\right) = \int w ^ {\eta} d F (w), \eta \in \Re\tag{[3]}\]

Adicionalmente, necesitamos especificar los siguientes momentos poblacionales modificados:

\[\tau_ {\eta , \gamma} (F) = E \left(w _ {i} ^ {\eta} (\log w _ {i}) ^ {\gamma}\right) = \int w ^ {\eta} \left(\log (w)\right) ^ {\gamma} d F (w), \eta , \gamma \in \Re\tag{[4]}\]

F(w),

¹² Asumimos que la función de distribución salarial, F(w), es continua, diferenciable, al menos, de segundo orden y estrictamente monótona (Beach y Davidson, 1983).

¹³ Véase García (2003), sección 5, para una descripción detallada de la utilización del método de ecuaciones de estimación en los estudios sobre medición de la desigualdad mediante CLs.

¹⁴ Véase Cowell (1989, 1999) y Maasoumi (1997)

Las expresiones nos permiten expresar los índices completos de desigualdad analizados en términos de momentos poblacionales:

\[T _ {1} (F) = \frac {\tau_ {1 , 1}}{\mu_ {1}} - \log (\mu_ {1}),\tag{[5]}\]

\[T _ {0} (F) = - \tau_ {0, 1} + \log (\mu_ {1}),\tag{[6]}\]

\[C V (F) = \sqrt {\frac {\mu_ {2}}{\mu_ {1} ^ {2}} - 1},\tag{[7]}\]

\[E G _ {\alpha} (F) = \frac {1}{\alpha (\alpha - 1)} \left[ \frac {\mu_ {\alpha}}{\mu_ {1} ^ {\alpha}} - 1 \right], \alpha \in \Re - \{0, 1 \},\tag{[8]}\]

\[A _ {\varepsilon} (F) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \frac {1}{\mu_ {1}} \mu_ {1 - \varepsilon} ^ {1 / (1 - \varepsilon)}, & \varepsilon \in \Re_ {+} - \{1 \} \\ 1 - \frac {1}{\mu_ {1}} \exp (\tau_ {0, 1}), & \varepsilon = 1, \end{array} \right.\tag{[9]}\]

Nótese que es igual a la unidad, el tamaño poblacional “efectivo”, el salario medio poblacional la masa salarial acumulada.

Sea el factor de elevación medio. Si reemplazamos los momentos poblacionales por sus correspondientes momentos muestrales ponderados,

\[m _ {\eta} = \frac {1}{n \overline {{f}}} \sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} w _ {i} ^ {\eta},\tag{[10]}\]

\[t _ {\eta , \gamma} = \frac {1}{n \overline {{f}}} \sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} w _ {i} ^ {\eta} \log (w _ {i}) ^ {\gamma},\tag{[11]}\]

obtendremos estimadores asintóticamente insesgados¹⁵ de los índices de desigualdad definidos por [5]-[9].

La estimación del índice de Gini es ligeramente más complicada, dado que no puede ser escrito en términos de momentos poblacionales exclusivamente,

\[G (F) = \frac {\delta (F)}{2 \mu_ {1}},\]

donde , w, es la diferencia absoluta media (normalizada) entre todos los pares de salarios de la distribución.

Un estimador de la diferencia absoluta media, viene dado por:

\[\hat {\delta} = \frac {1}{n (n - 1)} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} f _ {i} f _ {j} | w _ {i} - w _ {j} |\]

Por tanto, un estimador del índice de Gini será :

\[\widehat {G} = \frac {\widehat {\delta}}{m _ {1}}\tag{[12]}\]

Nµ₀,

Nµ1

^α ≥ ^{1, m}α

µη

¹⁵ Como es un estimador insesgado del tamaño poblacional efectivo, m₀ será insesgado de b bal igual que Nm 1 de Nµ1. Para es un estimador sesgado de µη. Sin embargo, bdado que las varianzas del numerador y denominador en [10] tienden a 0 cuando n tiende a infinito, m_η será asintóticamente insesgado de µ para todo α Un razonamiento similar se aplica a mη η ≥ ^1. t_η,γ . 16

Expresiones alternativas a [12] las podemos encontrar en Deaton (1997) y Cowell (1999).

3.2 Inferencia

Los métodos estándar de inferencia estadística para medidas de desigualdad¹⁷ no requieren establecer supuestos sobre la forma de la distribución a partir de la cual son calculadas (distribution-free procedures, DF). La disponibilidad de muestras con un número de observaciones elevado ha permitido la extensión de resultados clásicos de la teoría asintótica para la realización de inferencia sobre los indicadores de desigualdad poblacionales.

Sin embargo, las técnicas tradicionales están basadas en el supuesto de que la variable objeto de estudio, en nuestro caso, el salario, es iid. Desafortunadamente esta hipótesis, como hemos comentado anteriormente, no se verifica en la práctica, por lo que dichos métodos no cuantificarán de forma correcta la significatividad estadística del indicador de desigualdad. Dos opciones se han propuesto en la literatura para superar este incoveniente: utilizar procedimientos DF que incorporan la posibilidad de que los datos sean dependientes y no idénticamente distribuidos u optar por métodos de exploración intensiva de la muestra.

La significatividad estadística de las ordenadas de la CL será contrastada mediante el método de ecuaciones de estimación, adaptado por Binder y Kova˘cevi´c (1993) para la realización de inferencia sobre medidas de desigualdad. Su utilización se justifica tanto porque permite considerar una amplia clase de diseños muestrales usados en la práctica, como por el hecho de que permite aproximar la varianza del estimador de un parámetro poblacional θ por la varianza del estimador de un total.

En el caso de los índices completos de desigualdad, hemos optado por emplear la técnica bootstrap. Binder y Kova˘cevi´c (1993), Davison y Duclos (1997), Schluter y Trede (1998) y Biewen y Jenkins (2003), entre otros, han mostrado que es posible adaptar resultados de la teoría asintótica a muestras diseñadas de forma compleja en los estudios sobre medición de la desigualdad. Entonces, ¿cuáles son las causas por las que no utilizaremos aproximaciones asintóticas para estimar la varianza muestral de los índices completos de desigualdad considerados?

En primer lugar, muchos de los índices de desigualdad contemplados en la literatura son funciones no lineales de la variable aleatoria empleada para cuantificar el ingreso. Por esta razón, conocer el grado de precisión del estimador de una medida requiere el cálculo de matrices de varianzas-covarianzas cuya formulación presenta una gran complejidad algebraica.

En segundo lugar, la práctica totalidad de medidas de desigualdad están acotadas; en particular, las descomponibles aditivamente. Este hecho no es tenido en cuenta por la teoría asintótica estándar. Por tanto, podría ocurrir que los límites del intervalo de confianza del estimador de un índice excediesen del dominio de definición (teórico) del mismo.

Por último, la tasa de convergencia de estimadores no lineales (en nuestro caso, indicadores de desigualdad) puede ser baja. Como consecuencia, las aproximaciones asintóticas basadas en el argumento de que el teorema central del límite asegura la convergencia pueden no ser lo suficientemente precisas.

- La Curva de Lorenz

Sea es el estimador del total poblacional de una determinada característica,

¹⁷ Para la realización de inferencia sobre la CL, véanse Gail y Gastwirth (1978), Sendler (1979), Beach y Davidson (1983), Beach y Kaliski (1986), Bishop, Formby y Thistle (1989), Bishop, Chakravorti y Thistle (1988, 1989, 1994), Bishop, Chow y Formby (1994) y Bishop y Formby (1999). Sobre índices completos de desigualdad, véanse Gastwirth (1974), Nygård y Sandström (1981), Cowell (1989), Thistle (1990) y Kakwani (1990), entre otros.

x. Un estimador de la varianza de que conserva el diseño de la muestra es

\[V (\widehat {T}) = \sum_ {h = 1} ^ {H} \frac {n _ {h}}{n _ {h} - 1} \sum_ {c = 1} ^ {n _ {h}} (u _ {h c} ^ {*} (x _ {h c i}) - \overline {{u}} _ {h} ^ {*}) ^ {2} \approx V (\widehat {\theta}),\tag{[13]}\]

donde es la media aritmética para cada estrato de las

La estimación de la varianza de las ordenadas de la , constituye un problema bidimensional, b, requiere estimar previamente dos parámetros, Procediendo de forma similar al caso unidimensional (véase Binder y Patak, 1994 y García, 2003), obtenemos que la linealización apropiada viene dada por

\[u _ {h c} ^ {*} (w _ {h c i}, \widehat {L} (p), \widehat {\xi} _ {p}) = \frac {1}{\widehat {N} \widehat {\mu} (F)} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {h c}} f _ {h c i} \left[ \left(w _ {h c i} - \widehat {\xi} _ {p}\right) I \{w _ {h c i} \leq \widehat {\xi} _ {p} \} + p \widehat {\xi} _ {p} - w _ {h c i} \widehat {L} (p) \right],\tag{[14]}\]

donde

b bSustituyendo [14] en [13] obtenemos una expresión para la varianza de cada una de las ordenadas estimadas de la CL¹⁸ .

Binder (1991) y Binder y Patak (1994) estudian la construcción de intervalos de confianza para parámetros poblacionales definidos como solución a una ecuación de estimación. Proponen el método del test de inversión para contrastar la significatividad estadística de los estimadores de dichos parámetros. Pero nuestro objetivo no es contrastar la significatividad individual de cada ordenada estimada, sino conocer si existe diferencia entre ordenadas iguales de CLs diferentes. Para ello, seguimos a Bishop, Formby y Thistle (1989) quienes construyen el siguiente test de uniónintersección¹⁹ . Denotamos por

\[L ^ {+} = \left(L _ {1},..., L _ {K - 1}, \mu\right) ^ {\prime},\]

el vector de ordenadas aumentado de la CL (relativa), donde los primeros elementos constituyen el vector de ordenadas de la CL susceptibles de contraste y el K-ésimo elemento es el salario medio poblacional.

Sean dos subpoblaciones estadísticamente independientes. El test de unión-intersección entre los vectores de ordenadas de CLs aumentados de puede ser realizado mediante el contraste de las subhipótesis

\[\begin{array}{l} H _ {0, k}: L _ {k} ^ {+ A} = L _ {k} ^ {+ B} \\ H _ {1, k}: L _ {k} ^ {+ A} \neq L _ {k} ^ {+ B}, k = 1,..., K \end{array}\tag{[15]}\]

La igualdad del i-ésimo componente de los vectores puede ser contrastada empleando el estadístico

\[\eta_ {i} = \frac {\left(\widehat {L} _ {k} ^ {+ A} - \widehat {L} _ {k} ^ {+ B}\right)}{\left[ \widehat {s e} (\widehat {L} _ {k} ^ {+ A}) + \widehat {s e} (\widehat {L} _ {k} ^ {+ B}) \right]}, k = 1, \dots , K - 1,\tag{[16]}\]

donde denota el error estándar de cada ordenada calculado a partir de [14]. Bajo dado que a son independientes, se distribuye como una normal estándar.

¹⁸ Se puede comprobar que, cuando las observaciones son iid, coincide con el estimador de la varianza de propuesto por Beach y Davidson (1983). L(p)

b19 Véasen Bishop y Formby (1999) y García (2003) para una revisión de la literatura.

La diferencia entre los salarios medios muestrales se obtiene al comparar los últimos componentes de los vectores . Para contrastarla, se utiliza el test de igualdad de medias de dos muestras independientes,

\[\eta_ {K} = \frac {\left(\widehat {\mu} ^ {A} - \widehat {\mu} ^ {B}\right)}{\left[ \widehat {s e} (\widehat {\mu} ^ {A}) + \widehat {s e} (\widehat {\mu} ^ {B}) \right]},\tag{[17]}\]

donde denota el error estándar de la media muestral²⁰ .

Sin embargo, los tests de dominancia que dividen el espacio muestral en dos regiones aceptación y rechazo no son concluyentes cuando existen cruces entre CLs empíricas. Este hecho nos obliga a utilizar contrastes capaces de discriminar entre los tres resultados posibles, dominancia, igualdad y no comparabilidad. Bishop, Chakravorti Thistle (1994) construyen un test conjunto que permite detectar si un cruce entre dos CLs es estadísticamente significativo, i.e., si tiene lugar entre distribuciones poblacionales, o puede ser atribuible a errores muestrales. Demuestran que, bajo la hipótesis nula conjunta de igualdad de dos vectores de ordenadas de , el estadístico sigue una distribución SMM (Studentized Maximum Modulus) con parámetro K (número de subhipótesis a contrastar) e infinitos grados de libertad, manteniendo fijo el tamaño del test conjunto²¹ .

Denotando por el valor crítico de la distribución SMM correspondiente²² , la regla de decisión para el criterio de Lorenz relativo aumentado es la siguiente. Si no rechazamos la subhipótesis nula de igualdad de ordenadas para todo , no podemos rechazar la hipótesis nula conjunta, por lo que concluimos que las distribuciones de son estadísticamente iguales Si rechazamos la subhipótesis nula para algún rechazaremos, entonces, la hipótesis conjunta, lo que conduce a dos posibles situaciones:

1. Si la diferencia entre al menos una ordenada estimada de las CLs de de B es positiva y estadísticamente significativa y las restantes no son significativas, diremos que la distribución de A domina²³ a la de B según el criterio de Lorenz relativo aumentado ,

\[A \succ_ {L ^ {+}} B \Leftrightarrow \exists k / \eta_ {k} > m _ {\alpha} (K, \infty) \text { y } \eta_ {l} \geq - m _ {\alpha} (K, \infty) \forall l \neq k, k, l = 1,..., K\]

2. Si existe al menos una diferencia positiva y al menos una negativa entre las ordenadas de las CLs estimadas, ambas significativas, diremos que las distribuciones de A y de B son no comparables según el criterio de Lorenz relativo aumentado,

\[A, B \text { no comparables } \Longleftrightarrow \exists k, k (i \neq j) / \eta_ {k} > m _ {\alpha} (K, \infty) y \eta_ {k} < - m _ {\alpha} (K, \infty)\]

- Índices completos de desigualdad

Mills y Zandvakili (1997) proponen la ténica bootstrap²⁴ como instrumento de inferencia estadística alternativo a la teoría asintótica para medidas de desigualdad.

^(A ºL+ ^B)

²⁰ Por tanto, diremos que la distribución A domina a la B según el criterio de Lorenz relativo aumentado sí y sólo si:

^µ(A) ≥ ^{µ(B) y LA(p)} ≥ ^LB(p) ∀^p ∈ ^{[0, 1]}

²¹ Para más detalles sobre la distribución SMM, véanse Savin (1984) y Hochberg y Tamhane (1987).

mα(K,∞)

²² Stoline y Ury (1979) obtienen los valores críticos de la distribución SMM, m_α(K, ), para distintos niveles de significación.

^{i L+A}k ≥ ^L+Bk

con al menos una desigualdad para todo k.

²⁴ Véanse Efron (1979), Efron y Tibshirani (1993), Hall (1994), Romo (1994), Shao y Tu (1995) y Horowitz (2001), entre otros, para una revisión de la técnica bootstrap.

Sin embargo, no tienen en cuenta el diseño complejo de las encuestas con las que trabajan . De hecho, el método bootstrap, tal y como fue concebido por Efron (1979), no puede ser aplicado sin modificación a muestras diseñadas de modo bietápico y estratificado como la EES. La razón es simple. El bootstrap fue creado para su utilización en muestras iid, por lo que su aplicación en muestras complejas tendrá las mismas consecuencias que la omisión del diseño tiene sobre los estimadores tradicionales.

Biewen (2002a, 2002b) muestra la consistencia del método bootstrap para la realización de inferencia sobre medidas de desigualdad y movilidad en muestras donde existen correlación intra hogar y diferentes probabilidades de inclusión. Interpreta los datos observados como una muestra iid de tamaño n extraída de una función de distribución conjunta de ponderaciones y rentas. Para tener en cuenta la posibilidad de que exista asociación entre individuos dentro de un mismo cluster²⁷ , introduce variables dummy que reflejan la posición ocupada por cada integrante del hogar. Sin embargo, el procedimiento desarrollado por Biewen no es aplicable en nuestro caso. En primer lugar, no podemos equiparar la estructura de un hogar, con una gama limitada de posibles miembros, con la estructura jerárquica de una empresa, de mayor dimensión y con empleados que pueden estar desarrollando una misma ocupación. Si utilizásemos el método propuesto por Biewen, la dimensión del vector replicado sería tal que nos impediría llevar a cabo el proceso de remuestreo. En segundo lugar, se supone (de forma implícita) que el grado de correlación entre las ingresos de los integrantes de un hogar es una función de su tamaño, y está motivado por la posibilidad de que las decisiones de oferta de trabajo se tomen conjuntamente dentro del mismo. Las causas de la correlación salarial intra empresa son más difusas, puesto que no solamente dependen del tamaño de la firma, sino también de la política retributiva implementada, del tipo de convenio que cubre al trabajador, del sector en el que la empresa desarrolla su actividad, etc. Por último, en las encuestas a hogares, se incluye a todos los miembros de la unidad familiar una vez que ésta ha sido seleccionada para formar parte de la muestra. En la encuestas a empresas esto no sucede. De hecho, en la EES, la selección de trabajadores dentro de cada empresa se realizó por medio de un muestreo sistemático. La utilización del método de Biewen nos llevaría a incurrir en un sesgo adicional en la medida que no todos los empleados de una empresa tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en cada replicación; los trabajadores no incluidos en la muestra original tendrán probabilidad cero.

El bootstrap utilizado en nuestro caso es una variante del sugerido por Deaton (1997) para muestras bietápicas estratificadas. Está inspirado en la concepción del bootstrap como método de replicación, en donde cada una de las muestras debe ser obtenida del modo más similar posible a como ha sido seleccionada la muestra original. Por tanto, el proceso de estimación bootstrap en dos etapas que hemos diseñado se desarrolla como sigue:

1. Se genera una muestra bootstrap de tamaño con reemplazamiento de clusters (establecimientos) para cada estrato h.

2. Se seleccionan de forma aleatoria unidades finales (trabajadores) dentro de cada cluster ²⁸ , de tal forma que el número total de unidades finales seleccionadas dentro de cada unidad primaria en cada replicación sea igual al número de unidades finales originalmente encuestadas.

3. Se calcula el parámetro de interés (índice de desigualdad) a partir de la

²⁵ Panel Study of Income Dynamics

²⁶ National Longitudinal Survey of Youth.

²⁷ Biewen (2002a, 2002b) considera la existencia de clustering a nivel de hogar, mientras que Van Kerm (2002) plantea la posibilidad de formación de clusters en una etapa anterior (área geográfica).

²⁸ Identificamos cada trabajador por su salario, w, y factor de elevación, f, respectivos.

muestra bootstrap de unidades primarias finales,

\[\widehat {I} _ {n} ^ {*} = t (w ^ {*}, f ^ {*}).\]

4. Se repiten los pasos un número lo suficientemente elevado de veces, para calcular

\[\widehat {I _ {n} ^ {* j}} = t (w ^ {* j}, f ^ {* j}), j = 1, \dots , b.\]

El estimador de la distribución de viene dado por el histograma construido a partir de . El estimador del error estándar de es la desviación típica de las b replicaciones de ，

\[\widehat {s e} _ {b} \left(\widehat {I _ {n}}\right) = \left[ \frac {1}{b - 1} \sum_ {j = 1} ^ {b} \left(\widehat {I _ {n} ^ {* j}} - \overline {{\widehat {I _ {n} ^ {*}}}}\right) ^ {2} \right] ^ {\frac {1}{2}},\tag{[18]}\]

donde

\[\overline {{\widehat {I _ {n} ^ {*}}}} = \frac {1}{b} \sum_ {j = 1} ^ {b} \widehat {I _ {n} ^ {* j}}\]

es el valor medio de las b estimaciones bootstrap²⁹ .

Nuestro objetivo no es tanto contrastar la existencia o no de desigualdad en una región o subpoblación, sino conocer si su grado de desigualdad salarial es significativamente distinto al de otra. Para ello, Mills y Zandvakili (1997) proponen un test similar al de igualdad de medias de dos muestras independientes.

Sea un modelo probabilístico generador de los datos que observamos (x). Entendemos como una dupla de funciones de distribución independientes,

\[P = \left(F _ {0} ^ {A}, F _ {0} ^ {B}\right),\]

donde es la función de distribución de X para la subpoblación Sean las realizaciones observadas de las muestras de tamaños ,

\[x = \left(x ^ {A}, x ^ {B}\right)\]

Si denotamos por las funciones de distribución empíricas de 2 d dun estimador natural de P es

\[P = \left(\widehat {F _ {n _ {A}} ^ {A}}, \widehat {F _ {n _ {B}} ^ {B}}\right)\]

Definimos por dθ la diferencia del parámetro θ entre 2

\[d \theta = \theta^ {A} - \theta^ {B},\]

²⁹ En la EES, tanto en primera como en segunda etapa, la selección de unidades se realizó por medio de un muestreo sistemático, mientras que las muestras bootstrap son extraídas mediante muestreo aleatorio simple. Sin embargo, las pruebas realizadas nos indican que cuando el número de replicaciones es lo suficientemente elevado (500 o más), la diferencia entre el error estándar bootstrap obtenido mediante el procedimiento descrito y el utilizado por Kaufman (1999, 2000)- quien propone un bootstrap en donde se tiene en cuenta el carácter sistemático de un muestreo con probabilidades proporcionales al tamaño- es despreciable.

y por la distribución muestral exacta de dθ. Al igual que en el caso de una única muestra, el estimador bootstrap de , es obtenido mebdiante un experimento de Monte Carlo análogo al descrito anteriormente. Consiste en simular la distribución de extrayendo muestras de tamaños c d dde las funciones de distribución empíricas, computando, en cada replicación, la diferencia entre los parámetros estimados en las dos muestras. Cuando este proceso se repite b veces, obtenemos

\[\widehat {d \theta_ {n} ^ {* j}} = \widehat {\theta_ {n _ {A}} ^ {A * j}} - \widehat {\theta_ {n _ {B}} ^ {B * j}},\]

donde

Al igual que en el enfoque clásico (paramétrico), una forma paralela de abordar el problema consiste en la construcción de intervalos de confianza que permitan precisar el grado de incertidumbre existente en la estimación. A diferencia de la estimación por intervalo clásica, la técnica bootstrap no proporciona intervalos exactos, lo que ha favorecido la aparición de diversas aproximaciones. Una revisión de las mismas la podemos encontrar en Efron (1987) y Efron y Tibshirani (1993).

Si bien la distribución bootstrap de los índices de desigualdad estimados es (casi) gaussiana, la utilización del método de la aproximación normal provoca una sobreestimación de los límites del intervalo de confianza del estimador ， dprincipalmente la cota superior30 . Asimismo, la existencia de sesgo, entendido éste como la dife-rencia entre el valor mediano de la distribución bootstrap y el estimador (muestral) desaconseja optar por el método percentil. Cuando el estimador es csesgado, la cobertura real del intervalo de confianza es distinta a la nominal hecho que no tiene en cuenta el método percentil. Por estos y otros motivos³¹ , proponemos recurrir al método del percentil corregido por el sesgo (método BC). Si el intervalo de confianza aproximado no incluye el valor cero, podemos concluir que la diferencia entre el grado de desigualdad salarial de las subpoblaciones es estadísticamente significativo con una probabilidad de (1 α).

4 Aplicación empírica

4.1 Curvas de Lorenz. La importancia del diseño muestral

Las CLs nos permiten realizar una primera aproximación a la cuantificación del grado de desigualdad salarial en España. En Gráfico A.1 del Apéndice se comparan las CLs estimadas para cada una de las diecisiete CCAA con las CLs del resto de España en su conjunto^{32 ,33} , bajo el supuesto de que las observaciones son iid. Para contrastar la igualdad del i-ésimo componente de los vectores de CLs, empleamos el estadístico descrito en [16] y representamos su valor en un gráfico situado bajo las CLs estimadas. Bajo la (sub)hipótesis nula de igualdad, se distribuye como una normal estándar. Por este motivo, las líneas de trazo fino en los gráficos del estadístico de contraste representan los percentiles y

³⁰ Obsérvese que el método de la aproximación normal establece una fuerte restricción al imponer la normalidad de la distribución muestral (y bootstrap) del estadístico. Por este motivo, la existencia de valores extremos y de ligeras asimetrías se traducen en intervalos de confianza menos precisos.

³¹ Véase Efron y Tibshirani (1993).

³² Obsérvese que las ordenadas estimadas de la CL del resto de España son diferentes en cada uno de los gráficos. En cada caso, de la muestra del total español se han excluido las observaciones de la CA con la que se pretende realizar el análisis de dominancia, con el ob jetivo de disponer de muestras independientes.

³³ Solamente incluimos las CLs estimadas de Andalucía, Canarias, Cataluña y Galicia. Las restantes se encuentran a disposición de los interesados bajo petición.

de la distribución normal estándar. Para un nivel de significación del

Como comentamos en la sección 3, nuestro interés no se centra tanto en contrastes individuales, que nos informan de la diferencia en el grado de desigualdad de cada cuantil por separado, sino en la realización de tests que permitan contrastar las subhipótesis de igualdad de ordenadas conjuntamente. Bajo la hipótesis nula conjunta, el estadístico sigue una distribución SMM con parámetro K e infinitos grados de libertad. Para un , el valor crítico de la distribución SMM con , toma el valor 3.474, representado en los gráficos del estadístico de contraste por las líneas de trazo grueso³⁴ .

La regla de decisión para el criterio de Lorenz relativo aumentado, nos permite establecer la siguiente tipología, recogida en el Cuadro A.1 del Apéndice:

a. CCAA cuya distribución salarial es dominada en el sentido de Lorenz relativo aumentado por la del resto de España : Madrid y Canarias. En el caso de Madrid, la dominancia es en sentido fuerte, ya que tanto para el salario medio, como para todas las ordenadas estimadas, el valor del estadístico de contraste supera al valor crítico de la distribución SMM. En Canarias, la dominancia es en sentido débil.

b. CCAA cuya distribución salarial domina en el sentido de Lorenz relativo aumentado a la del resto de España : Andalucía, Asturias, Catilla y León, Navarra y País Vasco. En todos los casos, excepto en el del País Vasco, la dominancia es en sentido débil.

c. CCAA cuya distribución salarial domina en el sentido de Lorenz relativo, pero no aumentado, a la del resto de España : Aragón, Baleares, Cantabria, Comunidad Valeciana, Galicia, Murcia y La Rioja. Para cada una de las CCAA enumeradas, la distribución salarial es más equitativa que la del resto de España, pero su salario medio es significativamente menor. En esta situación, el criterio de Lorenz relativo aumentado concluría no comparabilidad, a pesar de que existe dominancia en sentido débil según el criterio de Lorenz relativo³⁶ .

d. CCAA cuya distribución salarial en no comparable con la del resto de España según el criterio de Lorenz relativo aumentado: Castilla La Mancha, Cataluña y Extremadura. Las CLs de las tres CCAA se cruzan con las del resto de España, siendo dichos cruces estadísticamente significativos³⁷ .

¿Son robustas las estimaciones y contrastes realizadas a la elección del diseño muestral? En el Gráfico A.2 del Apéndice se muestran las CLs estimadas para las diecisiete CCAA y el valor del estadístico de contraste teniendo en cuenta el diseño complejo de la EES. Como se puede observar a simple vista, los resultados cambian de manera considerable.

Solamente en cuatro CCAA (Comunidad Valenciana, Galicia, Murcia y La

K = 100;

³⁴ Téngase en cuenta que la ordenación parcial ha sido determinada siguiendo el criterio de Lorenz relativo aumentado, por lo que el número de subhipótesis a contrastar es 100 (99 diferencias entre ordenadas y la diferencia entre los salarios medios estimados, recogida en el Cuadro A.2 del Apéndice). Stoline y Ury (1979) no proporcionan el valor crítico de la distribución SMM para sin embargo, indican (pag. 89) que su valor puede ser aproximado “satisfactoriamente” como la media de la interpolación lineal entre dos valores de K y la interpolación del recíproco de K.

K = 99

³⁵ En este caso, para K = 99, el valor crítico de la distribución SMM toma un valor aproximado de 3.471 para un nivel de significación del 5%.

L^RE_k RE

para todo k = 1, ..., 99.

y _k L^CyL > CyL > k k

³⁶ Atendiendo al criterio de Lorenz relativo, las distribuciones salariales de Castilla y León y Navarra dominan en sentido fuerte a las del resto de España, dado que L^Nav > L^RE

³⁷ Debemos destacar que las conclusiones obtenidas son robustas al número de ordenadas en el que ha sido estimada cada CL. Únicamente se modifica el sentido de la dominancia en Aragón, Asturias y Cantabria, cuyas distribuciones salariales pasan a dominar en sentido fuerte a las de resto de España, según el criterio de Lorenz relativo, cuando estimamos cada CL en decilas.

Rioja) se mantienen la misma relación y sentido de la dominancia³⁸ . En Madrid y País Vasco la relación de dominancia es la misma que en el caso de muestreo aleatorio simple, pero no el sentido, mientras que en Aragón el sentido débil de la relación de dominancia se mantiene, pero ahora según el criterio de Lorenz relativo aumentado. Cuando consideramos el diseño complejo de la EES, las distribuciones de Andalucía, Asturias, Baleares y Cantabria no son significativamente distintas a las del resto de España. Las diferencias entre la CL de cada CA y la del resto de España son debidas a variabilidad muestral (las distribuciones son Lorenz equivalentes, . El cambio más relevante frente a la hipótesis de observaciones iid tiene lugar cuando analizamos la desigualdad en las regiones de Castilla La Mancha, Cataluña y Extremadura. Los cruces con las CLs del RE dejan de ser estadísticamente significativos, mientras que si supusiésemos que las observaciones son iid, no podríamos comparar la magnitud de la desigualdad de cada CA con la española³⁹ .

4.2 Índices completos de desigualdad. La importancia del diseño muestral

Álvarez et al. (2002) encuentran que el grado de desigualdad de los estados miembros de la UE-15 presenta una importante heterogeneidad entre países. ¿Se repite este hecho cuando nos centramos en el análisis de la estructura salarial de un país concreto? La presencia de una misma legislación y de un marco común de relaciones laborales a nivel estatal, podría llevarnos a suponer una cierta homogeneidad de la relevancia de la desigualdad salarial entre espacios económicos dentro de un mismo país. Sin embargo, debido a la existencia de mercados de trabajo regionales con características y funcionamiento diferentes, esto no sucede.

Ignorando el modo en que ha sido diseñada la EES, se han estimado, para cada una de las diecisiete CCAA y para España en su conjunto, los índices de Theil , de entropía generalizada para , los de Atkinson ³Aε´ para y el índice de Gini . Bajo la hipótesis de observaciones iid, se han calculado los errores estándar asintóticos⁴⁰ de cada estimador. En el Cuadro A.3 del Apéndice mostramos los resultados obtenidos.

La principal conclusión que se extrae del Cuadro A.3 es que el grado de desigualdad salarial en España es notablemente elevado y muy heterogéneo geográficamente. Madrid, Canarias, Extremadura, Baleares y Cataluña encabezan el ranking de desigualdad. En una posición intermedia se encuentran Galicia, Castilla La Mancha, Andalucía, Castilla y León, Comunidad Valenciana y Aragón, mientras que las regiones con una distribución salarial más equitativa son Murcia, Asturias, Cantabria, La Rioja, País Vasco y Navarra.

La posición ocupada por cada CA varía, aunque no de forma significativa, en función del índice de desigualdad considerado⁴¹ . Los valores de cada indicador y las conclusiones que a partir de él se pueden extraer dependen tanto de sus propiedades, como del grado de aversión a la desigualdad que incorporan. Para la familia de índices de entropía generalizada, cuanto menor sea el valor del parámetro α, mayor será su grado de aversión a la desigualdad y, por tanto, más elevada (reducida) será la sensibilidad del índice a transferencias en la cola inferior (superior) de la distribución salarial. Lo contrario sucede para la familia de índices de Atkinson. Cuanto mayor (menor) es el valor del parámetro ε, mayor (menor) será la importancia atribuida a las transferencias en la cola baja de la distribución y menor (mayor) a las que tienen lugar en la cola alta.

³⁸ Canarias, Castilla y León y Navarra preservan su relación y sentido de la dominancia con el resto de España únicamente según el criterio de Lorenz relativo aumentado.

³⁹ Al igual que ba jo la hipótesis de observaciones iid, los resultados alcanzados son robustos al número de ordenadas en que ha sido estimada cada CL, con las excepciones de Andalucía, Extremadura, Asturias, Navarra y País Vasco. Si estimamos en decilas, Andalucía pasa a dominar al resto de España según el criterio de Lorenz relativo, Extremadura y el resto de España se convierten en Lorenz equivalentes según el criterio relativo, la distribución salarial de Asturias dominaría en el sentido de Lorenz relativo aumentado a la del resto de España, mientras que las de Navarra y País Vasco dominarían en sentido fuerte según el criterio de Lorenz relativo.

⁴⁰ Véanse Cowell (1989), Thistle (1990) y Kakwani (1990), entre otros.

⁴¹ Solamente Canarias (2^a) y Navarra (17^a) preservan su posición con independencia del índice.

Por tanto, aquellas CCAA en donde la dispersión salarial en el extremo superior (inferior) de la distribución sea elevada (reducida) en relación al resto de autonomías, ocuparán una posición más desfavorable cuando incrementemos α o reduzcamos ε. Este es el caso de Baleares. Según el Cuadro A.3, es la 6^aregión con mayor grado de desigualdad según el índice EG , y la 1^asegún EG . El Cuadro A.4 del Apéndice nos confirma que este hecho es debido tanto a la escasa dispersión salarial que presenta en la cola baja de la distribución en relación al resto de CCAA (ocupa el puesto 13^o), como a la importante la dispersión en el extremo superior (es la 5^acon mayor dispersión de los salarios). Por el contrario, las regiones con mayor (menor) concentración en la cola alta (baja) de la distribución salarial, ocuparán posiciones más favorables en el ranking de desigualdad cuando aumentemos α o disminuyamos ε. Esta es la situación de Andalucía y Castilla y León (véanse Cuadros A.3 y A.4).

Al igual que en el apartado previo, nos preguntamos ahora cómo se modifican los resultados obtenidos cuando consideramos el diseño bietápico y estratificado de la encuesta. Diferenciamos tres tipos de cambios: en la magnitud del indicador de desigualdad estimado, en la significatividad (error estándar) y en la posición ocupada por cada CA en el ranking de desigualdad.

- Cambios en la magnitud del indicador

El Cuadro A.5 del Apéndice muestra el valor estimado de los índices completos de desigualdad propuestos, así como sus errores estándar bootstrap calculados mediante el proceso en dos etapas descrito en la sección 3. En las columnas impares del Cuadro A.6 se recogen las tasas de variación de los indicadores de desigualdad cuando realizamos las estimaciones teniendo en cuenta el diseño complejo de la EES.

Cantabria, Canarias, Cataluña y Baleares son las CCAA en donde mayor variación sufren los índices estimados de la familia EG. El caso de Cantabria es especialmente significativo, debido a que los indicadores se reducen en un porcentaje superior al 10% para los distintos valores del parámetro α considerados. Los índices EG de Canarias y Baleares muestran importantes incrementos, superiores al 5%, mientras que en Cataluña, las tasas de crecimiento superan el 5.9%, llegando hasta el 9% para EG₂. Las CCAA en donde la variación de las estimaciones de la familia de índices EG es de menor cuantía son Castilla y León, Madrid, La Rioja y País Vasco, con tasas (casi)siempre inferiores al 3% en valor absoluto.

Es de especial relevancia el comportamiento de los índices EG en Andalucía, Aragón, Asturias, Castilla y Léon, La Rioja y País Vasco. Como se puede observar en el Cuadro A.6, el signo de la variación provocada al considerar el carácter complejo de la encuesta cambia según el indicador elegido. Así, por ejemplo, en Andalucía el índice EG ₁ aumenta en un 2.4%; para , el incremento es, tan sólo, del 0.5% y para , el índice se reduce, alcanzando el 8.2% cuando α = 2. ¿A qué se deben estos cambios de signo? La causa se encuentra en la incorporación de los factores de elevación para la estimación de los índices de desigualdad. Cuando suponemos observaciones iid, la muestra no tendrá la misma composición que la población estudiada. La existencia de observaciones sobrerrepresentadas e infrarrepresentadas en la EES no se soluciona. Por este motivo, el valor de cada estimador se alterará en función de la zona de la distribución salarial en donde exista este “exceso” o “defecto” de representatividad, debido al distinto grado de aversión a la desigualdad que incorpora cada índice. Para clarificar esta idea, veamos el siguiente ejemplo.

Supongamos una muestra no ponderada de 10 individuos con salarios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . Si estimamos la familia de índices EG, el grado de desigualdad de la distribución salarial vendría dado por:

Consideremos ahora tres vectores de factores de elevación 2

\[\begin{array}{l} f _ {i} ^ {1} = \{2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2 \} \\ f _ {i} ^ {2} = \{5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 1 0 \} \\ f _ {i} ^ {2} = \{5 0, 5 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 \} \end{array}\]

Si estimamos ahora la familia de índices EG y calculamos la diferencia con los valores obtenidos en la distribución no ponderada, obtenemos:

Mientras que el primer sistema de ponderaciones no altera el signo de la variación, el segundo y tercer vectores sí lo hace. Cuando los individuos que perciben un mayor salario están infrarrepresentados en relación al resto de trabajadores, los índices de la familia EG estarán sesgados a la baja para valores del parámetro α lo suficientemente reducidos; para valores de α elevados, estarán sesgados al alza. Sin embargo, cuando quienes se encuentran infrarrepresentados son los trabajadores situados en la cola baja de la distribución salarial, los índices de la familia EG estarán sesgados al alza (baja) cuando α toma valores lo suficientemente reducidos (elevados)⁴² .

Si centramos el análisis en la familia de índices de Atkinson, podemos observar que, en términos generales, las tasas de variación son de menor magnitud (en valor absoluto) con respecto al caso descrito previamente. Las CCAA en donde tiene lugar un mayor cambio de la cuantía del grado de desigualdad estimado son las mismas que antes (Cantabria, Cataluña, Canarias y Baleares), mientras que en Andalucía, Madrid, Castilla y León, País Vasco y La Rioja el porcentaje de variación no supera el 2%. A diferencia de la familia de índices EG, tan sólo en tres regiones encontramos una modificación del signo de la variación cuando no ignoramos el diseño de la EES. A medida que ε se incrementa, pasamos de tasas de variación negativas a positivas en Andalucía, presentándose la situación opuesta en Asturias y Castilla y León. Como podemos comprobar, las modificaciones en el signo son de sentido contrario a las que tenían lugar cuando estudiábamos los indicadores EG. De hecho, si tomásemos un rango lo suficientemente elevado de valores de ε positivos, observaríamos el mismo número de cambios de signo que para la familia de índices EG.

⁴² Lo contrario sucede para la familia de índices de Atkinson.

Por último, cabe destacar el comportamiento del índice de Gini. Mientras que las restantes medidas de desigualdad muestran tasas de crecimiento relativamente elevadas para la gran mayoría de CCAA, el índice de Gini varía, en términos absolutos, entre un 0.113% para la CA de Andalucía y un 3.415% para Cataluña. Solamente Cantabria ( 7.431%) constituye la excepción.

- Cambios en la magnitud del error estándar

Para medir el cambio en el error cometido al suponer que el salario es una variable aleatoria iid, hemos construido una medida a la que denominamos “pseudo efecto diseño” , por sus similitudes en la definición y finalidad con el “efecto diseño” establecido por Kish (1965)⁴³ . Definimos como el cociente del error estándar bootstrap del estimador de obtenido al considerar el diseño complejo de la encuesta, entre el error estándar asintótico que obtenemos cuando suponemos que las observaciones han sido seleccionadas mediante un muestreo aleatorio simple,

\[p - D e f f = \frac {\left. \widehat {s e} _ {B} (\widehat {I}) \right| _ {E E S \equiv m c}}{\left. \widehat {a s e} (\widehat {I}) \right| _ {E E S \equiv m a s}}\tag{[19]}\]

En el Cuadro A.6 encontramos los valores del pseudo efecto diseño para cada índice . La principal conclusión que podemos extraer de dicha tabla es el gran impacto que la complejidad del diseño de la EES tiene sobre el error estándar estimado de cada indicador, de mucha mayor magnitud que sobre su valor. El error estándar bootstrap es más del doble que el error asintótico para la práctica totalidad de índices y autonomías considerados. Solamente para Canarias y La Rioja (índices , Baleares, Madrid, Murcia y País Vasco (índice Andalucía y Castilla y León (Gini) el es menor que 2.

Los resultados obtenidos evidencian la existencia de una correlación positiva y significativa entre la variación en el valor de cada índice, derivada de la omisión de los factores de elevación, y la magnitud del pseudo efecto diseño. Generalizando, aquellas CCAA en donde el aumento o disminución del grado de desigualdad es mayor (menor) presentan más elevados (reducidos). La correlación más alta la encontramos en el caso del índice , seguida por (0.60), mientras que la más baja tiene lugar para el coeficiente de variación (0.46) y el índice de Gini (0.16).

- Cambios en la ordenación de CCAA según su grado de desigualdad

Para analizar el cambio en la posición ocupada por cada CA en el ranking de desigualdad, nos ayudaremos del Gráfico A.3. Para cada índice estimado, representamos en el eje de abscisas la ordenación de CCAA resultante de trabajar con la EES como una muestra ponderada y en el eje de ordenadas, el ranking obtenido cuando suponemos que las observaciones son iid. Por tanto, la diagonal de cada gráfico identifica las regiones que mantienen su posición con independencia del diseño. Los puntos por encima de la diagonal identifican CCAA que ascienden en el ranking, i.e., presentan un mayor grado desigualdad en relación a las restantes cuando ignoramos el diseño de la encuesta; lo contrario sucede para aquellos puntos situados por debajo de la diagonal.

(Deff)

⁴³ Kish (1965) acuña el término “efecto diseño” (Def ) para denotar el cociente de la varianza de una estimación obtenida de un diseño complejo, entre la varianza de dicha estimación que obtendríamos si hubiésemos seleccionado las observaciones mediante muestreo aleatorio simple. Véase García (2003) para un ejemplo de cómo afecta el diseño de la EES a la estimación de diferentes magnitudes salariales.

Comenzando con la familia de índices , distinguiremos cuatro grupos de regiones:

a. CCAA situadas por encima de la diagonal con independencia del valor del parámetro α : Extremadura, Comunidad Valenciana y Cantabria. Ignorar el diseño de la EES las conduce a ocupar una posición más favorable en el ranking de desigualdad.

b. CCAA situadas por debajo de la diagonal con independencia del valor del parámetro α : Canarias, Castilla y León y Aragón. Ocupan una posición más desfavorable cuando suponemos que las observaciones son iid.

c. CCAA situadas sobre la diagonal para todo α considerado: Madrid, Castilla La Mancha y Navarra. Mantienen su situación en el ranking con independencia del diseño muestral.

d. CCAA cuya posición varía en función del valor de α. Dentro de este grupo distinguimos entre las que se encuentran situadas por encima o sobre la diagonal (Cataluña y País Vasco), por debajo o sobre la diagonal (Baleares) y la unión de ambas situaciones (Andalucía, Asturias, Galicia, Murcia y La Rioja).

Como muestra el Gráfico A.3, las agrupaciones realizadas no son robustas a la elección de la familia de índices analizada. Si estudiamos los cambios que tienen lugar en la composición de los grupos para el índice de Gini y la familia de índices de Atkinson, observamos que la Comunidad Valeciana abandona el grupo a y pasa a integrar el grupo d, Cataluña y Galicia entran a formar parte del grupo a, Aragón abandona el grupo b y es sustituida por Baleares, y Castilla La Mancha deja de formar parte de las CCAA cuya posición en el ranking no depende del diseño muestral, pasando al grupo d.

Para finalizar esta sección, trataremos de ratificar las relaciones de dominancia encontradas en el apartado 4.1 y analizar el grado de robustez de la diferencia entre la magnitud de la desigualdad salarial de cada región y la del resto del territorio español al diseño muestral y a la elección del índice.

Bajo la hipótesis de que la EES es una muestra aleatoria simple, el estadístico

\[\eta^ {*} = \frac {\widehat {I} _ {R E} - \widehat {I} _ {C A ^ {j}}}{\sqrt {\frac {\widehat {V} (\widehat {I} _ {R E})}{n _ {R E}} + \frac {\widehat {V} (\widehat {I} _ {C A ^ {j}})}{n _ {C A ^ {j}}}}}, j = 1, \dots , 1 7,\tag{[20]}\]

sigue una distribución asintóticamente normal, con media cero y varianza unitaria. Por tanto, puede ser usado para contrastar la hipótesis nula de que la diferencia entre el grado de desigualdad estimado para la j esima´ CA y el resto de España es estadísticamente significativa. Cuando incorporamos al análisis el diseño complejo de la encuesta, utilizamos el método bootstrap descrito en la sección 3 para medir la significatividad de la diferencia entre . Los valores del estadístico b by las cotas superior e inferior del intervalo de confianza bootstrap para cada índice y CA se encuentran en el Cuadro A.7 del Apéndice, mientras que el Cuadro A.8 sintetiza la información suministrada por el anterior y establece tres niveles de robustez de la diferencia al diseño muestral y a la elección del índice.

cLos resultados indican que tan sólo en seis CCAA (Aragón, Asturias, Madrid, Navarra, País Vasco y La Rioja) se mantiene el signo de la diferencia entre su grado de desigualdad y el del resto de España, con independencia del índice y del tipo de diseño muestral por el que se opte (nivel A). En el nivel B encontramos aquellas CCAA en donde no cambia de signo con el diseño de la encuesta, pero csí con el índice. A Castilla y León, Comunidad Valenciana, Baleares y Extremadura solamente un índice , según el caso) las aparta de situarse en el nivel A. La última parte del Cuadro A.8 (nivel C) confirma la importancia de tener en cuenta el diseño muestral. En ella se muestran las CCAA cuyo grado de desigualdad salarial será mayor, menor o no significativamente distinto al del resto de España dependiendo de si consideramos la EES como una muestra bietápica estratificada o aleatoria simple. Distinguimos tres cambios posibles:

^{ε = 1} − ^{α y}

^{α =} {−^{1, 0, 1, 2}}

ε = 0.5 y

⁴⁴ Recordemos que la familia de índices EG es ordinalmente equivalente a la familia de índices de Atkinson para que el coeficiente de variación es ordinalmente equivalente al índice EG . Por este motivo solamente representamos los índices de la familia EG con parámetro , el de Atkinson para el índice de Gini.

c bajo la hipótesis de observaciones iid, pero cuando b b b bconsideramos el diseño complejo de la EES. Esta situación tiene lugar en Cantabria (para todos los índices estimados), Castilla La Mancha (excepto para Gini), Cataluña (excepto para , Comunidad Valenciana (sólo para CV), Galicia (excepto para Murcia (sólo para

c.2. bajo la hipótesis de observaciones iid, pero b b b bcuando consideramos el diseño complejo de la EES. Este caso sucede para Canarias, con independencia del índice estimado, y para Baleares y Extremadura cuando el indicador elegido es el CV.

bajo la hipótesis de observaciones iid, pero cuando b b b bconsideramos el diseño complejo de la EES. Andalucía, excepto para los índices Castilla y León, excepto para , son las únicas dos regiones en donde tiene lugar este cambio.

Por tanto, los resultados ofrecidos por los índices completos de desigualdad son consistentes con los obtenidos siguiendo el criterio de Lorenz relativo⁴⁵ .

La conclusión principal que podemos extraer de esta sección es que el diseño muestral, si bien no juega un papel especialmente relevante a la hora de cuantificar la desigualdad salarial de cada CA, sí tiene una importancia crucial cuando pretendemos conocer la significatividad estadística de cada medida, establecer una ordenación de las regiones según la dispersión salarial existente en cada una de ellas y comparar de forma correcta el grado de desigualdad de subpoblaciones independientes.

5 Conclusiones

El estudio moderno de la medición de la desigualdad económica está estrechamente ligado a la adaptación de métodos cuantitativos y técnicas analíticas relativamente sofisticados a datos muestrales y, por lo tanto, imperfectos. Este hecho, unido a que, por una parte, existe un gran número de procedimientos de muestreo y, por otra, que los procesos de estimación e inferencia no son robustos al diseño muestral, dificulta el modo de abordar el problema.

Un ejemplo de la importancia del error muestral, provocado por la no disponibilidad de información sobre el total de la población, y del error de diseño, derivado de los problemas inherentes al procedimiento de muestreo utilizado, lo encontramos cuando empleamos los datos de la EES para cuantificar el grado de desigualdad salarial en España. Tal y como hemos demostrado, tanto los estimadores de parámetros poblacionales (en nuestro caso, medidas de desigualdad), como su varianza muestral no pueden ser computados mediante los métodos tradicionales cuando las observaciones han sido seleccionadas siguiendo un diseño complejo. Por este motivo, recurrimos al método de ecuaciones de estimación (Binder, 1983, 1991; Binder y Kova˘cevi´c, 1993,1997) para calcular las ordenadas de las CLs y sus e-rrores estándar, mientras que optamos por el método de momentos (Cowell, 1989; Maasoumi, 1997) y una variante del bootstrap propuesto por Deaton (1997) para los índices completos de desigualdad. Los resultados obtenidos nos indican la importancia del análisis inferencial en los estudios sobre medición de la desigualdad, y el gran impacto que la consideración del diseño complejo de la EES tiene sobre las conclusiones alcanzadas.

⁴⁵ Existe una excepción cuando consideramos el diseño bietápico estratificado de la EES. El criterio de Lorenz concluye que los vectores de ordenadas aumentados de Andalucía y del resto de España no son significativamente distintos; en cambio, todos los índices de desigualdad estimados nos indican que el grado de desigualdad salarial de Andalucía es significativamente menor. Teóricamente, los indicadores utilizados inducen ordenaciones consistentes con el criterio de Lorenz. Sin embargo, debido a la naturaleza de los procedimientos de inferencia implementados y, sobre todo, al hecho de que los intervalos de confianza bootstrap no son exactos, podemos toparnos con situaciones de inconsistencia débil. A pesar de esto, recordemos que la CL de Andalucía dominaba a la del resto de España cuando las estimábamos en decilas de salario, por lo que esta inconsistencia débil desaparecería (véase nota al pie 39).

Mediante la CL comparamos el grado de desigualdad salarial de cada CA con el del resto de España en su conjunto. Observamos que las estimaciones y contrastes realizadas no son robustas a la elección del diseño muestral, puesto que tan sólo en cuatro CCAA (Comunidad Valenciana, Galicia, Murcia y La Rioja) se mantienen la misma relación y sentido de dominancia. La modificación más importante tiene lugar cuando analizamos la desigualdad en las regiones de Castilla La Mancha, Cataluña y Extremadura. Bajo la hipótesis de que las observaciones son iid, las CLs de las tres CCAA se cruzan con las del resto de España, siendo estos cruces estadísticamente significativos. Sin embargo, cuando tenemos en cuenta el diseño bietápico y estratificado de la encuesta, Castilla La Mancha y Extremadura dominan en sentido débil, mientras que las distribuciones salariales de Cataluña y el resto de España son Lorenz equivalentes.

El estudio de la desigualdad mediante índices completos nos permite afirmar que el grado de desigualdad salarial en España es notablemente elevado y muy heterogéneo geográficamente. Frente a CCAA con una elevada dispersión salarial (Madrid, Extremadura, Canarias y Cataluña), en otras (Asturias, La Rioja, País Vasco y Navarra) los datos ofrecen resultados más equitativos. Comprobamos que tanto la magnitud de la desigualdad, como su significatividad y la posición ocupada por cada CA en el ranking varían en función del índice de desigualdad estimado y, sobre todo, del tipo de diseño por el que optemos. Si bien el valor de los estimadores no sufre cambios de gran magnitud (salvo en Cantabria), la varianza muestral de los mismos y el orden de regiones sí se verán significativamente modificadas. El pseudo efecto diseño, , nos indica que el error estándar bootstrap, calculado considerando el diseño complejo de la EES, es más del doble del error asintótico, computado suponiendo observaciones iid, para la práctica totalidad de los índices y autonomías considerados. Respecto a los cambios en el ranking de desigualdad, vemos que solamente Madrid y Navarra, las CCAA extremas, mantienen la misma posición con independencia del índice y del procedimiento de muestreo.

Por último, confirmamos las relaciones de dominancia encontradas cuando comparamos las CLs de cada CA con las del resto de España. Del mismo modo, analizamos el grado de robustez de la diferencia entre la magnitud de la desigualdad salarial de cada región y la del resto del territorio español al diseño muestral y a la elección del índice. La importancia de ambos factores es tal que, únicamente en seis CCAA (Aragón, Asturias, Madrid, Navarra, País Vasco y La Rioja) el signo y la significatividad de la diferencia se mantienen inalterados.

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Wage inequality in Spain. Complex sampling design effects Juan Ramón García University of Santiago de Compostela and FEDEA

Abstract

The common practice in the studies on the measurement of inequality has assumed that income data usually correspond to independent and identically distributed observations (iid). Nevertheless, when sample design is complex, the hypothesis of iid observations is not verified. Thus, conventional estimation and inference methods are not directly applicable. This is the case of the 1995 Spanish Structure of Earnings Survey (SES). The objective of this paper is to show the incidence that the sample design has on the quantification of the degree of wage inequality in Spain. Results show that the Lorenz curve ordinates and the accuracy of estimated inequality measures will be modified significantly when we take into account the SES design. We also verify that the position of each region (Comunidad Autónoma) in the ranking of inequality will change depending on the sampling procedure assumed.

JEL C la ssifi cation: C 15, C 42, D 31, J31.

Keywords: wage inequality, sampling design, estimating equations approach, bootstrap.

Gráfico A.1 Curvas de Lorenz estimadas y estadístico de contraste (η ). EES como muestra aleatoria simple.

Gráfico A.2 Curvas de Lorenz estimadas y estadístico de contraste EES como muestra compleja.

Cuadro A.1 Relación y sentido de la dominancia según los criterios de Lorenz-relativo y relativo aumentado. Muestra aleatoria simple vs. muestra compleja⁽¹⁾.

Notas: ³Según el criterio de Lorenz relativo aumentado. ²Según el criterio de Lorenz relativo. ¹Representamos con la letra C (S ) el resultado obtenido de comparar la curva de Lorenz estimada de , con la del resto de España, bajo el supuesto de que la EES es una muestra compleja (aleatoria simple ). El subíndice D (F ) indica el sentido débil (fuerte ) de la relación de dominancia.

Cuadro A.2 Test de igualdad de medias de dos muestras independientes. Salario bruto p or hora de c ada CA v s. salario bruto p or hora del RE.

¹En cada columna, las cifras de la izquierda han sido calculadas teniendo en cuenta el diseño complejo de la EES. Las cifras entre corchetes han sido obtenidas bajo la hipótesis de muestreo aleatorio simple. Notas:

Cuadro A.3 Ignorando el diseño de la EES. Índices completos de desigualdad y errores estándar asintóticos (a.s.e.).

Cuadro A.3 (Continuación) Cuadro A.4

Grado de dispersión salarial en las colas de la distribución. Ratios entre decilas⁽¹⁾.

Notas: ¹D1 es el lím ite sup erior del prim er decil de salario, D5 es el salario m ediano y D9, el lím ite sup erior del noveno decil.

Cuadro A.5 Índices completos de desigualdad y errores estándar bootstrap (B = 500)

Cuadro A.5 (Continuación)

Cuadro A.6 Índices completos de desigualdad y “pseudo efecto diseño”⁽¹⁾.

Cuadro A.6 (Continuación)

Notas:

\[p - D e f f = \frac {\widehat {s e} _ {B} (\widehat {I}) | _ {E E S \equiv m c}}{\widehat {a s e} (\widehat {I}) | _ {E E S \equiv m a s}}\]

Cambio en la posición ocupada por cada CA en el ranking de desigualdad. Muestra aleatoria simple (m.a.s.) vs. muestra compleja (m.c.)

Cuadro A.7 Significatividad estadística de la diferencia entre el grado de desigualdad salarial de cada el del resto de España. m.a.s. vs. m.c.

²Cotas inferior y sup erior del intervalo de confianza bootstrap (B=1000). Método del percentil corregido por el sesgo

Notas:

Cuadro A.7 (Continuación)

\[{ } ^ { 1 } \eta ^ { * } = \left. \frac { \widehat { I } _ { R E } - \widehat { I } _ { C A ^ { j } } } { \sqrt { \left[ \frac { \widehat { V } ( \widehat { I } _ { R E } ) } { n _ { R E } } + \frac { \widehat { V } ( \widehat { I } _ { C A ^ { j } } ) } { n _ { C A ^ { j } } } \right] } } \right| _ { E E S \equiv m a s } \sim _ { a s } N ( 0 , 1 )\]

Cuadro A.8

Robustez de la diferencia al diseño muestral a la elección del índice

A. Independencia del diseño y del índice

B. Independencia del diseño, pero no del índice

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