Efectos de género en las escuelas, un enfoque basado en cohortes de edad por Antonio Ciccone ** Walter Garcia-Fontes

Documento de Trabajo 2013-19

December 2013

Universitat Pompeu Fabra & Barcelona GSE y FEDEA. ** University of Mannheim & Barcelona GSE.

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Efectos de gÈnero en las escuelas, un enfoque basado en cohortes de edad

Antonio Ciccone

Walter GarcÌa-Fontes¹

Diciembre 2013

¹University of Mannheim & Barcelona GSE y Universitat Pompeu Fabra & Barcelona GSE. Agradecemos los comentarios de Brindusa Anghel, Ghazala Azmat, Antonio Cabrales, Caterina Calsamiglia, Gabrielle Fack, Marco Manacorda, Barbara Petrongolo, Joaquim Silvestre, Alessan dro Tarozzi; los esfuerzos de Antonio Cabrales, Ismael Sanz Labrador y Pablo V·zquez para la disponibilidad de los datos; y la ayuda de Libertad Gonzalez y Luis Pires JimÈnez con datos adi cionales importantes. Gracias tambiÈn a Carmen Arias, Esther GÛmez y Leticia Moreno por su ayuda con la encuesta sobre movilidad de alumnos en las escuelas privadas de la Comunidad de Madrid y a Tetyana Surovtseva, Manuel GarcÌa y Pedro Artiles por su ayuda con la traducciÛn espaÒola. Agradecemos tambiÈn el apoyo Önanciero de FundaciÛ Catalunya - La Pedrera, fedea, CREI, la beca de investigaciÛn ECO22011-5272 y la beca SEV-2011-0075 (Programa Severo Ochoa para Centros de Excelencia en I+D).

Abstract

Estimamos los efectos de pares relacionados con el gÈnero en las escuelas explotando las diferencias en la composiciÛn de gÈnero entre cohortes de edad. Nuestro enfoque diÖere de la literatura existente la cual se basa en diferencias en la composiciÛn entre cursos escolares adyacentes. Mostramos que la estrategia basada en cohortes de edad es una alternativa conveniente ya que la que se basa en cursos escolares en general produce estimaciones de efectos de pares de gÈnero sesgados cuando la tasa de repeticiÛn es positiva (la mayorÌa de los sistemas escolares permiten repetir curso a los alumnos). La estrategia de cohortes de edad aplicada a las escuelas primarias de EspaÒa indica un efecto de pares positivo y signiÖcativo de las niÒas sobre el rendimiento acadÈmico de los niÒos y un efecto no signiÖcativo sobre las niÒas. El enfoque basado en el curso escolar produce el resultado opuesto. SimulaciÛnes contrafactual sugieren que las estrategias basadas en cohortes de edad y las basadas en el curso escolar pueden producir diferentes patrones de efectos de pares relacionados con el gÈnero incluso cuando las tasas de repeticiÛn escolar son bajas.

1 IntroducciÛn

øAprenden las niÒas m·s junto a otras niÒas en vez de niÒos? øY quÈ pasa con los niÒos? Los efectos de pares relacionados con el gÈnero han sido debatidos desde la introducciÛn de la coeducaciÛn y son importantes para el diseÒo eÖciente del sistema escolar asÌ como para la respuesta Ûptima al resurgimiento reciente de las escuelas separadas para niÒos y niÒas (por ejemplo, Hoxby, 2000; Whitmore, 2005; Lavy and Schlosser, 2011). Los primeros trabajos empÌricos analizaron efectos de pares relacionados con el gÈnero explotando la variaciÛn entre escuelas, sin embargo, estos estudios no pudieron solucionar el problema de la autoselecciÛn de los alumnos con diferentes niveles de rendimiento en escuelas distintas. La mejor evidencia empÌrica de que la composiciÛn de gÈnero afecta el aprendizaje en la escuela viene de los an·lisis de Hoxby (2000) y Lavy and Schlosser (2011) para Texas e Israel, respectivamente. Estos estudios evitan el problema de selecciÛn de los alumnos con aptitudes distintas a escuelas distintas analizando los efectos de las diferencias en la composiciÛn de gÈnero dentro de las escuelas para un mismo curso escolar en diferentes aÒos.¹ Examinar las consecuencias de este tipo de diferencias en la composiciÛn de gÈnero es ˙til ya que reáejan parcialmente la variaciÛn natural en los nacimientos de niÒos y niÒas (Lavy y Schlosser, 2011).

No obstante, el enfoque para identiÖcar efectos de pares de gÈnero basado en cursos escolares dentro de las escuelas no siempre es inmune a problemas de selecciÛn. La mayorÌa de los sistemas escolares permiten que los alumnos m·s áojos acadÈmicamente repitan curso, de manera que niÒos de la misma cohorte de edad puedan acabar en cursos distintos en funciÛn de su aptitud acadÈmica. Por ejemplo, en tan sÛlo tres de los veintisiete paÌses de la UniÛn Europea no existe la repeticiÛn escolar en la escuela primaria (ComisiÛn Europea, 2011). De acuerdo con Pisa (2009), el porcentaje de los alumnos que repitieron por lo menos un curso en primaria es de 8 por ciento entre los paÌses de OCDE y de 7 por ciento entre los paÌses de la UE. Los niveles de la repeticiÛn escolar en primeros aÒos de la secundaria son similares. Los paÌses con niveles relativamente altos de repeticiÛn en primaria son BÈlgica y Francia (17 por ciento), EspaÒa (11 por ciento), y los EEUU (10,6 por ciento).² Estos niveles de repeticiÛn escolar son m·s bajos en Canad· e Israel (4,2 por ciento) y el Reino Unido (1,7 por ciento).³

¹Whitmore (2005) examina el efecto de la composiciÛn de gÈnero sobre los resultados acadÈmicos de niÒos y niÒas a nivel de clase en la guarderÌa y escuela. Sus resultados son, en su mayorÌa, estadÌsticamente insigniÖcantes, posiblemente debido a que su muestra es relativamente pequeÒa en comparaciÛn con las usadas por Hoxby o Lavy y Schlosser.

²La duraciÛn de la escuela primaria varÌa seg˙n los paÌses. Los niÒos pueden quedarse en guarderÌa un tiempo adicional o el momento del inicio de la escuela puede posponerse si los padres y profesores consideran que el niÒo no est· preparado para la escuela.

³No existen datos de PISA sobre los niveles de retenciÛn escolar en el sistema escolar de Texas analizado

Para entender de quÈ modo la repeticiÛn de curso puede afectar la estimaciÛn de los efectos de pares de gÈnero en escuelas, modelamos un sistema escolar en el que dentro de una misma cohorte de edad, los alumnos m·s dÈbiles acadÈmicamente pueden repetir el curso. Los otros dos aspectos principales del modelo son, por un lado, las áuctuaciones exÛgenas en la composiciÛn de gÈnero de las cohortes de edad y por el otro, las áuctuaciones en la aptitud de las niÒas y los niÒos. No existen efectos (verdaderos) de pares de gÈnero. La pregunta principal es si en estas condiciones pueden aparecer estos efectos sobre los resultados acadÈmicos cuando los estimamos usando las diferencias en la composiciÛn de gÈnero en el mismo curso dentro de la escuela. Dicho de otro modo øpodrÌa existir el efecto de la proporciÛn de las niÒas en un curso sobre resultados acadÈmicos de niÒos y niÒas sin que haya efectos de pares de gÈnero? Nuestro principal ñy un tanto sorprendente ñ resultado es que la estrategia que usa la variaciÛn a nivel de curso produce efectos de pares de gÈnero espurios, aunque las diferencias en composiciÛn de gÈnero a nivel de curso estÈn solamente determinadas por áuctuaciones exÛgenas de las cohortes de edad. Encontramos que los shocks exÛgenos sobre la aptitud de niÒos y niÒas tambiÈn a menudo se transforman en los efectos de pares de gÈnero espurios a nivel de curso. La direcciÛn del efecto depende del impacto de la repeticiÛn de curso sobre la aptitud de los alumnos repetidores, asÌ como de la diferencia media de la aptitud de los alumnos no repetidores y los repetidores despuÈs de la repeticiÛn del curso. Si el hecho de repetir el curso mejora la aptitud acadÈmica de los repetidores pero los que no han repetido nunca un curso, en promedio, tienden a obtener mejores resultados que los que sÌ lo han hecho, el enfoque de curso escolar produce un efecto de pares espurio positivo de la proporciÛn de niÒas sobre los resultados acadÈmicos de niÒas y un efecto negativo de la proporciÛn de niÒas sobre los niÒos. ⁴ Es decir, el enfoque de curso sobre los efectos de pares de gÈnero nos llevarÌan a la conclusiÛn de que las niÒas se beneÖcian y los niÒos sufren cuando hay m·s niÒas aunque no existan efectos de pares de gÈnero.

Para evitar estas limitaciones del enfoque basado en el curso escolar, proponemos estimar los efectos de pares sobre los resultados acadÈmicos, explotando las diferencias naturales en la composiciÛn de gÈnero entre las distintas cohortes de edad dentro de las escuelas. Los alumnos son asignados a la misma cohorte si seg˙n las normas del sistema escolar deberÌan matricularse en la escuela en el mismo aÒo. El enfoque que se basa en la edad analiza si los niÒos y niÒas en la cohorte con una mayor proporciÛn de niÒas obtienen mejores resultados acadÈmicos que los alumnos de mismo gÈnero en otra cohorte dentro de la misma escuela. Dicho de otro modo, el enfoque basado en la edad estima el efecto de la proporciÛn de niÒas en la cohorte sobre el total de la cohorte dentro de la escuela. Por el contrario de lo que pasa con el enfoque basado en el curso escolar, el basado en edad no produce efectos de pares de gÈnero espurios cuando los alumnos con resultados acadÈmicos insuÖcientes repiten curso. Los efectos de pares de gÈnero estimados usando el enfoque basado en la edad son los efectos del modelo reducido que dependen de cÛmo afecta a la aptitud acadÈmica ir a la escuela con niÒas en vez de niÒos; de durante cu·nto tiempo los niÒos de la misma cohorte van a la escuela juntos (que a su vez depende de en quÈ medida se siguen las normas de matrÌcula y las tasas de repeticiÛn de curso); del efecto de la aptitud acadÈmica sobre las tasas de repeticiÛn; y de cÛmo repetir afecta a esta aptitud (los enfoques basados en la edad y en el curso escolar se vuelven idÈnticos cuando todos los niÒos empiezan la escuela siguiendo las normas de matrÌcula y cuando no hay repeticiÛn de curso).

por Hoxby (2000). La Agencia de EducaciÛn de Texas (1999, 2011) informa sobre el porcentaje de alumnos repetidores por curso y aÒo. Si ningun alumno habrÌa repetidom·s de un curso, los datos implicarÌan que entre un 13 por ciento y un 16 por ciento de los alumnos repitieron alg˙n curso en la primaria. La cifra ser· m·s baja debido a que algunos alumnos habr·n repetido m·s de una vez. No obstante, la discrepancia deberÌa ser pequeÒa ya que seg˙n PISA (2009) tan sÛlo un 0,5 por ciento de los alumnos en EEUU repitieron m·s de un curso en primaria (tales datos no existen para Texas).

⁴El efecto negativo de la proporciÛn de niÒas sobre niÒos se puede ver como el efecto positivo de la proporciÛn de niÒos sobre niÒos, ya que las proporciones de niÒas y niÒos en un curso suman uno.

Usamos el enfoque basado en la edad para estimar los efectos de pares de gÈnero en las escuelas primarias de EspaÒa. Nuestra base de datos consiste de los resultados de los test estandarizados y de las caracterÌsticas individuales del total de los alumnos de sexto de primaria en tres aÒos escolares distintos de la Comunidad de Madrid, una de las regiones m·s ricas de EspaÒa con aproximadamente 6,5 millones de habitantes. En EspaÒa se permite la repeticiÛn de curso en primaria y la tasa de repeticiÛn est· por encima de la media de la OCDE y la UE. Nuestros datos presentan ventajas sobre los de Texas e Israel ya que permiten estimar el efecto de pares de gÈnero a nivel de cohorte de edad (asÌ como a nivel de curso escolar). ⁵ Adem·s, la movilidad entre las escuelas primarias parece ser baja en comparaciÛn con la de Texas e Israel seg˙n la informaciÛn disponible.

Cuando estimamos los efectos de pares de gÈnero usando el enfoque basado en las cohortes de edad, encontramos el efecto (de pares de gÈnero) positivo y signiÖcativo de la proporciÛn de niÒas en la cohorte sobre los resultados acadÈmicos de niÒos en esa misma cohorte. Un aumento de 10 puntos porcentuales en la proporciÛn de niÒas mejora los resultados acadÈmicos generales y en matem·ticas de niÒos entre el 2 y 2,5 por ciento de la desviaciÛn est·ndar. Por el otro lado, el efecto de la proporciÛn de niÒas sobre los resultados de las niÒas no es estadÌsticamente signiÖcativo. El enfoque basado en el curso produce un patrÛn de efectos de pares opuesto al que produce el enfoque basado en la edad, la proporciÛn de niÒas en un curso tiene un efecto (de pares de gÈnero) positivo y signiÖcativo sobre los resultados acadÈmicos de niÒas en el mismo curso y un efecto no signiÖcativo sobre los resultados de los niÒos. Un aumento de 10 puntos porcentuales en la proporciÛn de niÒas en el curso estarÌa asociado con una mejora de los resultados acadÈmicos generales y en matem·ticas de las niÒas de un 3 por ciento de la desviaciÛn est·ndar (individualmente las niÒas tienen peores resultados acadÈmicos en general y en matem·ticas en particular, de modo que estos efectos de pares de gÈnero no se pueden explicar como efectos colaterales de los alumnos de alta aptitud acadÈmica hacia los de baja aptitud⁶) La diferencia en el patrÛn de los efectos producidos por el enfoque basado en la edad y el basado en el curso escolar es consistente con nuestro modelo teÛrico si por un lado la repeticiÛn de curso mejora la aptitud de los alumnos repetidores pero mientras los no repetidores tienden a obtener mejores resultados que los repetidores y por el otro lado si las diferencias en la composiciÛn de gÈnero vienen determinadas por las áuctuaciones naturales en la composiciÛn de gÈnero o en las aptitudes de niÒos y niÒas a nivel de cohorte de edad.

⁵Los datos usados en Hoxby (2000) no tienen la informaciÛn individual necesaria para asignar los alumnos a las cohortes de edad (los datos consisten de los promedios a nivel de curso). Las escuelas primarias de Israel sÛlo participan una vez cada dos aÒos en los tests estadarizados usados por Lavy y Schlosser (2011). Como consecuencia, los resultados de los tests nunca son disponibles para los alumnos repetidores y los no repetidores dentro de la misma cohorte de edad.

Debido a que las tasas de repeticiÛn en EspaÒa son relativamente altas, es natural preguntarse si el enfoque basado en la cohorte de edad y el basado en el curso producen diferentes patrones de efectos de pares de gÈnero cuando las tasas de repeticiÛn son similares o est·n por debajo de las medias de la OCDE o UE. Nosotros examinamos esta cuestiÛn usando el an·lisis contrafactual. El punto de partida es una versiÛn generalizada de nuestro modelo de escuelas con repeticiÛn de curso. Calibramos el modelo para que replique los efectos de pares de gÈnero estimados para EspaÒa. Entonces bajamos el umbral acadÈmico para la repeticiÛn de curso en el modelo (lo cual lleva a las tasas de repeticiÛn m·s bajas) y simulamos los datos. Los datos simulados nos permiten estimar los efectos de pares de gÈnero en entornos con tasas de repeticiÛn de curso cada vez m·s bajas. Nuestras simulaciones indican que el enfoque basado en edad y el basado en el curso pueden producir patrones de efectos de pares de gÈnero distintos con tasas de repeticiÛn bastante bajas.

Nuestro principal hallazgo es que el enfoque basado en cursos escolares produce efectos de pares de gÈnero espurios en los sistemas donde los alumnos con peor rendimiento repiten curso, incluso cuando las diferencias en la composiciÛn de gÈnero a nivel de curso solamente vienen determinadas por las áuctuaciones naturales en la proporciÛn de niÒas en las cohortes de edad. Para entender este resultado es ˙til considerar la siguiente situaciÛn hipotÈtica. Supongamos que cada clase del primer curso tiene el mismo tamaÒo pero el n˙mero, o de manera equivalente la proporciÛn, de niÒas est· sujeto a las áuctuaciones naturales. Supongamos tambiÈn que la aptitud individual del los alumnos no se ve afectada por la composiciÛn de gÈnero de la clase (no existen efectos de pares de gÈnero reales). Supongamos que una clase de primero de primaria tiene una proporciÛn de niÒas m·s elevada que el promedio de los cursos de primero de la escuela. A medida que la clase progresa del primero a los cursos superiores ir· perdiendo alumnos que repiten curso y recibir· alumnos repetidores de cohortes de edad anteriores. Pero la proporciÛn de niÒas entre los alumnos de la clase seguir· siendo m·s elevada que la de una clase que empezÛ con una composiciÛn de gÈnero equilibrada. ⁷ Ahora consideremos la proporciÛn de las niÒas repetidoras entre todas las niÒas a medida que la clase progresa del primero a los cursos superiores. Siempre y cuando el gÈnero de los alumnos repetidores sea independiente de la composiciÛn de gÈnero de la clase que los recibe, la proporciÛn elevada de niÒas en el primer curso se traduce en una proporciÛn baja de niÒas repetidoras entre todas las niÒas de la clase en cursos superiores. Como consecuencia, las áuctuaciones naturales en la composiciÛn de gÈnero de la cohorte de edad se traducen en una asociaciÛn negativa entre la proporciÛn de niÒas en la clase y la proporciÛn de niÒas repetidoras entre todas las niÒas en cursos superiores. Esta asociaciÛn es la raÌz de los efectos de pares de gÈnero espurios que surgen cuando usamos el enfoque basado en el curso escolar.

⁶Hoxby (2000) y Lavy y Schlosser (2011) tambiÈn encuentran que las niÒas ejercen un efecto derrame positivo sobre los niÒos en las asignaturas donde las niÒas obtienen peores resultados que los niÒos. Vean Sacerdote (2011) para una reseÒa de la literatura sobre los efectos derrame en las escuelas y vean Lavy y Schlosser (2011) para la evidencia de los mecanismos que est·n detr·s de los efectos de pares de gÈnero relacionados con el comportamiento en la clase y la relaciÛn entre los alumnos asÌ como la del alumno y profesor.

La direcciÛn de los efectos de pares de gÈnero espurios depende de si el rendimiento de los no repetidores es mejor o peor en promedio que el de los alumnos que repitieron curso en el pasado. Si los alumnos no repetidores suelen tener mejor rendimiento (como en nuestros datos), la clase con el n˙mero o la proporciÛn de niÒas m·s elevada en primero de primaria tender· a tener niÒas con un rendimiento mejor que el promedio en cursos superiores debido a una proporciÛn m·s baja de niÒas repetidoras, con rendimientos m·s bajos, entre todas las niÒas. Como resultado de ello, las áuctuaciones exÛgenas en la composiciÛn de gÈnero de cohortes de edad se traducen en una asociaciÛn positiva entre la proporciÛn de niÒas respecto de todos los alumnos y el rendimiento de niÒas en cursos superiores. Esta asociaciÛn positiva entre la proporciÛn de niÒas y el rendimiento acadÈmico de niÒas en cursos superiores produce efectos de pares de gÈnero espurios positivos de niÒas sobre el rendimiento de niÒas cuando usamos el enfoque basado en cursos. ⁸Para niÒos, el argumento es simÈtrico e implica un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de la proporciÛn de niÒos en el curso sobre el rendimiento de niÒos, y por tanto, el efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre niÒos en el curso (ya que la proporciÛn de niÒos y de niÒas en un curso suman uno).

⁷Esto seguir· siendo el caso aunque la probabilidad de repetir curso sea diferente para niÒos y niÒas siempre y cuando el gÈnero de los alumnos repetidores sea independiente de la composiciÛn de gÈnero de la clase que los recibe. La condiciÛn suÖciente para que esto sea el caso es la independencia de la distribuciÛn de la composiciÛn de gÈnero entre las cohortes de edad.

Generalmente, el enfoque basado en cursos escolares tambiÈn produce efectos de pares de gÈnero espurios cuando existen áuctuaciones en las aptitudes relativas de niÒas y niÒos en cohortes de edad entrantes. Pero tales áuctuaciones en aptitud no necesariamente ñcomo sugiere el primer an·lisisñ se traducen en efectos de pares de gÈnero espurios positivos de niÒas sobre niÒas y niÒos sobre niÒos (o equivalentemente, un efecto espurio positivo de niÒas sobre niÒas y negativo de niÒas sobre niÒos). En vez de eso, la direcciÛn de los efectos de pares de gÈnero espurios depende de si la repeticiÛn de curso mejora o empeora la aptitud de alumnos repetidores. Para entender las fuerzas que determinan la direcciÛn de los efectos de pares de gÈnero espurios inducidos por áuctuaciones en aptitudes, consideremos una clase entrante (primero de primaria) en la que la proporciÛn de niÒas es igual al promedio de los primeros de primaria pero en que las niÒas tienen un rendimiento m·s alto de lo habitual. A medida que esta clase progresa de primero a cursos superiores, la proporciÛn de niÒas repetidoras ser· m·s baja que la media. Adem·s, el rendimiento medio de las niÒas no repetidoras ser· mejor que el promedio. Por consiguiente, esta clase acabar· con una proporciÛn de niÒas entre todos los alumnos m·s alta y con niÒas con un rendimiento mejor de lo habitual. Esto se traducir· en un efecto espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas cuando usemos el enfoque de curso escolar. Pero existe una fuerza compensadora que opera en la clase que entra despuÈs de la clase con niÒas con un rendimiento elevado. A medida que esta clase contin˙e en los cursos superiores, recibir· niÒas que empezaron con niÒas con rendimiento alto. Ya que la aptitud de estas niÒas que repiten est· por encima de la media y su n˙mero por debajo, la clase que sigue a la que tiene niÒas de alto rendimiento acaba teniendo en cursos superiores niÒas con elevado rendimiento pero una proporciÛn de niÒas entre todos los alumnos por debajo de la media. La fuerza dominante en nuestro modelo depende de si la repeticiÛn de curso mejora o empeora la aptitud de alumnos repetidores. Si al repetir curso el rendimiento de alumnos repetidores mejora, las perturbaciones a la aptitud de niÒas en la cohorte de edad se traduce en efecto espurio positivo de la proporciÛn de niÒas en el curso sobre el rendimiento de niÒas en el mismo curso. El efecto de la perturbaciÛn a la aptitud de niÒos es simÈtrico e implica un efecto espurio positivo de la proporciÛn de niÒos en el curso sobre el rendimiento de niÒos (o equivalentemente, un efecto espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos) si los alumnos repetidores mejoran su aptitud al repetir el curso.

⁸Resulta que hay una fuerza compensatoria que, en principio, podrÌa dominar e invertir el signo de los efectos de pares de gÈnero espurios. Esta fuerza compensatoria emerge en las clases que reciben alumnos repetidores de las clases que empezaron con una proporciÛn de niÒas excepcionalmente elevada. Hallamos que para que esta fuerza domine, la polÌtica de repeticiÛn de curso deberÌa ser tan estricta que m·s de la mitad de alumnos repiten curso. Este escenario hipotÈtico parace ser poco relevante desde punto de vista empÌrico ya que las tasas de repeticiÛn est·n por debajo de los 50% en practicamente todos los paÌses (PISA, 2009).

Encontramos que el enfoque basado en el curso escolar sigue produciendo efectos de pares de gÈnero espurios cuando instrumentamos la proporciÛn de niÒas en el curso con la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad. Esto se debe a que la proporciÛn de niÒas en la cohorte afecta al rendimiento de niÒas y niÒos a nivel de curso a travÈs de la proporciÛn de niÒas/niÒos repetidores entre todos los alumnos del mismo gÈnero, aunque no haya efectos de pares de gÈnero reales. Como consecuencia, la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad no satisface la restricciÛn de exclusiÛn necesaria para la estimaciÛn con variables instrumentales. Omitir los alumnos repetidores del an·lisis (o controlar por la repeticiÛn de curso a nivel individual) tampoco elimina el sesgo del enfoque basado en cursos escolares ya que existe selecciÛn en tÈrminos de rendimiento de los alumnos repetidores.

En nuestra aplicaciÛn empÌrica del enfoque basado en cohorte de edad, asignamos alumnos a la misma escuela primaria y cohorte de edad si en el sexto curso (cuando el test fue administrado) ellos estaban en la misma escuela y si seg˙n las normas de matrÌcula deberÌan haber empezado primaria el mismo aÒo. En aplicaciones con informaciÛn sobre la escuela primaria donde los alumnos empezaron la escuela, uno podrÌa analizar si niÒas o niÒos que empiezan la escuela con el cohorte con una mayor proporciÛn de niÒas acaban teniendo mejores rendimientos que los alumnos del mismo gÈnero que empezaron en la misma escuela pero con un cohorte de edad diferente. La discrepancia con la estrategia que asigna los alumnos a las escuelas bas·ndose en la escuela en que hicieron el test deberÌa ser poca si la movilidad entre las escuelas es baja. La informaciÛn disponible sugiere poca movilidad de alumnos en la Comunidad de Madrid, hasta en comparaciÛn con Israel (la movilidad en Texas es alta). Bas·ndonos en datos del 2012 y 2013, estimamos que aproximadamente un 2,8 por ciento de los alumnos de segundo de primaria no estuvieron en la misma escuela en primero. En Israel, el 7,9 por ciento de los alumnos dejaron su escuela entre el primero y el segundo aÒo de primaria en 2002 (Lavy y Schlosser, 2011). La baja movilidad de los alumnos en la Comunidad de Madrid corresponde con la baja movilidad residencial en EspaÒa (vean Caldera y Andrews, 2011).

Nuestro trabajo est· estrechamente relacionado con Hoxby (2000) y Lavy y Schlosser (2011), que estiman los efectos de pares de gÈnero usando la variaciÛn dentro de las escuelas en la composiciÛn de gÈnero a nivel de curso escolar para Texas e Israel, respectivamente.

Lavy y Schlosser estiman efectos de pares de gÈnero en escuelas primarias y secundarias b·sicas y superiores. Para escuelas primarias, ellos encuentran un efecto estadÌsticamente signiÖcativo de la proporciÛn de las niÒas sobre el rendimiento de las niÒas en matem·ticas y un efecto no signiÖcativo de las niÒas sobre el rendimiento en matem·ticas de los niÒos. En ciencias y tecnologÌa ellos hallan un efecto de pares de gÈnero signiÖcativo de las niÒas sobre el rendimiento de los niÒos y niÒas, mientras los efectos de pares de gÈnero no son signiÖcativos en hebreo o inglÈs. Cuantitativamente los efectos de pares de gÈnero son similares a los que encontramos para EspaÒa. En secundaria b·sica, Lavy y Schlosser encuentran efectos de pares de gÈnero signiÖcativos de las niÒas sobre el rendimiento de las niÒas en matem·ticas e inglÈs pero no en ciencia, tecnologÌa o hebreo. Los efectos de pares de gÈnero de las niÒas sobre el rendimiento de los niÒos no son signiÖcativos en ninguna de las materias. En secundaria superior, Lavy y Schlosser encuentran efectos de pares de gÈnero de las niÒas sobre el rendimiento de las niÒas asÌ como niÒos para variedad de medidas acadÈmicas. ⁹ El estudio de Hoxby para Texas encuentra efectos de pares de gÈnero estadÌsticamente signiÖcativos de niÒas sobre niÒas en matem·ticas y lectura entre tercer y sexto curso de primaria. Los efectos de pares de niÒas sobre el rendimiento de niÒos tambiÈn son mayormente signiÖcativos en lectura, con la ˙nica excepciÛn de cuarto de primaria. Los efectos de pares de niÒas sobre niÒos en matem·ticas son estadÌsticamente no signiÖcativos en cuarto y quinto curso pero positivos y estadÌsticamente signiÖcativos en el tercero y sexto. De nuevo, el tamaÒo de los efectos de pares de gÈnero es parecido a lo que encontramos para EspaÒa.

Nuestro trabajo tambiÈn est· relacionado con el estudio de Whitmore (2005) sobre efectos de pares de gÈnero en la educaciÛn preescolar y en cursos de primero a tercero de primaria, usando las diferencias en composiciÛn de gÈnero generadas por el proyecto STAR. ¹⁰ Su enfoque explota las diferencias en la composiciÛn de gÈnero entre las clases dentro de cursos y escuelas. Encuentra que el efecto de tener m·s niÒas en una clase sobre el rendimiento del alumno medio depende del curso escolar. Asimismo el efecto es positivo y signiÖcativo en la educaciÛn preescolar y segundo curso, no es signiÖcativo en primero y signiÖcativamente negativo en tercero. Cuando Whitmore permite que los efectos sean diferentes para los niÒos y niÒas, sus resultados se vuelven estadÌsticamente no signiÖcativos debido al aumento de los errores est·ndar (posiblemente porque el tamaÒo de su muestra es pequeÒo en comparaciÛn con Hoxby y Lavy y Schlosser).¹¹

⁹Lavy y Schlosser tambiÈn proporcionan evidencia sobre los mecanismos. Ellos encuentran que m·s niÒas (menos niÒos) en el curso baja los niveles de interrupciones y violencia en las clases, mejora la relaciÛn entre los alumnos asÌ como la relaciÛn con los profesores, y disminuye el nivel cansancio de los profesores. Estos efectos vienen determinados por los cambios de la composiciÛn a nivel de curso y no por los cambios en el comportamiento individual de los alumnos.

¹⁰El proyecto asignÛ de manera aleatoria los niÒos del preescolar a las escuelas que participaron en el proyecto y a los alumnos entrantes a las escuelas participantes a las clases (de diferentes tipos). Merece la pena mencionar que las escuelas pertenecientes al proyecto permitieron repeticiÛn de cursos (Whitmore Schanzenbach, 2006).

El resto del trabajo se estructura de la siguiente manera. La secciÛn 2 desarrolla un marco conceptual para razonar sobre los efectos de pares de gÈnero y la repeticiÛn de curso. La secciÛn 3 presenta los datos y nuestros resultados empÌricos para EspaÒa. La secciÛn 4 contiene un an·lisis contrafactual sobre el enfoque basado en cursos escolares dentro de la escuela cuando se suaviza la polÌtica de repeticiÛn de curso y hay menos niÒos que repiten un curso. La secciÛn 5 presenta las conclusiones.

2 Un marco conceptual

Para entender quÈ deberÌamos esperar cuando se estiman efectos de pares de gÈnero en un sistema educativo con repeticiÛn de curso, desarrollamos un modelo teÛrico con el cual podamos trabajar analÌticamente. Una de las caracterÌsticas del modelo es la existencia de perturbaciones exÛgenas en la composiciÛn de gÈnero de cohortes de edad y en las aptitudes de niÒas y niÒos. Los alumnos cuyo rendimiento no alcanza cierto umbral repiten el curso, no hay efecto de pares de gÈnero. Usamos el modelo para examinar cu·ndo y por quÈ el en foque basado en el curso escolar produce efectos de pares de gÈnero espurios. Nuestro primer resultado principal es que si los alumnos no repetidores suelen tener mejor rendimiento que los alumnos en el mismo curso que repitieron en el pasado, entonces, al usar el enfoque basado en el curso escolar, áuctuaciones exÛgenas en la composiciÛn de gÈnero de cohortes de edad generalmente producen efectos de pares de gÈnero espurios positivos de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y efectos espurios negativos de niÒas sobre niÒos. Nuestro segundo resultado principal es que si la repeticiÛn de curso mejora el rendimiento de alumnos repeti dores, entonces perturbaciones en las aptitudes de niÒas y niÒos a nivel de cohorte de edad generalmente tambiÈn se traduce en efectos de pares de gÈnero espurios positivos de niÒas sobre niÒas y efectos de pares espurios negativos de niÒas sobre niÒos cuando se usa el enfoque basado en el curso. Por el otro lado, el enfoque basado en cohortes de edad no produce efectos de pares de gÈnero espurios.

Nuestro modelo tambiÈn sirve para explicar por quÈ el sesgo del enfoque de cursos escolares no se puede eliminar omitiendo a los alumnos repetidores del an·lisis o instrumentando la composiciÛn de gÈnero a nivel de curso con la composiciÛn de gÈnero a nivel de cohorte

¹¹Graham, Imbens y Ridder (2010) desarrollan una estrategia para cuantiÖcar los beneÖcios de la redistribuciÛn de los individuos en grupos sociales en presencia de los efectos derrame e ilustran su estrategia examinando los efectos de la segregaciÛn por gÈnero sobre los rendimientos en matem·ticas en jardines de infancia usando los datos del STAR. Ellos encuentran que el aumento de segregaciÛn por gÈnero beneÖcia a las niÒas pero daÒa a los niÒos; el rendimiento medio cambiarÌa poco.

de edad.

2.1 Un sistema educativo con repeticiÛn de curso

NiÒos de cohorte de edad t empiezan la primaria el aÒo Entran en el primer curso de primaria, donde pasan L o aÒos en funciÛn de si repiten el curso o no, y en cursos superiores hacen un test estandarizado. Los alumnos nunca repiten cursos superiores. Si el alumno se queda un aÒo m·s o no en los primeros cursos de primaria depende de cÛmo es su rendimiento a despuÈs de L aÒos en los primeros cursos en relaciÛn con el umbral acadÈmico p establecido para pasar de curso. Los alumnos i de gÈnero g en la escuela s y la cohorte de edad t progresan de primeros cursos a cursos superiores despuÈs de L aÒos si su rendimiento satisface la siguiente condiciÛn

\[a _ {i g s} ^ {t} \geq p _ {g s} ^ {t}.\tag{1}\]

Los alumnos cuyo rendimiento est· por debajo del umbral, , se quedan un aÒo m·s en los primeros cursos y progresan a los superiores despuÈs de aÒos. Ocasionalmente nos referimos a alumnos en la cohorte de edad t que pasan a cursos superiores en como alumnos que entran ìen su aÒoî y a que los progresan a cursos superiores despuÈs de aÒos como alumnos que entran ìtardeî. El umbral acadÈmico en (1) se puede ver afectado por perturbaciones que son especiÖcas a las escuelas, cohortes de edad y gÈnero. (Una interpretaciÛn alternativa de las perturbaciones al son perturbaciones a la aptitud que es relevante para la repeticiÛn de curso pero irrelevante para el rendimiento en los tests estandarizados que los alumnos pasan en cursos superiores.)

Cada aÒo un continuo de alumnos de medida uno empieza primero de primaria en cada escuela. Una proporciÛn de estos alumnos son niÒas y una proporciÛn son niÒos. La distribuciÛn de la aptitud en la cohorte t en la escuela s despuÈs de L aÒos en los primeros cursos es uniforme con densidad media especiÖco para el la escuela y la cohorte de edad. La regla para pasar de curso en (1) implica que la proporciÛn de alumnos de gÈnero g en cohorte de edad t que llegan a los cursos superiores en el aÒo (sin haber repetido) es

\[\lambda_ {g s} ^ {t} = \frac {\alpha_ {g s} ^ {t} + \theta - p _ {g s} ^ {t}}{2 \theta}.\tag{2}\]

Suponemos que algunos pero no todos los alumnos repiten el curso en los primeros aÒos en cada escuela , , lo que implica la restricciÛn del par·metro

\[- \theta < \alpha_ {g s} ^ {t} - p _ {g s} ^ {t} < \theta .\tag{3}\]

¹²Suponemos que todos los niÒos se matriculan seg˙n la norma del sistema educativo.

El rendimiento de los alumnos en los tests estandarizados administrados en los cursos superiores de primaria reáeja su aptitud. El rendimiento medio de los alumnos que no repitieron el curso es

\[E (t e s t _ {g s} ^ {t} | n o r e p e t i d o r e s) = E (a _ {g s} ^ {t} | a _ {g s} ^ {t} \geq p _ {g s} ^ {t}) = \frac {\alpha_ {g s} ^ {t} + \theta + p _ {g s} ^ {t}}{2}\tag{4}\]

donde es la aptitud media de los alumnos cuya aptitud despuÈs de L aÒos en los primeros cursos est· por encima de la ˙ltima igualdad usa el hecho de que la aptitud est· distribuida uniformemente con la densidad la media . El rendimiento en los test de los alumnos que llegan a los cursos superiores habiendo pasado un aÒo m·s en los primeros cursos es

\[E (t e s t _ {g s} ^ {t} | r e p e t i d o r e s) = E (a _ {g s} ^ {t} | a _ {g s} ^ {t} \leq p _ {g s} ^ {t}) + \delta_ {g s} ^ {t} = \frac {\alpha_ {g s} ^ {t} - \theta + p _ {g s} ^ {t}}{2} + \delta_ {g s} ^ {t}\tag{5}\]

donde capta los cambios en aptitud especÌÖcos de las escuela, cohorte de edad y gÈnero asociados al hecho de repetir curso. Si , los alumnos repetidores acumulan aptitud adicional y por este motivo su rendimiento en el test es mejor del que tendrÌan de no haber repetido el curso. Seg˙n , la diferencia entre el rendimiento medio en el test de los alumnos repetidores y los que no repitieron el curso en la misma escuela y cohorte de edad es

\[E (t e s t _ {g s} ^ {t} | n o r e p e t i d o r e s) - E (t e s t _ {g s} ^ {t} | r e p e t i d o r e s) = \theta - \delta_ {g s} ^ {t}.\tag{6}\]

Por consiguiente, si , los alumnos no repetidores obtienen mejores resultados en promedio que los repetidores de la misma cohorte de edad a pesar de haber pasado un aÒo menos en los primeros cursos de primaria.

El rendimiento medio en el test de niÒas y niÒos se puede expresar en tÈrminos de rendimientos en el test de niÒas o niÒos repetidores y no repetidores y la proporciÛn de niÒas o niÒos no repetidores entre todos los alumnos del mismo gÈnero en cursos superiores. La proportciÛn de niÒas no repetidoras entre todas las niÒas en cursos superiores de escuela primaria s y aÒo escolar que empieza en es

\[\mu_ {f s \tau} = \frac {\phi_ {s} ^ {\tau - L} \lambda_ {f s} ^ {\tau - L}}{\phi_ {s} ^ {\tau - L} \lambda_ {f s} ^ {\tau - L} + \phi_ {s} ^ {\tau - L - 1} (1 - \lambda_ {f s} ^ {\tau - L - 1})}\tag{7}\]

donde f indica el gÈnero femenino, es la proporciÛn de niÒas no repetidoras en la cohorte de edad es la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad t. La proporciÛn de niÒos no repetidores entre los niÒos en cursos superiores en la escuela s y el aÒo escolar que empieza en se puede obtener de manera an·loga

\[\mu_ {m s \tau} = \frac {(1 - \phi_ {s} ^ {\tau - L}) \lambda_ {m s} ^ {\tau - L}}{(1 - \phi_ {s} ^ {\tau - L}) \lambda_ {m s} ^ {\tau - L} + (1 - \phi_ {s} ^ {\tau - L - 1}) (1 - \lambda_ {m s} ^ {\tau - L - 1})}\tag{8}\]

donde m indica el gÈnero masculino. El rendimiento medio de niÒas y niÒos en cursos superiores el aÒo escolar que empieza en se puede escribir de la siguiente manera

\[\operatorname{test} _ {g s \tau} = \mu_ {g s \tau} E \left(\operatorname{test} _ {g s} ^ {\tau - L} \mid \text {no repetidores}\right) + \left(1 - \mu_ {g s \tau}\right) E \left(\operatorname{test} _ {g s} ^ {\tau - L - 1} \mid \text {repetidores}\right).\tag{9}\]

2.2 Estimando los efectos de pares de gÈnero a nivel de curso

Primero, estimamos el modelo para analizar cu·ndo y por quÈ el enfoque basado en cursos escolares produce efectos de pares de gÈnero espurios. Entonces discutimos por quÈ el sesgo de este enfoque no se puede eliminar omitiendo a los alumnos repetidores del analisis o instrumentando la composiciÛn de gÈnero a nivel de curso con la composiciÛn de gÈnero a nivel de cohorte de edad.

2.2.1 El enfoque basado en cursos escolares

Supongamos que estimamos los efectos de pares de gÈnero usando el enfoque de cursos escolares dentro de las escuelas en cursos superiores de la primaria. De modo que regresamos los cambios en el rendimiento medio en el test de niÒos y niÒas en cursos superiores entre escuelas sobre los cambios correspondientes en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores, gir . La proporciÛn de niÒas en curso superior en la escuela s en el aÒo escolar que empieza en se puede obtener combinando la proporciÛn de niÒas y niÒos en cohortes de edad que no repitieron el curso con la proporciÛn de niÒas en estas cohortes de edad

\[g i r l s h _ {s \tau} = \frac {\phi_ {s} ^ {\tau - L} \lambda_ {f s} ^ {\tau - L} + \phi_ {s} ^ {\tau - L - 1} (1 - \lambda_ {f s} ^ {\tau - L - 1})}{\phi_ {s} ^ {\tau - L} \lambda_ {f s} ^ {\tau - L} + \phi_ {s} ^ {\tau - L - 1} (1 - \lambda_ {f s} ^ {\tau - L - 1}) + (1 - \phi_ {s} ^ {\tau - L}) \lambda_ {m s} ^ {\tau - L} + (1 - \phi_ {s} ^ {\tau - L - 1}) (1 - \lambda_ {m s} ^ {\tau - L - 1})}.\tag{10}\]

Ahora demostraremos que este tipo de enfoque a nivel de cursos escolares produce efectos de pares de gÈnero espurios y que la direcciÛn de estos efectos depende de los par·metros del modelo asÌ como del origen de las perturbaciones a nivel de curso en la proporciÛn de niÒas y el rendimiento en el test. Los posibles orÌgenes de las perturbaciones en nuestro modelo son áuctuaciones en la proporciÛn de niÒas en la aptitud de niÒas y niÒos a nivel de la cohorte de edad asÌ como las perturbaciones en los umbrales acadÈmicos que determinan quÈ alumnos en una cohorte de edad se quedan un aÒo m·s en los primeros cursos . Examinamos las consecuencias de estos tres tipos de perturbaciones de una en una. Para simpliÖcar el an·lisis suponemos en todo momento que el cambio en aptitud asociado con el hecho de repetir curso es el mismo para niÒos y niÒas y entre escuelas y cohortes de edad,

Perturbaciones en la proporciÛn de niÒas a nivel de la cohorte de edad Supongamos que la aptitud y el umbral acadÈmico para pasar de curso son los mismos entre escuelas, cohortes de edad y gÈnero, Las ˙nicas perturbaciones son perturbaciones distribuidas indÈntica e independientemente a la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad

\[\phi_ {s} ^ {t} = 0. 5 + \eta_ {s} ^ {t}.\tag{11}\]

obtendrÌamos si estimamos los efectos de pares de gÈnero en cursos superiores usando el enfoque basado en los cursos escolares? Linealizando la proporciÛn de niÒas en cursos superiores en (10) resulta que el enfoque basado en cursos escolares produce un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento acadÈmico de niÒas y efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si

\[(2 \lambda - 1) (\theta - \delta) V a r (\eta) > 0\tag{12}\]

donde es la diferencia entre el rendimiento medio en el test de los alumnos no repetidores y los que repitieron el curso expresada en es la proporciÛn de alumnos no repetidores de (2). ; el enfoque basado en cursos escolares producirÌa efectos de pares de gÈnero espurios negativos de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y efectos espurios positivos de niÒas sobre el rendimiento de niÒos. El enfoque basado en cursos escolares no producirÌa efectos de pares de gÈnero espurios sÛlo si

AsÌ que, seg˙n la inecuaciÛn (12), el enfoque basado en los cursos escolares indicarÌa un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y un efecto espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si la tasa de repeticiÛn de curso no es muy alta, y si los no repetidores en promedio tienen mejor rendimiento que los alumnos que repitieron en curso en el pasado, . Para comprender la intuiciÛn detr·s de estas condiciones es ˙til sopersar las consecuencias de una perturbaciÛn positiva en la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad t sobre la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y sobre su rendimiento en el test en los aÒos escolares que empiezan en Los alumnos no repetidores de la cohorte de edad t llegan a los cursos superiores en y los que repiten el curso lo hacen en . Usando la ecuacÛn (10), el incremento en la proporciÛn de niÒas entre todos los alumnos de cursos superiores en se

¹³Esto implica que la proporciÛn de niÒas y niÒos no repetidores entre los alumnos del mismo gÈnero es la misma en cada cohorte de edad y no varÌa entre escuelas. Si estas proporciones fuesen especÌÖcas a cada gÈnero, los resultados no cambiarÌan siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones para la proporciÛn de niÒas no repetidoras y la proporciÛn de niÒos no repetidores.

¹⁴Para la demostraciÛn de este resultado vean el ApÈndice.

puede calcular como

\[\frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = \lambda \mathrm{y} \frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L + 1}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = 1 - \lambda\tag{13}\]

donde las derivadas se eval˙an en . Estas expresiones muestran que la porciÛn de las niÒas extra en la cohorte de edad t llegan a los cursos superiores en el aÒo mientras la porciÛn repiten el curso y por tanto sÛlo llegan a los cursos superiores en el aÒo

Las niÒas extra en la cohorte de edad t que llegan a los cursos superiores el aÒo no repitieron curso y de este modo el incremento de la proporciÛn de niÒas en cursos superiores entre todos los alumnos en cursos superiores en el aÒo acadÈmico que empieza en va vinculado al incremento de la propociÛn de niÒas no repetidoras entre todas las niÒas en cursos superiores.

Usando la condiciÛn (7) podemos calcular el increamento como

\[\frac {\partial \mu_ {f s , t + L}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = 2 \lambda (1 - \lambda)\tag{14}\]

Donde las derivadas se eval˙an en : La mayor proporciÛn de niÒas no repetidoras entre todas las niÒas en cursos superiores se traduce en un mejor rendimiento medio de niÒas en cursos superiores en siempre y cuando los alumnos no repetidores tienen mejor rendimiento que los que repitieron el curso en el pasado. El aumento en el rendimiento medio de niÒas en cursos superiores se puede calcular usando (9)

\[\frac {\partial t e s t _ {g s , t + L}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = \frac {\partial \mu_ {f s , t + L}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} (\theta - \delta) = 2 \lambda (1 - \lambda) (\theta - \delta).\tag{15}\]

Mientras una perturbaciÛn positiva en la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad t se traduce en un rendimiento mejor de niÒas en cursos superiores en el aÒo escolar que empieza en , esta perturbaciÛn conlleva peor rendimiento de niÒas en cursos superiores en . Recuerden, que todas las niÒas de la cohorte de edad t que llegan a cursos superiores en el aÒo repitieron el curso durante los primeros aÒos de primaria. De modo que la proporciÛn de niÒas repetidoras entre todas las niÒas en cursos superiores en el aÒo aumenta y eso empeora el rendimiento medio de niÒas en el test siempre y cuando los alumnos no repetidores tengan mejor rendimiento que los repetidores. El efecto sobre el rendimiento medio en el test de las niÒas en cursos superiores se puede calcular usando de nuevo la ecuaciÛn (9)

\[\frac {\partial t e s t _ {g s , t + L + 1}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = - \frac {\partial \mu_ {f s , t + L + 1}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} (\theta - \delta) = - 2 \lambda (1 - \lambda) (\theta - \delta).\tag{16}\]

Combinando (15) y (16) con (13) llegamos al siguiente resultado, despuÈs de una perturbaciÛn positiva en la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad, la proporciÛn de niÒas en cursos superiores aumenta en los aÒos acadÈmicos que empiezan en , mientras el rendimiento medio de las niÒas aumenta en disminuye en . Por consiguiente, existe una relaciÛn positiva entre el cambio en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y el cambio en el rendimiento de niÒas en una relaciÛn negativa en

Ahora supongamos que estimamos los efectos de pares de gÈnero en cursos superiores regresando los cambios en el rendimiento medio en el test de niÒas en cursos superiores entre escuelas sobre los cambios correspondientes en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores, . El signo de la pendiente de mÌnimos cuadrados es igual al signo de la covarianza entre los cambios en el rendimiento de las niÒas y los cambios en la proporciÛn de niÒas entre escuelas. Si la probabilidad de una perturbaciÛn positiva en la proporciÛn de niÒas es la misma para diferentes escuelas y cohortes de edad, entonces la proporciÛn de escuelas en las que los cambios en la proporciÛn de niÒas son asociados positivamente con el rendimiento medio de las niÒas, ser· la misma que la proporciÛn de escuelas con una asociaciÛn negativa. El signo de la pendiente de los mÌnimos cuadrados se simpliÖca hasta convertirse en el signo de la suma ponderada de los cambios en el rendimiento en el test de las niÒas dentro de las escuelas que experimentan una mejora de rendimiento y de las que empeoran el rendimiento usando los cambios respectivos en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores como pesos

\[\frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} \frac {\partial t e s t _ {g s , t + L}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} + \frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L + 1}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} \frac {\partial t e s t _ {g s , t + L + 1}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = 2 \lambda (1 - \lambda) (2 \lambda - 1) (\theta - \delta)\tag{17}\]

donde usamos las condiciones . Esto implica que las regresiones a nivel de curso de los cambios en el rendimiento de niÒas sobre los cambios en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores produce un efecto estrictamente positivo si la tasa de repeticiÛn no es demasiado alta y si los alumnos no repetidores tienen mejor rendimiento medio que los repetidores (mantenemos en todo momento el supuesto . Intuitivamente, en este caso, la asociaciÛn a nivel de curso positiva entre los cambios en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y el rendimiento en el test de las niÒas predomina. Como resultado, el enfoque basado en cursos escolares produce un efecto de pares de gÈnero positivo de niÒas sobre el rendimiento acadÈmico de niÒas.

Para niÒos se aplica un argumento an·logo, lo que implica que la regresiÛn de mÌnimos cuadrados de los cambios dentro de escuelas en el redimiento en el test de los niÒos, sobre los cambios respectivos en la proporciÛn de niÒos produce una pendiente estrictamente positiva si . Como el cambio en la proporciÛn de niÒos en cada escuela es el negativo de la proporciÛn de niÒas, se deduce que la regresiÛn de mÌnimos cuadrados de los cambios dentro de escuelas en el rendimiento de los niÒos en cursos superiores sobre los cambios en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores produce una pendiente estrictamente negative si . De este modo, el enfoque basado en cursos escolares produce un efecto de pares de gÈnero negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si la tasa de repeticiÛn no es muy alta y los no repetidores en general tienen mejor rendimiento que los repetidores.

Perturbaciones en la aptitud de niÒas y niÒos a nivel de la cohorte de edad El segundo origen de perturbaciones en la proporciÛn de niÒas y en el rendimiento en el test a nivel de curso son las perturbaciones en la aptitud de niÒas y niÒos a nivel de una cohorte de edad. Para entender el efecto de estas perturbaciones supongamos que las aptitudes medias de niÒas y niÒos en una cohorte de edad y escuela est·n sujetas a perturbaciones correlacionadas que son independientes entre cohortes y escuelas

\[\alpha_ {f s} ^ {t} = \alpha + \varepsilon_ {f s} ^ {t} \quad \mathrm{and} \quad \alpha_ {m s} ^ {t} = \alpha + \varepsilon_ {m s} ^ {t}\tag{18}\]

donde Correl son independientes entre cohortes de edad y escuelas con una varianza com˙n . Supongamos que el umbral acadÈmico para repetir curso es el mismo entre escuelas, cohortes de edad y gÈnero, que la proporciÛn de niÒas y niÒos en cada cohorte de edad es la misma, : Linealizando la proporciÛn de niÒas en cursos superiores en (10) resulta que la estrategia de indentiÖcaciÛn de efectos de pares de gÈnero en cursos superiores basada en cursos produce un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y un efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre niÒos si

\[(2 \lambda - 1) \delta (1 - \rho_ {\varepsilon}) V a r (\varepsilon) > 0. ^ {1 5}\tag{19}\]

El enfoque basado en cursos producirÌa un efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y un efecto espurio positivo de niÒas sobre niÒos si . El enfoque basado en cursos no producirÌa efectos de pares de gÈnero espurios sÛlo si

De modo que el enfoque basado en cursos indicarÌa un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y un efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si la tasa de repeticiÛn de curso no es muy alta, y si el repetir curso mejora la aptitud de los alumnos repetidores, , siempre y cuando las perturbaciones en las aptitudes de niÒas y niÒos no estÈn perfectamente correlacionadas, . Para entender este resultado consideremos las implicaciones de una perturbaciÛn positiva en la aptitud media de niÒas en la cohorte de edad t sobre la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y su rendimiento en el test en el aÒo escolar que empieza en . Usando (2) y (10) obtenemos que la proporciÛn de niÒas en cursos superiores cambia por

¹⁵Para la demostracin de este resultado vean el Apndice.

\[\frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L}}{\partial \alpha_ {s} ^ {t}} = \frac {1}{8 \theta} \quad \mathrm{y} \quad \frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L + 1}}{\partial \alpha_ {s} ^ {t}} = - \frac {1}{8 \theta}\tag{20}\]

donde las derivadas se eval˙an en . De modo que la proporciÛn de niÒas en cursos superiores aumenta en , ya que una perturbaciÛn positiva en la aptitud de niÒas en la cohorte de edad t implica que menos niÒas van a repetir curso en primeros cursos, y disminuye en la misma cuantÌa en

Una perturbaciÛn positiva en la aptitud media de las niÒas en la cohorte de edad t tambiÈn afecta el rendimiento medio de las niÒas en cursos superiores. Usando (4)-(9) obtenemos que el rendimiento medio en el test de niÒas en cursos superiores en aÒos escolares que empiezan en cambia por

\[\frac {\partial t e s t _ {f s , t + L}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} = \mu_ {f s, t + L} \frac {\partial E (t e s t _ {f s} ^ {t} | n o r e p e t i d o r e s)}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} + \frac {\partial \mu_ {f s , t + L}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} (\theta - \delta) = \frac {1}{2} - (1 - \lambda) \frac {\delta}{2 \theta}\tag{21}\]

y

\[\frac {\partial t e s t _ {f s , t + L + 1}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} = (1 - \mu_ {f s, t + L + 1}) \frac {\partial E (t e s t _ {f s} ^ {t} | r e p e t i d o r e s)}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} + \frac {\partial \mu_ {f s , t + L + 1}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} (\theta - \delta) = \frac {1}{2} - \lambda \frac {\delta}{2 \theta}\tag{22}\]

donde las derivadas de nuevo se eval˙an en . Estas expresiones captan dos tipos de efectos. Primero, una perturbaciÛn positiva en la aptitud media de niÒas en la cohorte de edad t mejora el rendimiento medio en el test de las niÒas no repetidoras, quienes llegan a los cursos superiores en asÌ como de las repetidoras quienes llegan a los cursos superiores en . Esto mejora el rendimiento medio de niÒas en cursos superiores en y en en proporciÛn al peso que tienen las niÒas repetidoras en las no repetidoras en . Adem·s, la composiciÛn de niÒas en cursos superiores se desplaza hacia las niÒas no repetidoras en debido a que en habr· m·s niÒas no repetidoras y en habr· menos repetidoras. Si esto refuerza la mejora del rendimiento medio de las niÒas o va en direcciÛn contraria depende del rendimiento de las no repetidoras en comparaciÛn con las que repitieron el curso en el pasado. Por ejemplo, si las niÒas no repetidoras tienen mejor rendimiento en promedio, (21)-(22) implican que el rendimiento medio de niÒas incrementa en los aÒos acadÈmicos que empiezan en . Por consiguiente, en este caso, (20)-(22) nos dicen que en existe una asociaciÛn positiva entre la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y el rendimiento en el test de las niÒas y una asociaciÛn negativa en

Ahora supongamos que estimamos los efectos de pares de gÈnero en cursos superiores regresando los cambios en el rendimiento en el test de niÒas en cursos superiores entre escuelas sobre los cambios correspondientes en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores, . Siguiendo el mismo argumento que hicimos para el caso de las pertubaciones en la proporciÛn de niÒas a nivel de cohorte de edad, supongamos que la probabilidad de una pertubaciÛn positiva en la aptitud media de las niÒas es la misma entre escuelas y cohortes de edad. En este caso el signo de la pendiente de mÌnimos cuadrados se simpliÖca hasta el signo de la suma ponderada de los cambios dentro de la escuela en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores en escuelas que experimentan un aumento y las que ven una disminuciÛn con los cambion en el rendimiento en el test de las niÒas como pesos

\[\frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} \frac {\partial t e s t _ {f s , t + L}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} + \frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L + 1}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} \frac {\partial t e s t _ {f s , t + L + 1}}{\partial \alpha_ {f s} ^ {t}} = \frac {(2 \lambda - 1) \delta}{8}\tag{23}\]

donde usamos (20)-(22). Por ejemplo, si el hecho de repetir curso no afecta la aptitud, , el resultado del test medio de las niÒas de cursos superiores aumenta en la misma cuantidad en todas las escuelas. Como existe la misma proporciÛn de escuelas que ven un aumento de en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores que las que ven una disminuciÛn de , la asociaciÛn positiva entre la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y el rendimiento en el test en unas escuelas se compensa exactamente por la asociaciÛn negativa en otras. Como resultado, el enfoque basado en los cursos no produce efectos de pares de gÈnero espurios. Por el otro lado, si el hecho de repetir curso mejora la aptitud, , la asociaciÛn positiva predomina y el enfoque basado en cursos escolares produce un efecto de pares de gÈnero positivo de niÒas sobre el rendimiento de las niÒas.

Para los niÒos, un argumento an·logo implica que la regresiÛn de mÌnimos cuadrados de los cambios dentro de escuelas en el rendimiento de los niÒos en cursos superiores sobre los respectivos cambios en la proporciÛn de los niÒos en cursos superiores produce una pendiente estrictamente positiva si . Debido a que los cambios en la proporciÛn de niÒos en cursos superiores es el negativo de los cambios en la proporciÛn de niÒas, la regresiÛn de mÌnimos cuadrados de los cambios dentro de la escuela en el rendimiento en el test de los niÒos sobre los cambios en la proporciÛn de las niÒas en cursos superiores produce una pendiente estrictamente negativa si . De este modo el enfoque basado en el curso produce un efecto de pares de gÈnero negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si la tasa de repeticiÛn no es muy alta y si el hecho de repetir curso mejora la aptitud acadÈmica. Esta intuiciÛn tambiÈn es v·lida cuado existen pertubaciones en la aptitud de niÒos asÌ como en la de niÒas, siempre y cuando estas perturbaciones no estÈn perfectamente correlacionadas, . (Si las perturbaciones estuviesen perfectamente correlacionadas no habrÌa variaciÛn en la proporciÛn de niÒas a nivel de curso.)

Perturbaciones en el umbral acadÈmico para pasar de curso El tercer origen de las perturbaciones en la proporciÛn de niÒas y el rendimiento en el test a nivel de curso son las perturbaciones en el umbral acadÈmico para pasar de curso.¹⁶ Para ver las consecuencias de este tipo de perturbaciones suponemos que los umbrales acadÈmicos que se aplican a las niÒas y niÒos est·n sujetos a las perturbaciones que est·n correlacionadas para una cohorte de edad y escuela dadas pero que son independientes entre las dem·s cohortes y las escuelas

\[p _ {f s} ^ {t} = p + \nu_ {f s} ^ {t} \quad \mathrm{and} \quad p _ {m s} ^ {t} = p + \nu_ {m s} ^ {t}\tag{24}\]

donde Correl son independientes entre cohortes de edad con una varianza com˙n : Supongamos tambiÈn que las aptitudes medias de niÒos y niÒas son indÈnticas y son las mismas entre escuelas, cohortes de edad y gÈnero, 2 y que hay la misma proporciÛn de niÒos y niÒas en cada cohorte de edad, . En este caso la identiÖcaciÛn de los efectos de pares de gÈnero en cursos superiores que usa el enfoque basado en cursos escolares producirÌa un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas y un efecto de pares de gÈnero negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si

\[(2 \lambda - 1) \left(1 - \frac {\delta}{2 \theta}\right) (1 - \rho_ {\nu}) V a r (\nu) < 0. ^ {1 7}\tag{25}\]

El enfoque basado en cursos producirÌa un efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento acadÈmico de niÒas y un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒos si . El enfoque basado en cursos no producirÌa efectos de pares de gÈnero espurio sÛlo si

Para entender este resultado consideramos las implicaciones de una perturbaciÛn positiva en el umbral acadÈmico para la repeticiÛn de curso aplicado a las niÒas en la cohorte de edad t para la proporciÛn de niÒas en cursos superiores y su rendimiento en el test en los aÒos acadÈmicos que empiezan en . Seg˙n (2) y (10), la proporciÛn de niÒas en cursos superiores baja en , ya que menos niÒas consiguen pasar de todos los cursos en los primeros cursos sin tener que repetir, y aumenta en la misma cantidad en . El efecto sobre el rendimiento en el test de las niÒas en cursos superiores en se obtiene de (4)+(9)

¹⁶Tal y como ya se mencionÛ anteriormente una interpretaciÛn alternativa de las perturbaciones en el umbral acadÈmico son perturbaciones en las aptitudes que son relevantes en cuanto a repeticiÛn de curso pero irrelaventes en cuanto al rendimiento en el test estandarizado.

¹⁷Para la demostracin de este resultado vean el Apndice.

(26)

\[\frac {\partial t e s t _ {f s , t + L}}{\partial p _ {f s} ^ {t}} = \lambda \frac {1}{2} - (1 - \lambda) \left(\frac {1}{2} - \frac {\delta}{2 \theta}\right)\tag{y}\]

\[\frac {\partial t e s t _ {f s , t + L + 1}}{\partial p _ {f s} ^ {t}} = (1 - \lambda) \frac {1}{2} - \lambda \left(\frac {1}{2} - \frac {\delta}{2 \theta}\right).\tag{27}\]

Siguiendo el mismo argumento que hicimos para las perturbaciones en aptitud, supongamos que la probabilidad de una pertubaciÛn positiva en el umbral acadÈmico aplicado a niÒas es la misma entre escuelas y cohortes de edad. En este caso la pendiente de la regresiÛn de mÌnimos cuadrados ordinarios de los cambios dento de la escuela en el rendimiento de niÒas en cursos superiores sobre los respectivos cambios en la proporciÛn de niÒas entre diferentes escuelas tendr· el mismo signo que la suma ponderada de los cambios en el rendimiento en el test de niÒas en cursos superiores en (26)-(27) usando cambios en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores

\[\frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L}}{\partial p _ {f s} ^ {t}} \frac {\partial t e s t _ {f s , t + L}}{\partial p _ {f s} ^ {t}} + \frac {\partial g i r l s h _ {s , t + L + 1}}{\partial p _ {f s} ^ {t}} \frac {\partial t e s t _ {f s , t + L + 1}}{\partial p _ {f s} ^ {t}} = - \frac {1}{8} (2 \lambda - 1) \left(1 - \frac {\delta}{2 \theta}\right).\tag{28}\]

De modo que perturbaciones en los umbrales acadÈmicos aplicados a niÒas se traducir·n en un efecto de pares de gÈnero espurio negativo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas si un efecto de pares de gÈnero espurio positivo de niÒas sobre el rendimiento de niÒas si . El argumento es an·logo para los niÒos y resulta que el efecto de pares de gÈnero espurio de niÒas sobre el rendimiento de niÒos tiene el signo opuesto al del efecto de pares de gÈnero espurio de niÒas sobre el rendimiento de niÒas. Cuando hay perturbaciones en los umbrales acadÈmicos para repetir curso aplicado tanto a niÒos como niÒas, como en (24), el signo del efecto de pares de gÈnero espurio seguir· siendo determinado por siempre y cuando estas perturbaciones no estÈn correlacionadas perfectamente, . (Si los umbrales acadÈmicos aplicados a niÒas y niÒos estuviesen perfectamente correlacionados no habrÌa variaciÛn en la proporciÛn de niÒas a nivel de curso. )

2.2.2 EstimaciÛn con variables instrumentales

En general el enfoque basado en cursos escolares sigue produciendo efectos de pares de gÈnero espurios cuando instrumentamos la proporciÛn de niÒas a nivel de curso es con la proporciÛn de niÒas a nivel de cohorte de edad. Para entender porquÈ, es ˙til volver al rendimiento medio de niÒas y niÒos a nivel de curso del (9), repetidores) + donde es la proporciÛn de niÒas o niÒos no repetidores entre todos los alumnos de mismo gÈnero en cursos superiores deÖnida en (7)-(8). Como estas proporciones dependen de la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad correspondiente, el rendimiento medio en el test a nivel de curso en general depender· de la composiciÛn de gÈnero a nivel de cohorte de edad aun en ausencia de efectos de pares de gÈnero. Dicho de otro modo, la proporciÛn de niÒas a nivel de cohorte de edad tiene un ìefecto de composiciÛnî directo sobre el rendimiento medio en el test de niÒos y niÒas a nivel de curso a travÈs de la proporciÛn de niÒas y niÒos repetidores entre los alumnos de su mismo gÈnero. Como consecuencia, la composiciÛn de gÈnero a nivel de cohorte de edad incumple la restricciÛn de exclusiÛn necesaria para que un instrumento sea v·lido.

2.2.3 OmisiÛn de los alumnos repetidores de la estimaciÛn

El ìefecto de composiciÛnî de la proporciÛn de niÒas a nivel de cohorte de edad sobre el rendimiento en el test a nivel de curso a travÈs de la proporciÛn de alumnos repetidores se puede eliminar omitiendo a los repetidores del an·lisis empÌrico y relacionando el rendimiento en el test de los niÒos y niÒas no repetidores con la proporciÛn de niÒas entre alumnos no repetidores en el curso. MÌnimos cuadrados estiman un efecto de la proporciÛn de niÒas entre los alumnos no repetidores en un curso sobre el rendimiento en el test de niÒos y niÒas que no hayan repetido, que puede ser diferente de zero aun si los efectos de pares de gÈnero no existieran ya que la proporciÛn de niÒas entre alumnos no repetidores depende de las aptitudes de niÒos y niÒas, asÌ como de los umbrales acadÈmicos aplicados a niÒos y niÒas. Sin embargo, es posible obtener estimaciones consistentes del efecto de una perturbciÛn exÛgena sobre la proporciÛn de niÒas entre los alumnos no repetidores usando el mÈtodo de variables istrumentales.¹⁸ La proporciÛn de niÒas a nivel de cohorte de edad no tiene ning˙n efecto sobre las aptitudes individuales de los alumnos en ausencia de los efectos de pares de gÈnero y el efecto de la composiciÛn es eliminado cuando omitimos los alumnos no repetidores. Adem·s, deberÌa existir una correlaciÛn positiva entre la composiciÛn de gÈnero de los alumnos no repetidores en un curso y la composiciÛn de gÈnero de la cohorte de edad correspondiente, de modo, que uno puede estimar consistentemente la respuesta del rendimiento en el test de niÒos y niÒas no repetidores a las perturbaciones exÛgenas en la proporciÛn de niÒas entre alumnos no repetidores, instrumentando la proporciÛn de niÒas entre los no repetidores en el curso con la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad correspondiente. Las regresiones de forma reducida que corresponden a esta estrategia de variables instrumentales son las regresiones de mÌnimos cuadrados del rendimiento en el test de niÒos y niÒas no repetidores sobre la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad correspondiente. Estas regresiones diÖeren del enfoque basado en cohortes de edad usado para estimar efectos de pares de gÈnero sÛlo en que omitimos a los alumnos repetidores de la muestra (pero los seguimos teniendo en cuenta cuando calculamos la proporciÛn de niÒas a nivel de la cohorte de edad).

¹⁸Perturbaciones exÛgenas en este contexto signiÖcan perturbaciones en la proporciÛn de niÒas entre alumnos no repetidores que no est·n relacionadas con las aptitudes de niÒos y niÒas no repetidores.

2.3 El enfoque basado en cohortes de edad

La estrategia para estimar los efectos de pares de gÈnero basada en cohortes de edad identiÖca el efecto de la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad sobre el rendimiento medio en el test de niÒos y niÒas en esta cohorte dentro de las escuelas

\[\frac {\partial t e s t _ {g s} ^ {t}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = \frac {\partial \left(\lambda_ {g s} ^ {t} E (t e s t _ {g s} ^ {t} | n o r e p e t i d o r e s) + (1 - \lambda_ {g s} ^ {t}) E (t e s t _ {g s} ^ {t} | r e p e t i d o r e s)\right)}{\partial \phi_ {s} ^ {t}}.\tag{29}\]

Esto incluye el efecto de la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad en la aptitud del niÒo o niÒa media en la cohorte pero tambiÈn el efecto de la proporciÛn de las niÒas en una cohorte sobre la repeticiÛn de curso y el efecto del hecho de repetir sobre las aptitudes acadÈmicas. Esto se puede ver reescribiendo (29) usando como

\[t e s t _ {g s} ^ {t} = \alpha_ {g s} ^ {t} + (1 - \lambda_ {g s} ^ {t}) \delta\tag{30}\]

donde es la aptitud media de niÒas o niÒos en la cohorte de edad es la proporciÛn de alumnos repetidores. El efecto identiÖcado usando el enfoque basado en cohortes de edad es por lo tanto

\[\frac {\partial t e s t _ {g s} ^ {t}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} = \frac {\partial \alpha_ {g s} ^ {t}}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} + \frac {\partial (1 - \lambda_ {g s} ^ {t})}{\partial \phi_ {s} ^ {t}} \delta .\tag{31}\]

De modo que el efecto de pares de gÈnero identiÖcado mediante la estrategia de cohortes es una combinaciÛn del efecto de la proporciÛn de niÒas sobre la aptitud media de niÒos y niÒas y la tasa de repeticiÛn de niÒas y niÒos ponderado por el cambio en la aptitud de los alumnos repetidores. Si el cambio en la aptitud de los alumnos repetidores tambiÈn depende de la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad, entonces tendriamos un componente adicional

Se puede observar en la que ni la proporciÛn de alumnos no repetidores, ni el rendimiento medio en el test de alumnos repetidores y no repetidores depende directamente de la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad. Por consiguiente, si no existen efectos de pares de gÈnero de la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad sobre la aptitud de los alumnos, el umbral para pasar de curso o el cambio en la aptitud de los alumnos repetidores ñtal y como supusimos hasta ahorañ, el enfoque basado en cohortes de edad no indicar· la existencia de ning˙n tipo de efectos de pares de gÈnero, . …sta es la ventaja principal del enfoque basado en cohortes de edad en comparaciÛn con el basado en cursos escolares cuando estimamos efectos de pares de gÈnero.

3 Antecendentes y datos

La Comunidad de Madrid, una de las regiones m·s grandes y ricas de EspaÒa, ha venido ralizando un test estandarizado al universo de los alumnos en el ˙ltimo curso de primaria (Sexto de primaria) desde el aÒo acadÈmico que empezÛ en 2004.¹⁹ Desde el 2008, los resultados de los tests vienen acompaÒados por una variedad de caracterÌsticas del alumno, como, por ejemplo, el aÒo y el mes de nacimiento, el nivel de educaciÛn y ocupaciÛn de los padres del alumno, y el paÌs de origen.²⁰ Esta informaciÛn adem·s del nombre de la escuela a la que asisten los alumnos fue proporcionada hasta el aÒo acadÈmico que empezÛ en 2010. Los datos cubren unos 50.000 alumnos de unas 1.150 escuelas primarias para cada aÒo acadÈmico. Para el resumen estadÌstico vean la Tabla A1 del ApÈndice. La norma espaÒola de matriculaciÛn en primaria es que los niÒos empiecen la escuela el aÒo que cumplen 6 aÒos de edad. M·s del 99 por ciento de los niÒos siguen esta norma en EspaÒa y en la Comunidad de Madrid (alrededor del 0,5 por ciento de los niÒos empiezan la primaria un aÒo m·s tarde y un 0,5 por ciento un aÒo antes).²¹ Las escuelas primarias espaÒolas permiten a los alumnos repetir curso y las tasas de repeticiÛn en las escuelas primarias en EspaÒa y en la Comunidad de Madrid son m·s altas que la media de la OCDE o de la UniÛn Europea. La proporciÛn de alumnos de 15 aÒos que declaran haber repetido por lo menos un curso en primaria es de un 11 por ciento en EspaÒa y unn 11,8 en la Comunidad de Madrid, mientras en los paÌses de la OCDE es un 8 por ciento y un 7 por ciento en los paÌses de la UE (PISA, 2009). La proporciÛn de alumnos que declaran haber repetido dos o m·s de dos cursos en primaria es de un 0,5 por ciento, lo que es parecido a las medias de la OCDE y la UE. Es probable que muchos de estos alumnos repitieran cursos fuera de EspaÒa, ya que la Comunidad de Madrid prohibe a los alumnos repetir dos cursos durante la primaria y el resto de EspaÒa lo permite sÛlo en casos excepcionales.²²

¹⁹La poblaciÛn de la Comunidad de Madrid en 2011 era alrededor de 6,5 millones y su renta per c·pita estaba cerca de 30.000 euros (Eurostat Regional Yearbook, 2011).

²⁰No podemos usar los datos de aÒos escolares que empiezan antes del 2008, ya que no contienen la informaciÛn sobre el aÒo de nacimiento del alumno y de este modo no podemos asignar alumnos a las distintas cohortes de edad. Hay 60 escuelas sin informaciÛn sobre las caracterÌsticas individuales del alumno para los aÒos escolares 2008, 2009 o 2010.

²¹Esto es m·s que en paÌses como Islandia o Noruega que son los paÌses conocidos por cumplir estrictamente con las normas de matriculaciÛn (por ejemplo, Bedard y Dhuey, 2006). TambiÈn agradecemos a la ConsejerÌa de EducaciÛn, Juventud y Deporte de la Cominidad de Madrid por proporcionarnos esta informaciÛn para la Comunidad de Madrid. A nivel nacional los datos son obtenidos del INEbase, del Instituto Nacional de EstadÌstica espaÒol (2013).

Nuestra base de datos de alumnos de sexto de primaria en la Comunidad de Madrid no contiene informaciÛn sobre si el alumno ha repetido curso. Sin embargo, conocemos los aÒos de nacimiento de los alumnos y, de este modo, podemos comprobar si el alumno nacido en el aÒo t6 hizo el test durante el aÒo acadÈmico que empezaba el aÒo t+5 como deberÌa hacer de haberse matriculado seg˙n las normas vigentes y sin haber repetido curso. Encontramos que un 14,2 por ciento de los alumnos de sexto hicieron el test un aÒo m·s tarde y un 0,5 por ciento lo hicieron dos o m·s de dos aÒos m·s tarde. De este modo, la proporciÛn de los alumnos que repitieron dos o m·s de dos veces en la escuela primaria seg˙n PISA coincide con la proporciÛn de alumnos que hicieron el test dos o m·s de dos aÒos m·s tarde seg˙n nuestros datos. Para ver si las estadÌsicas de PISA para la Comunidad de Madrid sobre la proporciÛn de alumnos que repirieron un curso en primaria (11,3) es consistente con la proporciÛn de los alumnos que hicieron el test un aÒo m·s tarde seg˙n nuestros datos, tenemos que tener en cuenta que un 0,5 por ciento de los alumnos se matriculan en primaria un aÒo m·s tarde de lo especiÖcado por las normas de matrÌcula. Estos alumnos acaban por hacer el test un aÒo m·s tarde aunque no repitan curso en primaria. Adem·s, PISA permite a los paÌses/regiones participantes excluir a los alumnos con necesidades especiales, que son alrededor de un 2,3 por ciento de los alumnos en nuestra muestra, y a los alumnos que tienen diÖcultades de lenguaje por haber llegado recientemente del extranjero.²³ Una vez que estos factores se tienen en cuenta, las estadÌsticas de PISA y nuestras estadÌsticas parecen ser consistentes.

El test estandarizado administrado a los alumnos de sexto en la Comunidad de Madrid tiene tres partes: matem·ticas, lectura y dictado. Cada parte del test se caliÖca entre 0 y 10. Nosotros transformamos estas notas en caliÖcaciones estandarizadas: donde es la nota del alumno i que hizo el test en el aÒo mientras son la media y la desviaciÛn est·ndar de las notas de todos los alumnos que hicieron el test el aÒo . Debajo mostramos los resultados de los efectos de pares de gÈnero basados en las caliÖcaciones de matem·ticas y en la media de las caliÖcaciones de matem·ticas, lectura y dictado, la que denominamos la caliÖcaciÛn general. TambiÈn consideramos las caliÖcaciones de lectura pero no encontramos ninguna evidencia de los efectos de pares de gÈnero estadÌsticamente signiÖcativos.²⁴

²²Ver las leyes espaÒolas 10/2002 y 2/2006 y el decreto 22/2007 de la Comunidad de Madrid.

²³Vean El Manual de la preparaciÛn de la muestra de escuelas de PISA (2009). En nuestra muestra, alrededor de 95 por ciento de los alumnos con necesidades especiales hacen el test por lo menos un aÒo m·s tarde.

Implementamos el enfoque de cohortes de edad a los efectos de pares de gÈnero para los alumnos nacidos en 1997 y 1998. Seg˙n la norma de matriculaciÛn vigente en EspaÒa, estos alumnos deberÌan haber empezado la escuela primaria en 2003 y 2004, respectivamente (seguimos indicando las cohortes de edad con los aÒos en los que cada cohorte deberÌa empezar la primaria seg˙n las normas de matriculaciÛn). Debido a que sÛlo observamos los alumnos de sexto en los aÒos escolares que empiezan en 2008, 2009 y 2010, observamos a los alumnos de la cohorte de edad 2003 si ellos empezaron la escuela seg˙n la norma de matriculaciÛn y no repitieron ning˙n curso; si tomaron el test un aÒo m·s tarde; o si tomaron el test dos aÒos m·s tarde. Los alumnos de la cohorte de edad 2003 no est·n en nuestra base de datos si ellos hicieron el test uno o m·s de un aÒo antes (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2007) o tres o m·s de tres aÒos tarde (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2011). Observamos a los alumnos de la cohorte de edad 2004 si ellos empezaron la primaria seg˙n la norma de matriculaciÛn y no repitieron ning˙n curso; si hicieron el test un aÒo antes; o si lo hicieron un aÒo m·s tarde. Los alumnos de la cohorte de edad 2004 no est·n en nuestros datos si ellos hicieron el test dos o m·s de dos aÒos antes (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2007) o dos o m·s de dos aÒos tarde (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2011). Debido a que sÛlo una pequeÒa proporciÛn de alumnos empiezan la primaria antes o repiten m·s de dos cursos en la Comunidad de Madrid y EspaÒa, sÛlo perdemos una pequeÒa proporciÛn de alumnos de las cohortes de edad 2003 y 2004 como resultado de esta restricciÛn de datos. Podemos estimar cu·ntos alumnos en cada cohorte de edad perdemos calculando la proporciÛn de alumnos de sexto que hicieron el test demasiado pronto o tarde en los aÒos acadÈmicos que empezaron en 2008, 2009 o 2010, respectivamente. Aproximadamente un 0,5 por ciento de los alumnos de sexto hicieron el test dos o m·s de dos aÒos tarde y un 0,3 por ciento de alumnos de sexto hicieron el test uno o m·s de un aÒo antes. Como resultado, estimamos que perdemos alrededor del 0,4 por ciento de los alumnos de las cohortes de edad 2003 y 2004 como consecuencia del problema de la disponibilidad de los datos.²⁵ En nuestro an·lisis empÌrico tratamos a las cohortes de edad 2003 y 2004 de manera simÈtrica y omitimos a los alumnos de la cohorte de edad 2004 que hicieron el test un aÒo antes (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2008) porque no observamos a los alumnos de la cohorte de edad 2003 que hicieron el test un aÒo antes (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2007). TambiÈn omitimos a los alumnos de la cohorte de edad 2003 que hicieron el test dos aÒos m·s tarde (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2010) porque no observamos a los alumnos de la cohorte de edad 2004 que hicieron el test dos aÒos m·s tarde (en el aÒo acadÈmico que empieza en 2011). En este caso perdemos alrededor de un 0,9 por ciento de los alumnos en las cohortes de edad 2003 y 2004.

²⁴Notablemente, Lavy y Schlosser (2011) encuentran que los efectos de pares de gÈnero son estadÌsticamente no signiÖcativos en hebreo, que es probablemente lo m·s cercano a lectura en nuestros datos.

²⁵Cuando hacemos nuestras estimaciones, suponemos que la proporciÛn de alumnos que hacen el test pronto o tarde a nivel de curso es una buena aproximaciÛn a la proporciÛn de alumnos que hacen el test pronto o tarde a nivel de la cohorte de edad. El n˙mero total de alumnos ha sido muy estable a lo largo del periodo del tiempo que estamos examinando y las tasas de repeticiÛn de curso han sido estables en el tiempo y entre cursos escolares seg˙n el INEbase (2013) del Instituto Nacional de EstadÌstica de EspaÒa, de modo que consideramos como v·lida nuestra aproximaciÛn.

Los alumnos que repitieron sexto asistieron dos veces a ese curso. Nosotros queremos centrarnos en el rendimiento de los alumnos al Önal de la primaria y por esta razÛn sÛlo queremos incluira estos alumnos en nuestro an·lisis empÌrico el aÒo que repiten sexto. Sin embargo, nuestra base de datos no contiene informaciÛn de si alumnos repitieronsexto. De modo que procedemos de la siguiente manera. Bas·ndonos en la informaciÛn del INEbase (2013) del Instituto Nacional de EstadÌstica de EspaÒa, estimamos que un 2,5 por ciento de los alumnos de sexto en la

Comunidad de Madrid en los aÒos escolares que empiezan en 2009 y 2010 estaban repitiendo sexto.²⁶ Esto implica que alrededor de 1.250 de 50.000 alumnos de sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en 2009 estaban repitiendo sexto de primaria. Estos alumnos habrÌan asistido a sexto curso por primera vez en el aÒo acadÈmico que empezaba en 2008. Indicamos el conjunto de alumnos de la cohorte de edad 2003 que estaban en sexto en el aÒo academico que empezaba en 2008 como M(2003;2008) y el conjunto de alumnos de la cohorte de edad 2003 que estaban en el sexto en el aÒo acadÈmico que empezaba en 2009 como M(2003;2009). El primer conjunto contiene alumnos en la cohorte de edad 2003 que llegan a sexto en aÒo que les corresponde, mientras el segundo conjunto contiene alumnos que llegan a sexto tarde. Consideramos todos los pares de observaciones (i; j) con i sacado de M(2003;2009) y j sacado de M(2003;2008) donde i y j est·n en la misma escuela; son del mismo gÈnero; nacieron en el mismo mes; nacieron en el mismo paÌs; y tambien coinciden en el pais de nacimiento y el nivel de educacion de sus respectivas madres.²⁷ Esto nos deja con 1.172 pares, cerca de los 1.250 pares que esperariamos bas·ndonos en INEbase (2013).Continuamos bajo el supuesto de que estos corresponden a los alumnos de la cohorte de edad 2003 que repitieron sexto en el aÒo acadÈmico que empezÛ en 2009. Seguimos usando exactamente la misma estrategia con alumnos de la cohorte de edad 2004. En el caso de esta cohorte nuestra estrategia nos deja con 1.246 pares .

²⁶ INEbase contiene la proporciÛn de alumnos de quinto y sexto en la Comunidad de Madrid que repiten quinto o sexto en estos aÒos acadÈmicos. Esta proporciÛn se ha mantenido muy estable desde que se tiene constancia (el aÒo acadÈmico que empezÛ en 2001). INEbase no contiene informaciÛn para alumnos de sexto unicamente.

²⁷Nos basamos en el paÌs de nacimiento y el nivel educativo de las madres dado que seg˙n la Encuesta de PoblaciÛn Activa (2010), el 90 por ciento de niÒas y niÒos que viven solo con su madre o su padre viven con su madre (un 20 por ciento de las niÒas y los niÒos viven solo con su madre o su padre).

Ya que asignamos a los alumnos a la misma escuela primaria seg˙n si asisten a la misma escuela en sexto (cuando se realiza el test) es interesante comprobar cÛmo es la movilidad de alumnos entre las escuelas primarias. La informaciÛn disponible sugiere que la movilidad en la Comunidad de Madrid es baja comparada con la de Israel y los EEUU o Texas. Estimamos que aproximadamente un 2,8 por ciento de los alumnos en segundo de primaria en los aÒos escolares que empezaron en 2012 y 2013 no estuvieron en la misma escuela en primero.²⁸ En Israel casi un 8 por ciento de los alumnos dejaron sus escuelas primarias entre el primero y el segundo curso de primaria, y la movilidad en los EEUU y Texas es sustancialmente mayor que la de Israel.²⁹

4 Resultados empÌricos

Ahora empleamos ambas estrategias, la basada en cohortes de edad y en cursos escolares, para estimar los efectos de pares de gÈnero usando nuestros datos de las escuelas primarias espaÒolas.

4.1 Los resultados usando la estrategia de cohortes de edad

Empezamos por comprobar hasta quÈ grado est·n equilibradas las caracterÌsticas de los alumnos con respeto a la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad. Para comprobar el balance corremos las siguientes regresiones de mÌnimos cuadrados

\[x _ {i g s} ^ {j t} = \gamma_ {g s} ^ {j} + \gamma_ {g} ^ {j t} + \gamma_ {g} ^ {j} P r o p N i \tilde {n} a s C o h o r t e _ {i s} ^ {t}\tag{32}\]

donde i hace referencia a individuos, g a gÈnero, s a escuelas, t a las cohortes de edad 2003 y 2004, a las diferentescaracterÌsticas de los alumnos (las cohortes de edad son indexadas por el aÒo en el que los alumnos debÌan haber empezado la primaria seg˙n las normas de matrÌcula de EspaÒa). Las diferencias a nivel de escuelas en la caracterÌstica para el gÈnero g son captadas por mientras reáeja las tendencias en la caracterÌstica especÌÖcas al gÈnero. El par·metro de interÈs es que capta si la caracterÌstica j varÌa con la proporciÛn de niÒas en la cohore de edad. La proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad tiene un subindice i porque esta calculada sin las niÒas y los niÒos nacidos en el mismo mes que la niÒa o el niÒo i. Sin este ajuste la proporcion de niÒas en la cohorte de edad seria diferente para gemelos lo que podria acabar sesgando la estimacion de los efectos de genero. La Tabla 1 contiene los resultados de nuestras estimaciones de separados para niÒas y niÒos asÌ como los errores est·ndar en cl˙ster por escuela. Los resultados son para las escuelas que tienen como m·ximo dos clases por curso (a las que nos referimos como escuelas de dos clases; los resultados para todas las escuelas son parecidos).Estas escuelas son de especial interes porque son mas pequeÒas que escuelas con tres o mas clases por cursos el vÌnculo entre la composiciÛn de gÈnero de las cohortes de edad y la composiciÛn de gÈnero de las clases deberÌa ser m·s estrecho.³⁰ Los resultados de la tabla indican que la educaciÛn parental e inmigraciÛn est·n bastante equilibradas con respeto a la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad.

²⁸La proporciÛn era de un 1,9 por ciento para las escuelas primarias p˙blicas en el aÒo escolar que empezÛ en 2012. Estamos muy agradecidos a la ConsejerÌa de EducaciÛn, Juventud y Deporte de la Comunidad de Madrid por esta informaciÛn. Para obtener datos estadÌsticos an·logos para las escuelas primarias privadas, entrevistamos 200 escuelas privadas en la Comunidad de Madrid (casi la mitad de las escuelas privadas en nuesta muestra). En estas escuelas un 3,9 por ciento de los alumnos en segundo de primaria en el aÒo escolar que empezÛ en 2013 no estuvieron en la misma escuela en primero. Como al rededor de un 54 por ciento de alumnos de primaria en la Comunidad de Madrid van a escuelas p˙blicas, resulta que al rededor de un 2,8 por ciento de alumnos en el segundo curso no fueron a la misma escuela en primero.

²⁹La oÖcina general de contabilidad de EEUU (1994) calcula que m·s del 40 por ciento de los alumnos de tercero han cambiado su escuela por lo menos una vez desde primero de primaria. Hanushek, Kain y Rivkin (2004) explican que la tasa anual de movilidad de alumnos en Texas es de alrededor de 24 por ciento. Vale la pena mencionar que las estadÌsticas disponibles para la Comunidad de Madrid, Israel y Texas/EEUU son conceptualmente un tanto distintas.

La Tabla 2 contiene los resultados de las estimaciones de efectos de pares de gÈnero usando el enfoque basado en cohortes de edad. Todos los resultados se basan en las regresiones de mÌnimos cuadrados

\[t e s t _ {i g s} ^ {t} = \alpha_ {g s} + \alpha_ {t g} + \alpha_ {g} X _ {i g s} ^ {t} + \beta_ {g} P r o p N i \tilde {n} a s C o h o r t e _ {i s} ^ {t}\tag{33}\]

donde hace referencia a los resultados del test estandarizado, i a individuos, 2003; 2004 a cohortes de edad, g a gÈnero, s a escuelas es el vector de caracterÌsticas j del alumno i. Continuamos a calcular la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad sin las niÒas y los niÒos nacidos en el mismo mes que la niÒa o el niÒo i para evitar sesgos relacionados con la presencia de gemelos. La tabla presenta separadamente para niÒas y niÒos los coeÖcientes los errores est·ndar en cl˙ster por escuela. Presentamos por separado los resulados para el rendimiento en matem·ticas y el total asÌ como los resultados para todas las escuelas y las que tienen como mucho dos clases por curso.

Panel A de la Tabla 2 contiene resultados para escuelas con dos o menos de dos clases (hay unas 900 escuelas de este tipo). Las columnas contienen resultados para niÒos y niÒas usando (33) sin controles adicionales.³¹ En las columnas (3) y (4) aÒadimos las variables que controlan por caracterÌsticas individuales. En las columnas (5) y (6) aÒadimos las variables que controlan por el contexto familiar a nivel de cohorte de edad (la proporciÛn de madres y padres con diferentes niveles de educaciÛn). El efecto de la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad sobre el rendimiento medio en el test en general y en matem·ticas en particular es mayoritariamente entre es estadÌsticamente signiÖcativo. Esto implica que un aumento de 10 puntos porcentuales en la proporciÛn de niÒas mejora los resultados acadÈmicos generales y en matem·ticas de niÒos entre el 2 y el 2,5 por ciento de la desviaciÛn est·ndar. Por el otro lado, el efecto de la proporciÛn de niÒas sobre los resultados de las niÒas no es estadÌsticamente signiÖcativo en ningun caso.

³⁰El n˙mero mediano de alumnos en escuelas con como m·ximo dos clases por curso es 36 y el n˙mero m·ximo de alumnos es 58. El n˙mero mediano de alumnos en escuelas con m·s de dos clases por curso es 73 y el m·ximo es 152.

El Panel B de la Tabla 2 contiene nuestros resultados para las escuelas con solo una clase (hay unas 330 escuelas de este tipo). Los resultados son similares a los del Panel A pero el efecto de la proporciÛn de niÒas sobre el rendimiento en el test de niÒos es menos preciso. El Panel C contiene los resultados incluyendo todas las escuelas (unas 1.150 escuelas). El efecto de la proporciÛn de niÒas sobre el rendimiento en el test de niÒos es m·s dÈbil en esta muestra que en la muestra con las escuelas que tienen como m·ximo dos clases por curso.

4.2 Los resultados usando la estrategia de cursos escolares

La Tabla 3 presenta los resultados de nuestras estimaciones de los efectos de pares de gÈnero usando el enfoque basado en cursos escolares. Los resultados se basan en la regresiÛn de mÌnimos cuadrados

\[t e s t _ {i g s \tau} = \alpha_ {s} + \alpha_ {\tau} + \alpha X _ {i g s \tau} + \beta_ {g} P r o p N i \tilde {n} a s C u r s o _ {s \tau}\tag{34}\]

donde todas las variables se deÖnen como en (33) hace referencia a los alum nos del sexto de primaria en el aÒo escolar que empieza en 2008 y 2009 respectivamente.³²

Panel A de la Tabla 3 contiene nuestros resultados para las escuelas de dos o menos de dos clases. Ahora es el efecto de la proporciÛn de niÒas en el curso escolar sobre el rendimiento en el test de niÒas lo que es estadÌsticamente signiÖcativo. Los resultados signiÖcan que un aumento de 10 puntos porcentuales en la proporciÛn de niÒas mejora los resultados acadÈmicos generales y en matem·ticas de niÒas un 3,5 hasta un 4 por ciento de la desviaciÛn est·ndar. Por el otro lado, el efecto de la proporciÛn de niÒas sobre los resultados de las niÒos no es estadÌsticamente signiÖcativo. Este patrÛn se mantiene en la muestra en que incluimos todas las escuelas. En la muestra con las escuelas de sÛlo una clase, los resultados se vuelven un poco m·s dÈbiles y menos precisos.

³¹Estas variables incluyen el nivel educativo de madres y padres (cuatro niveles para cada uno), sus ocupaciones (ocho grupos de ocupacionales para cada uno), el estatus de inmigrante, la edad en la que los niÒos empezaron la escuela o la educaciÛn pre-escolar, la composiciÛn familiar, y el estatus de desabilidad. Ver Tabla 1 para la lista de los controles individuales que observamos. Para evitar la pÈrdida de observaciones debido a la falta de informaciÛn sobre las caracterÌsticas individuales, siguiendo la estrategia de Bedard y Dhuey (2006) sustituimos con ceros las observaciones en las variables de control donde no tenemos la informaciÛn sobre el individuo e incluimos un conjunto de variables indicadores que indican los datos perdidos.

³²En la Tabla A2 del ApÈndice examinamos hasta quÈ punto las caracerÌsticas est·n equilibradas a nivel de curso. La estrategia es an·loga a (32). Los resultados muestran bastante menos equilibrio que en el caso de cohortes de edad.

Tal y como suscita nuestro modelo teÛrico, los diferentes patrones de los efectos de pares de gÈnero producidos por el enfoque basado en cohortes de edad en la Tabla 2 y por el basado en cursos escolares en la Tabla 3 se pueden reconciliar en un sistema educativo con repeticiÛn de curso si el hecho de repetir mejora la aptitud de los alumnos repetidores pero los no repetidores tienen mejor rendimiento que los que repitieron en el pasado y si las diferencias en la composiciÛn de gÈnero a nivel de curso se determinan en mayor parte por perturbaciones en la composiciÛn de gÈnero a nivel de cohorte o en la aptitud de niÒas y niÒos.

5 An·lisis contrafactual

Como las tasas de repeticiÛn de curso en EspaÒa son altas en comparaciÛn con las medias de la OCDE y la UE, es natural preguntarse si el enfoque de cohortes de edad podrÌa producir un patrÛn de efectos de pares de gÈnero distinto del de curso escolar cuando la tasa de repeticiÛn sea relativamente baja. Examinamos esta cuestiÛn usando un an·lisis de simulaciÛn contrafactual. Nuestro punto de partida es una versiÛn generalizada de nuestro modelo teÛrico de las escuelas con la repeticiÛn de curso. Primero, calibramos el modelo para que replique los efectos de pares de gÈnero estimados para EspaÒa. DespuÈs bajamos los umbrales acadÈmicos para pasar de curso en el modelo ñ lo que implica que las tasas de repeticiÛn de curso caenñ y simulamos los datos. Esto nos permite estimar los efectos de pares de gÈnero usando los enfoques basados en cohortes de edad y cursos escolares en entornos con las tasas de repeticiÛn sucesivamente m·s bajas.

5.1 Del modelo teÛrico al simulado

En el modelo que empleamos, para obtener una comprensiÛn conceptual de las diferencias entre los enfoques de cohortes de edad y de curso escolar, suponemos que las aptitudes de niÒos i de gÈnero g en la cohorte de edad t y escuela s est·n distribuidas uniformemente. En nuestro modelo simulado podemos relajar este supuesto y permitir que la distribuciÛn de aptitudes tome otras formas, que denominamos . Adem·s el modelo simulado tambiÈn permite tener los efectos (de pares de gÈnero) de la proporciÛn de niÒas en la cohorte de edad sobre la distribuciÛn de aptitudes en la cohorte de edad y sobre los umbrales acadÈmicos para pasar de curso. Mantenemos el supuesto de que los alumnos en la cohorte de edad t llegan al curso en el que se hace el test estandarizado en su aÒo (en el aÒo en el modelo, en el aÒo en los datos) si su aptitud est· por encima del umbral acadÈmico . Si la aptitud de los alumnos est· por debajo del umbral acadÈmico, hacen el test un aÒo m·s tarde, en el aÒo acadÈmico que empieza en TambiÈn seguimos suponiendo que la nota del test de los alumnos no repetidores es igual a su aptitud . La nota de los alumnos repetidores es igual a la aptitud con la que empezaron m·s el cambio en la aptitud que viene con la repeticiÛn de curso. En nuestro modelo teÛrico cada cohorte de edad de cada escuela estuvo formado por un continuo de niÒos con la proporciÛn de niÒas. En nuestro modelo simulado hay 1.000 niÒos por cada cohorte de edad y el n˙mero de niÒas viene determinado por una distribuciÛn binomial con una probabilidad de ser niÒa. El n˙mero de escuelas en nuestro modelo simulado es igual al n˙mero de escuelas en los datos.

5.2 CalibraciÛn de base

Los par·metros principales especÌÖcos a cada escuela y cohorte de edad que necesitamos calibrar son: los par·metros de la distribuciÛn de aptitudes para niÒas y niÒos; los umbrales acadÈmicos para repetir el curso para niÒas y niÒos; el cambio en la aptitud asociada a la repeticiÛn de curso para niÒas y niÒos; y la probabilidad de que un alumno sea una niÒa . En la calibraciÛn de base escogemos los par·metros para tratar de replicar los efectos de pares de gÈnero en EspaÒa. Esto implica hacer que correspondan los inputs de estimaciÛn, que son el rendimiento medio en los tests de niÒos y niÒas a nivel de cohorte de edad y curso escolar especÌÖcos a cada escuela (las variables a la izquierda en la ecuaciÛn de regresiÛn) y la proporciÛn de niÒas a nivel de cohorte de edad y curso escolar especÌÖco a cada escuela (las variables a la derecha en la ecuaciÛn de regresiÛn). Para aconseguirlo usamos diferentes estrategias dependiendo de la cohorte de edad. Para las cohortes de 2003 y 2004, replicamos el rendimiento medio de los alumnos no repetidores; el rendimiento medio de los repetidores; y la proporciÛn de alumnos repetidores a nivel de escuela, cohorte de edad y gÈnero. Para otras cohortes de edad tenemos que usar otra estrategia ya que no observamos los alumnos repetidores junto con los no repetidores en estas cohortes de edad. De modo que Öjamos unos par·metros bas·ndonos en los par·metros calibrados de las cohortes de edad

³³Esto implica que el modelo calibrado trata el 0,5 por ciento de los alumnos de nuestros datos que empiezan la primaria un aÒo m·s tarde de lo especiÖcado por la norma de matriculaciÛn de la misma manera que a los alumnos que empezaron seg˙n las normas pero que repitieron un curso en primaria. Esto equivale a pensar de los alumnos que empiezan tarde como si hubieran repetido el curso en el preescolar.

2003 y 2004 y otros par·metros los Öjamos para repliquen las estadÌsticas a nivel de curso.

Empleamos tres distribuciones alternativas de aptitud y de este modo acabamos por tener tres modelos simulados distintos. Las primeras dos distribuciones de aptitud que calibramos son una distribuciÛn uniforme, como en nuestro modelo teÛrico, y una distribuciÛn normal. …stas se calibran usando el rendimiento estandarizado en el test de nuestros datos. TambiÈn calibramos una distribuciÛn bas·ndonos en las notas del test. Ahora analizaremos la calibraciÛn de estas distribuciones de aptitud alternativas de una en una.

5.2.1 DistribuciÛn de aptitud uniforme calibrada usando las notas del test estandarizadas

En nuestro modelo teÛrico supusimos que la distribuciÛn de aptitud es uniforme . Los par·metros de la distribuciÛn de aptitud que tenemos que calibrar en este caso son las medias de escuelas, cohortes de edad y gÈnero el par·metro que rige la dispersiÛn de aptitudes. La estrategia que usamos para calibrar estos otros par·metros del modelo depende de la cohorte de edad.

Calibrando los par·metros de las cohortes de edad 2003 y 2004 En nuestros datos, observamos los alumnos de las cohortes de edad 2003 y 2004 tanto si empezaron sexto en su aÒo (11 aÒos despuÈs de haber nacido; 5 aÒos despuÈs de que tenÌan que haber empezado primero) o un aÒo m·s tarde. De modo que podemos calibrar las medias de escuelas, cohortes de edad y gÈnero el par·metro que rige la dispersiÛn de aptitudes junto con los umbrales acadÈmicos para pasar de curso para replicar (i) la proporciÛn de niÒas y niÒos entre todos los alumnos de su gÈnero que llegan a sexto a su edad a nivel de escuela y cohorte de edad, el rendimiento medio de los alumnos que no repitieron cursos en primaria a nivel de escuela, cohorte de edad y gÈnero, jno repetidores); y (iii) la varianza del rendimiento de los alumnos no repetidores, , promediada entre todas las escuelas, cohortes de edad y gÈneros. De modo que las ecuaciones de calibraciÛn son

(35)

\[1 - F _ {g s} ^ {t} (p _ {g s} ^ {t}) = \widehat {\lambda} _ {g s} ^ {t}\tag{36}\]

\[E _ {g s} ^ {t} (a \left| a \geq p _ {g s} ^ {t}\right) = \widehat {E} _ {g s} ^ {t} (t e s t \mid n o r e p e t i d o r e s)\tag{37}\]

\[\frac {1}{4 S} \sum_ {t, s, g} V a r _ {g s} ^ {t} (a | a \geq p _ {g s} ^ {t}) = \frac {1}{4 S} \sum_ {t, s, g} \widehat {V a r} _ {g s} ^ {t} (\text { test | no repetidores }).\]

El cambio en aptitud que viene con repeticiÛn de curso est· calibrado de tal modo que el rendimiento medio de alumnos repetidores en el modelo sea el mismo que el rendimiento medio de alumnos repetidores a nivel de escuela, cohorte de edad y gÈnero en los datos,

\[\delta_ {g s} ^ {t} + E _ {g s} ^ {t} (a \left| a < p _ {g s} ^ {t}\right) = \widehat {E} _ {g s} ^ {t} (t e s t \mid r e p e t i d o r e s).\tag{38}\]

Esto resulta en un sistema de ecuaciones de calibraciÛn par·metros, que se pueden resolver de forma cerrada.³⁴

Las ecuaciones de calibraciÛn implican que nuestra calibraciÛn siempre replica las diferencias en el rendimiento entre alumnos repetidores y no repetidores. Mientras las diferencias en el rendimiento entre alumnos repetidores y no repetidores es directamente observable, el cambio en aptitud que viene con la repeticiÛn de curso no lo es. El valor de en la calibraciÛn depende del rendimiento medio en el test de los alumnos repetidores y de la distribuciÛn de aptitud calibrada asÌ como de los umbrales acadÈmicos calibrados obtenidos usando (36)-(38).³⁵

Calibrando los par·metros de la cohorte de edad 2002 La estimaciÛn de los efectos de pares de gÈnero a nivel de curso se basa en los alumnos de sexto durante los aÒos escolares que empiezan en 2008 y 2009. Estos alumnos, por lo general, forman parte de las cohortes de edad 2003 y 2004 que calibramos en (36)-(39), pero algunos de ellos son de la cohorte de edad 2002 (los alumnos en la cohorte de edad 2002 que repitieron un curso en primaria). De modo que necesitamos calibrar los par·metros de la cohorte de edad 2002, para poder simular la estimaciÛn a nivel de curso de los efectos de pares de gÈnero. Como no observamos la cohorte de edad 2002 en su totalidad (alumnos no repetidores de la cohorte de edad 2002 hicieron el test en el aÒo escolar que empieza en 2007, lo cual queda fuera del periodo cubierto por nuestra base de datos), tenemos que usar una estrategia distinta de la usada para las cohortes de edad 2003 y 2004. Procedemos de la siguiente manera. El par·metro de dispersiÛn se iguala al valor calibrado para las cohortes de edad 2003 y 2004. Las medias de la distribuciÛn de aptitud se igualan al promedio de los par·metros de la distribuciÛn de aptitud que calibramos para la misma escuela y gÈnero para las cohortes de edad 2003 y 2004. Los cambios en aptitud asociados a la repeticiÛn de curso y los umbrales acadÈmicos usados para repeticiÛn de curso se calibran replicando el rendimiento medio en el test de los alumnos repetidores de la cohorte de edad 2002 asÌ como la proporciÛn de estos alumnos entre los alumnos de sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en 2008 a nivel de escuela y gÈnero.

³⁴Usando la fÛrmula para la varianza de una distribuciÛn uniforme nos da . Dada implican que son lineales en

³⁵Existen algunas estimaciones empÌricas de los efectos de repeticiÛn de curso. Jacob y Lefgren (2004) encuentran en EEUU un efecto positivo a corto plazo de la repeticiÛn de tercero sobre la aptitud, pero no encuentran ning˙n efecto en sexto. Jacob y Lefgren (2009) encuentran que en EEUU es menos probable que repitan octavo los alumnos que repitieron sexto que los que aprobaron sexto por un margen estrecho. Tanto el estudio de Jacob y Lefgren como el an·lisis de Manacorda (2012) para Uruguay encuentran que es m·s probable que alumnos repetidores no acaben la secundaria que los que aprobaron por un margen estrecho.

5.2.2 La distribuciÛn de aptitud normal calibrada con las notas del test estandarizadas

TambiÈn calibramos y simulamos un modelo donde la distribuciÛn de aptitud es normal con media desviaciÛn est·ndar , . La calibraciÛn de este modelo sigue los mismos pasos que la de la distribuciÛn uniforme.³⁶

5.2.3 Una distribuciÛn de aptitud calibrada con las notas del test

Hasta ahora calibramos las distribuciones de aptitud usando las notas del test estandarizadas e ignoramos que las notas del test en nuestros datos varÌan entre . Ahora mostramos una estrategia que calibra las distribuciones de aptitud bas·ndose en las notas sin estandarizar. Para hacerlo suponemos que la distribuciÛn de las aptitudes de alumnos viene dada por

\[z _ {i g s} ^ {t} = 1 0 \left(\frac {1}{1 + \exp (- v _ {i g s} ^ {t})}\right) \mathrm{donde} v _ {i g s} ^ {t} \sim N (\alpha_ {g s} ^ {t}, \theta).\tag{39}\]

Esto asegura que las aptitudes est·n en la misma gama que las notas del test sin estandarizar. Cuando calibramos los par·metros de este modelo de nuevo tenemos que distinguir entre cohortes de edad 2003 y 2004, los que observamos en su totalidad, y las dem·s cohortes.

Calibrando los par·metros de las cohortes de edad 2003 y 2004 Los par·metros de estas dos cohortes de edad est·n calibradas usando la misma estrategia que usamos para la distribuciÛn uniforme pero bas·ndonos en las notas de test sin estandarizar. De modo que las ecuaciones de calibraciÛn son las (36)-(39) con la excepciÛn de que ahora las notas de test hacen referencia a las notas sin estandarizar.

Calibrando los par·metros de las cohortes de edad 2002 y 2005 Los par·metros de la cohorte de edad 2002 tambiÈn est·n calibradas usando la misma estrategia que para la distribuciÛn uniforme pero bas·ndose en las notas sin estandarizar.

³⁶Como no existen soluciones explÌcitas en el caso de la distribuciÛn normal o las distribuciones calibradas basadas en las notas del test sin estandarizar, resolvemos las ecuaciones numÈricamente.

Para comparar los efectos de pares de gÈnero estimados con los modelos calibrados que usan caliÖcaciones estandarizadas y los que usan caliÖcaciones sin estandarizar, es ˙til estandarizar las caliÖcaciones antes de estimar los efectos de pares de gÈnero. Como las cohortes de edad 2003 y 2004 pueden llegar al sexto curso en aÒos acadÈmicos que empiezan en 2008, 2009 y 2010, esto requiere las medias y desviaciones est·ndar de las notas sin estandarizar entre todos los alumnos de sexto para todos estos aÒos. Los alumnos de sexto en los aÒos acadÈmicos que empiezan en 2008 y 2009 son de las cohortes de edad 2002, 2003 y 2004 que ya hemos calibrado. Pero la mayorÌa de los alumnos de sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en 2010 son de la cohorte de edad 2005. De modo que para estandarizar las caliÖcaciones necesitamos calibrar los par·metros de la cohorte de edad 2005. Igualamos al valor calibrado para las cohortes de edad 2003-2004 y calibramos para que repliquen la media de las notas sin estandarizar de los alumnos no repetidores de la cohorte de edad 2005 asÌ como la proporciÛn de estos alumnos entre todos los alumnos de sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en 2010 a nivel de escuela y gÈnero.

5.3 Simulaciones contrafactuales

Ahora usamos el modelo para simular los datos y estimar los efectos de pares de gÈnero usando los enfoques de cohortes de edad y cursos escolares. Todas las simulaciones se basan en 1.000 niÒos por escuela y cohorte de edad. Las simulaciones tambiÈn tienen en com˙n el hecho que el n˙mero de niÒas viene determinado por una probabilidad de ser niÒa especÌÖca a cada escuela y cohorte de edad. Esta probabilidad es igual a la proporciÛn de niÒas a nivel de escuela y cohorte de edad para las cohortes 2003 y 2004, las dos cohortes de edad que observamos en su totalidad. Para todas las dem·s cohortes de edad, la probabilidad es igual a la proporciÛn media de niÒas en la misma escuela en las cohortes de edad 2003 y 2004.

Una vez se determina el gÈnero de alumnos, sacamos su aptitud de la distribuciÛn de aptitudes especÌÖca a cada escuela, cohorte de edad y gÈnero. Entonces los alumnos de la cohorte de edad t son asignados al sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en si su aptitud est· por encima del umbral para pasar de curso . Si la aptitud de los alumnos est· por debajo del umbral acadÈmico, les asignamos al sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en ya que repiten un curso. Alumnos que repiten curso experimentan un cambio de aptitud de sexto . Las caliÖcaciones del test de alumnos de sexto se obtienen a partir de su aptitud. En el caso de una distribuciÛn uniforme y una normal calibrada con caliÖcaciones estandarizadas, las notas del test de alumnos se igualan a su aptitud en el sexto. En el caso de una distribuciÛn calibrada con las caliÖcaciones sin estandarizar, las notas de los alumnos se igualas a su aptitud estandarizada con la aptitud de todos los alumnos de sexto que hicieron el test en el mismo aÒo. Los datos de alumnos simulados con el modelo se usan para crear dos bases de datos. La primera base de datos consiste del gÈnero y las caliÖcaciones de todos los alumnos de sexto en aÒos acadÈmicos que empiezan en 2008 y 2009. Necesitamos estos datos para estimar efectos de pares de gÈnero usando el enfoque de curso escolar. La segunda base de datos consiste del gÈnero y caliÖcaciones de todos los alumnos en las cohortes de nacimiento 2003 y 2004. Necesitamos estos datos para estimar efectos de pares de gÈnero usando el enfoque de cohortes de edad.

La caliÖcaciÛn media a nivel de grado se obtiene como

(nota media de niÒas y niÒos no repetidores en cohorte de edad (40) (nota media de niÒas y niÒos repetidores en cohorte de edad

donde para el aÒo acadÈmico que empieza en el aÒo acadÈmico que empieza en es la proporciÛn de niÒas y niÒos no repetidores entre alumnos de sexto de su mismo gÈnero en escuela s. La proporciÛn de niÒas entre todos alumnos de sexto en la escuela s es

(41) niÒas no repetidoras en cohorte de edad 5 +niÒas repetidoras en cohorte de edad girlsh_s = todos los alumnos de sexto en el aÒo acadÈmico que empieza en

Con podemos estimar los efectos de pares de gÈnero a nivel de curso regresando los cambios en el rendimiento en el test de niÒas y niÒos entre aÒos acadÈmicos que empiezan en , t entre escuelas s sobre los correspondientes cambios en la proporciÛn de niÒas entre todos los alumnos de sexto, . Las caliÖcaciones estandarizadas medias a nivel de cohorte de edad se obtienen de la siguiente manera

(nota media de niÒas o niÒos no repetidores en la cohorte de edad t) (42) (nota media de niÒas o niÒos repetidores en la cohorte de edad t)

donde es la proporciÛn de niÒas o niÒos no repetidores entre los alumnos del mismo gÈnero en cohorte de nacimiento t y escuela s. Con (42) y la proporciÛn de niÒas en cohortes de edad 2003 y 2004 podemos estimar efectos de pares de gÈnero a nivel de cohortes de edad regresando los cambios en las caliÖcaciones medias de niÒas y niÒos entre cohortes de edad 2003 y 2004, te , entre escuelas sobre los cambios correspondientes en la proporciÛn de niÒas en estas cohortes de edad.

³⁷Ya que el test se hace hacia el Önal del aÒo acadÈmico.

EstimaciÛn y simulaciÛn de base En la simulaciÛn de base, simulamos nuestros datos suponiendo que todos los par·metros del modelo tienen sus valores calibrados. Entonces los datos simulados se usan para estimar efectos de pares de gÈnero usando los enfoques de cohortes de edad y cursos escolares. Como la calibraciÛn replica las caliÖcaciones medias a nivel de escuela, cohorte de edad y gÈnero para cohortes de edad 2003 y 2004 y la proporciÛn de niÒas en estas cohortes de edad, nuestros efectos de pares de gÈnero estimados a nivel de cohortes de gÈnero con datos simulados son muy parecidos a nuestros resultados empÌricos reales estimados para EspaÒa. Esto tambiÈn es asÌ con los efectos de pares de gÈnero estimados a nivel de curso escolar ya que la calibraciÛn tambiÈn replica las caliÖcaciones medias a nivel de escuela, curso y gÈnero para alumnos de sexto y la proporciÛn de niÒas en los aÒos acadÈmicos que empiezan en 2008 y 2009. La razÛn por la cual los efectos de pares de gÈnero estimados con los datos simulados no coinciden exactamente con los resultados empÌricos reales es que en la simulaciÛn todas las cohortes de edad son iguales mientras en nuestros datos el tamaÒo de cohortes de edad varÌa un poco entre escuelas y aÒos.

SimulaciÛn y estimaciÛn contrafactual En nuestra simulaciÛn contrafactual bajamos sucesivamente los umbrales acadÈmicos para pasar de curso en la misma cantidad para todas las escuelas, cohortes y gÈneros, empezando por los umbrales calibrados. Todos los dem·s par·metros del modelo se mantienen en sus valores base. Entonces usamos los modelos con los umbrales acadÈmicos m·s bajos para simular los datos de los alumnos de la manera expuesta anteriormente y estimamos los efectos de pares de gÈnero a nivel de curso escolar y a nivel de cohorte de edad. Esto nos permite comparar los efectos de pares de gÈnero estimados usando enfoques basados en cursos escolares y los basados en cohortes de nacimiento con tasas de repeticiÛn sucesivamente m·s bajas.

Nuestros resultados se resumen en Tablas 4, 5 y 6. Los resultados base est·n en la Öla (1). Filas (2)-(6) contienen resultados para umbrales acadÈmicos y tasas de repeticiÛn de curso sucesivamente m·s bajos. En la Öla (6) los umbrales acadÈmicos son tan bajos que ning˙n alumno repite curso, y esto es cuando los enfoques basados en curso escolar y cohortes de edad coinciden. En todas las tablas encontramos que el enfoque basado en cursos escolares puede producir efectos de pares de gÈnero espurios de niÒas sobre niÒas cuando la tasa de repeticiÛn es m·s baja que la media de la OCDE o la vean los resultados en la Öla (3) en Tablas 4, . De hecho el enfoque basado en cursos escolares sigue produciendo efectos de pares de gÈnero espurios de niÒas sobre niÒas incluso cuando la proporciÛn de alumnos repetidores est· al rededor de tan sÛlo un 2 por ciento. Sin embargo, estos resultados hay que tomarlos con precauciÛn ya que esta simulaciÛn es para tasas de repeticiÛn mucho m·s bajas que las de los datos usados para la calibraciÛn.

6 ConclusiÛn

Nuestro objetivo ha sido hacer dos contribuciones a la investigaciÛn sobre los efectos de pares de gÈnero en escuelas. Primero, proporcionar una estimacion de los efectos de pares de gÈnero en EspaÒa. Encontramos que niÒos tienden a obtener mejores resultados acadÈmicos cuando la proporciÛn de niÒas en su cohorte de edad es mayor, incluso en matem·ticas donde en promedio las niÒas tienen peor rendimiento que niÒos. Por el otro lado, el rendimiento acadÈmico de niÒas no varÌa de manera estadÌsticamente signiÖcativa con la proporciÛn de niÒas en su cohorte de edad. El efecto de pares de gÈnero positivo de niÒas sobre niÒos se puede deber a que el mejor ambiente que viene con m·s niÒas en la clase, vean Lavy y Schlosser (2011) para evidencia empÌrica, sobretodo beneÖcia a niÒos. En cualquier caso, nuestros resultados implican que el rendimiento acadÈmico en clase se maximiza cuando la proporciÛn de niÒas es igual a la de niÒos. Nuestra segunda contribuciÛn ha sido metodolÛgica. Hemos demostrado que el enfoque existente para estimar los efectos de pares gÈnero en escuelas ñ el enfoque basado en cursos escolares ñ tiene importantes inconvenientes cuando niÒas y niÒos con bajo rendimiento acadÈmico repiten curso. Como las tasas de repeticiÛn en EspaÒa son relativamente altas, hemos desarrollado un enfoque alternativo basado en cohortes de edad. Si hubiÈsemos usado el enfoque basado en cursos, nuestra conclusiÛn en cuanto a los efectos de pares de gÈnero habrÌa sido la contraria. Nuestras simulaciÛnes contrafactuales sugieren que las estrategias basadas en cohortes de edad y las basadas en el curso escolar pueden producir diferentes patrones de efectos de pares relacionados con el gÈnero incluso cuando las tasas de repeticiÛn escolar son bajas.

ApÈndice

Para demostrar los resultados de las inecuaciones en (12), , primero linealizamos los cambios dentro de la escuela en la proporciÛn de niÒas a nivel de curso en cursos superiores, , al rededor de ; and : Usando , la linealizaciÛn nos da

\[\Delta g i r l s h _ {g \tau} = \left(\Delta \lambda_ {f s} ^ {\tau - 1} - \Delta \lambda_ {m s} ^ {\tau - 1} - \Delta \lambda_ {f s} ^ {\tau - 2} + \Delta \lambda_ {m s} ^ {\tau - 2}\right) / 4 + \lambda \Delta \phi^ {\tau - 1} + (1 - \lambda) \Delta \phi^ {\tau - 2}\tag{A1}\]

donde : Linealizando el cambio dentro de la escuela en los resultados de test para niÒas y niÒos en cursos superiores, ; usando (4)-(9) nos da

\[\begin{array}{r l} & {\Delta t e s t _ {g s \tau} = \lambda \left(\Delta \alpha_ {g s} ^ {\tau - 1} + \Delta p _ {g s} ^ {\tau - 1}\right) / 2 + (1 - \lambda) (\Delta \alpha_ {g s} ^ {\tau - 2} + \Delta p _ {g s} ^ {\tau - 2}) / 2} \\ & {+ (\theta - \delta) \left[ 2 (1 - \lambda) \lambda (2 \phi_ {s} ^ {\tau - 2} - \phi_ {s} ^ {\tau - 1} - \phi_ {s} ^ {\tau - 3}) + (1 - \lambda) \Delta \lambda_ {g s} ^ {\tau - 1} + \lambda \Delta \lambda_ {g s} ^ {\tau - 2} \right]} \end{array}\tag{A2}\]

donde

La formula est·ndar para la pendiente de la regresiÛn de mÌnimos cuadrados implica que el signo de la pendiente de mÌnimos cuadrados cuando regresamos (A2) sobre (A1) es igual al signo de la covarianza entre . De modo que procedemos a calcular esta covarianza bajo diferentes supuestos que sustentan los resultados derivados de las inecuaciones en (12), (19) y (25). Por ejemplo, la inecuaciÛn en (12) fue derivada suponiendo de ahÌ . En este caso (A1) se simpliÖca a : De este modo, el supuesto de unas perturbaciones sobre la proporciÛn de niÒas en una cohorte de edad en (11) distribuidas idÈntica e independientemente implica . Como (3) implica que , resulta que la regresiÛn de mÌnimos cuadrados de los cambios dentro de la escuelas en el rendimiento en el test de las niÒas en cursos superiores sobre los cambios dentro de la escuela en la proporciÛn de niÒas en cursos superiores produce una pendiente de mÌnimos cuadrados estrictamente positiva si , lo que demuestra la (12).

La inecuaciÛn en (19) se deriva suponiendo que . Sustituyendo en (A1) resulta que . Debido a que suponemos que , esto implica una pendiente de mÌnimos cuadrados estrictamente positiva cuando regresamos (A2) sobre (A1) si , lo que demuestra la (19). El resultado en (25) se puede demostrar de forma an·loga.

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Tabla 1 – Balance a nivel de cohortes de nacimiento (escuelas de dos clases por curso)

Tabla 1 – Continuación

Errores estándar robustos en clúster por escuelas entre paréntesis. Significativo al nivel del 10% ** Significativo al nivel del 5% *** Significativo al nivel del 1%

Las variables incluídas describen el entorno familiar e individual del alumno. Profesiones: Militar (1), Dirige una empresa trabaja en un Ministerio, en la Comunidad Autónoma o el Ayuntamiento (2), Profesional o técnico (3), Secretaría (4), Trabaja en un restorán o en hotel, policía, bombero, vendedor, dependiente de tienda, cajero (5), Trabaja en la construcción mantenimiento o albañil (6), Trabaja en una fábrica (7), Trabaja en servicio doméstico, conserjería, vigilancia de seguridad, servicios de limpieza (8). Educación de los padres: No acabó los estudios obligatorios (Sin educación obligatoria), Estudios obligatorios ESO o EGB (Estudios obligatorios), Bachillerato o Formación Profesional (Bachillerato o F.P.), Universitarios. Con quien vive habitualmente: Estas variables no son mutuamente excluyentes. Inicio de colegio o pre-escolar: La pregunta es ¿A qué edad empezaste a ir al colegio, escuela infantil o casa de niños (guardería). Edad de llegada: edad de llegada del alumno a España, para los nativos es 0. Inmigrante: al menos el estudiante y uno de los padres nació fuera de España. Nuevo inmigrante: igual que inmigrante pero el alumno llegó a España con 3 años o más. Educación especial: alumno de integración.

Tabla 2 – Estimaciones de efecto de la proporción de niñas sobre los resultados de las pruebas a nivel de cohortes de nacimiento Panel A: Escuelas de 2 clases por curso

Panel B: Escuelas de 1 clase por curso

Panel C: Todas las escuelas

Errores estándar robustos en clúster por escuelas entre paréntesis. Significativo al nivel del 10% ** Significativo al nivel del 5% *** Significativo al nivel del 1% *** Significant at the 1% level Los controles individuales incluídos son los mismos que las variables usadas en las estimaciones de balance. Los controles de pares se calculan en base a la proporción de padres y madres según nivel educativo y la proporción de inmigración.

Tabla 5 – Efecto de la política de repetición sobre el sesgo de Estimación – Distribución Normal

Los coeficientes son el promedio sobre 100 replicaciones, se presenta el error estándar promedio entre paréntesis.

Tabla 6 – Efecto de la política de repetición sobre el sesgo de Estimación – Distribución Exponencial

Los coeficientes son el promedio sobre 100 replicaciones, se presenta el error estándar promedio entre paréntesis.

Tabla A1 – Estadísticas descriptivas de las muestras de 2009, 2010 y 2011

Tabla A2 – Balance a nivel de curso escolar

Tabla A2 – Continuación

Errores estándar robustos en clúster por escuelas entre paréntesis. * Significativo al nivel del 10% ** Significativo al nivel del 5%

*** Significativo al nivel del 1%

Las variables incluídas describen el entorno familiar e individual del alumno. Profesiones: Militar (1), Dirige una empresa trabaja en un Ministerio, en la Comunidad Autónoma o el Ayuntamiento (2), Profesional o técnico (3), Secretaría (4), Trabaja en un restorán o en hotel, policía, bombero, vendedor, dependiente de tienda, cajero (5), Trabaja en la construcción mantenimiento o albañil (6), Trabaja en una fábrica (7), Trabaja en servicio doméstico, conserjería, vigilancia de seguridad, servicios de limpieza (8). Educación de los padres: No acabó los estudios obligatorios (Sin educación obligatoria), Estudios obligatorios ESO o EGB (Estudios obligatorios), Bachillerato o Formación Profesional (Bachillerato o F.P.), Universitarios Con quien vive habitualmente: Estas variables no son mutuamente excluyentes. Inicio de colegio o pre-escolar: La pregunta es ¿A qué edad empezaste a ir al colegio, escuela infantil o casa de niños (guardería). Edad de llegada: edad de llegada del alumno a España, para los nativos es 0. Inmigrante: al menos el estudiante y uno de los padres nació fuera de España. Nuevo inmigrante: igual que inmigrante pero el alumno llegó a España con 3 años o más. Educación especial: alumno de integración.

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