Documento de Trabajo - 2020/07

Un modelo robusto para la predicción ad-futurum de los efectos de la epidemia del Covid-19

Juan Luis Fernández-Martínez (Universidad de Oviedo)

fedea

Las opiniones recogidas en este documento son las de sus autores y no coinciden necesariamente con las de FEDEA.

Un modelo robusto para la predicción ad-futurum de los efectos de la epidemia del Covid-19 Juan Luis Fernández-Martínez

Catedrático de Matemática Aplicada Director del Grupo de Problemas Inversos, Optimización y Aprendizaje Automático. Departamento de Matemáticas. Universidad de Oviedo.

Oviedo, 24 de Junio del 2020

Resumen: La predicción de la dinámica de la pandemia del Covid19 y de las necesidades sanitarias que esta pandemia genera (ingresos Covid, pacientes críticos, necesidad de unidades de cuidados intensivos, etc) se basa en la combinación de un modelo de crecimiento limitado (modelo logístico o de Verhulst) y un modelo predictivo a corto plazo basado en el análisis de series temporales que permite hacer predicciones para el día siguiente. En ambos casos se realiza el análisis de incertidumbre de la predicción, es decir, el conjunto de modelos equivalentes que ajustan la histórica con la misma exactitud. Este conjunto de modelos proporciona la distribución a posteriori de los parámetros del modelo predictivo que ajustan la serie histórica. Su extrapolación puede realizarse para la misma serie temporal analizada (por ejemplo número de infectados diarios) u otra serie temporal de interés con la cual ésta esté correlacionada y que se desee predecir, por ejemplo el numero de enfermos ingresados en Ucis, el número de pacientes críticos, o el número total de ingresos, que están directamente relacionados con las necesidades sanitarias. Ambos modelos se pueden regionalizar, es decir, hace predicciones a diferentes niveles locales, si los datos están desagregados. Estos modelos se pueden condicionar con variables meteorológicas, que influyen notablemente en la propagación del virus.

Conceptos clave:

Modelo matemático

• Modelo de Verhults de predicción a largo plazo.

• Modelo de predicción a corto plazo basado en el análisis de series temporales.

• Análisis de incertidumbre y modelización del riesgo de rebrotes.

Posibilidades de Uso

• Predicción de necesidades sanitarias y de series temporales correlacionadas.

• Condicionamiento mediante otro tipo de variables, por ejemplo, climáticas.

• Determinación de probabilidades de rebrote.

• Regionalización de la pandemia y del modelo de toma de decisiones.

METODOLOGIA

1. Predicción a largo plazo. Modelo de Verhulst

El modelo de Verhults (1804-1849) es un modelo poblacional de crecimiento limitado, que se supone que el crecimiento de una población está limitado por el tamaño y la fertilidad de la población y la cantidad de recursos disponibles , de manera que ésta converge hacia una situación estacionaria. Este modelo es una modificación del modelo de crecimiento exponencial de Malthus (1766-1834). El modelo de Verhulst también sirve para modelizar (o describir) la dinámica de una pandemia. Este modelo corresponde a la ecuación diferencial de primer orden:

\[\begin{array}{c} \frac {d P}{d t} = r P \left(1 - \frac {P}{K}\right), \\ P (0) = P _ {0}, \end{array}\tag{1}\]

siendo el tamaño de la población, que depende del tiempo, r es la constante de crecimiento (o decrecimiento) de la población y 2 la población máxima. Dicha constante se denomina en la bibliografía especializada el nombre de capacidad de carga del medio, y grosso modo representa el número máximo de individuos que la población admite. En este caso la tasa de crecimiento

\[T C = \frac {\frac {d P}{d t} (t)}{P (t)} = r K (K - P (t)),\tag{2}\]

no es constante, sino que se autorregula según el tamaño de la población en cada instante. En el caso de modelo de Malthus dicha tasa sería %.

La solución de esta ecuación diferencial es:

\[P (t) = \frac {K}{1 + A e ^ {- r t}},\tag{3}\]

donde ? es una constante real que verifica

\[P _ {0} = \frac {K}{1 + A},\tag{4}\]

es decir,

\[P (t) = \frac {K P _ {0} e ^ {r t}}{K + P _ {0} (e ^ {r t} - 1)}.\tag{5}\]

La ecuación diferencial anterior también se puede escribir

\[\frac {d P}{d t} = \alpha P (K - P),\tag{6}\]

con , parámetro que proporciona una idea de la velocidad global de crecimiento de la pandemia. Este modelo puede representar adecuadamente la propagación de una epidemia dado que al principio la epidemia se propaga rápidamente ya que cada infectado es susceptible de contagiar a otros individuos con los cuales tenga contagio, pero cuando el número de infectados crece es más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la enfermedad. Esta es la razón del crecimiento limitado, al cual también contribuyen las medidas de confinamiento.

La ecuación (3) proporciona el número total de infectados en el tiempo t mientras que la ecuación (4) proporciona el número de nuevos infectados diarios, es decir, la velocidad de la infección. La curva tiene forma sigmoide y se denomina curva logística, mientras que la curva tiene forma de campana y alcanza su máximo en el tiempo En ese punto la curva tiene un punto de inflexión, con lo cual la velocidad de crecimiento de la pandemia pasa de ser creciente a decreciente. Este modelo tiene la ventaja de ser sencillo, robusto y de fácil comprensión.

2. El problema de predicción y el problema inverso

El modelo de Verhulst depende solo de tres parámetros que se deben identificar:

1. La población inicial de infectados que dio lugar a la pandemia. Este parámetro por defecto es 1, pero debe de ser correctamente identificado pues puede no coincidir con el número de personas infectadas que se detectaron el primer día que se inició la estadística.

2. La constante r o tasa de crecimiento intrínseco.

3. La constante 2, que es la Población máxima o capacidad de carga.

Conocidos dichos parámetros es relativamente sencillo simular el crecimiento de una pandemia. La figura 1 muestra la dinámica de la pandemia para tres casos diferentes con poblaciones máximas de 500.000, 800.000 y 1 millón de personas y tasas de crecimiento intrínseco 0,1 y 0,2, es decir una persona infecta a una media de 10 y 5 personas. Se puede ser observar que el pico de la curva de nuevos infectados posee un máximo en el punto de inflexión de la curva de infectados totales, con lo cual su localización temporal está muy bien determinado. Además como se detalló, corresponde al tiempo en el que se alcanza la mitad de la población máxima. Otra circunstancia de remarcable es que el soporte de la curvas de nuevos infectados varía en este caso entre 60 y 75 días, que sería el tiempo característico necesario para que estuviese controlada.

Figura 1: Simulación de la dinámica de una pandemia según el modelo de Verhulst para diferentes valores de la capacidad de carga y de la tasa de crecimiento intrínseco.

El problema inverso se plantea como sigue: dado un serie temporal del número total de infectados: , encontrar un conjunto de parámetros K = tales que se ajuste los datos observados con un error menor que una cierta tolerancia. Llamando R al modelo directo de predicción (de Verhulst en este caso), se trata, de muestrear el espacio de incertidumbre de este problema inverso tridimensional:

\[M _ {t o l} = \Bigl \{\mathbf {m} = (K, P _ {0}, r) \colon \frac {\| \mathbf {F} (\mathbf {m}) - \mathbf {d} ^ {o b s} \| _ {1}}{\| \mathbf {d} ^ {o b s} \| _ {1}} \leq t o l \Bigr \}.\tag{7}\]

En este caso se ha adoptado una norma L-1 dada su robustez. El objetivo de este análisis es la identificación del conjunto de modelos que ajustan la histórica con una precisión similar. Este procedimiento es coherente con la topografía de la función objetivo en problemas inversos no lineales (Fernández-Martínez et al, 2012, 2013, 2015) y al efecto del ruido en los datos observados (Fernández Martínez et al, 2014a, 2014b) que deforman dicha topografía y falsean la identificación del mejor modelo. Se puede demostrar (Fernández-Martínez et al, 2012, 2013, 2015) que los modelos llamados equivalentes pertenecen a valles de la función objetivo en los que ésta posee idéntico valor. El análisis de incertidumbre consiste en obtener una muestra representativa de dichos modelos a través de técnicas de muestreo o de optimización global. En este sentido, la técnica consistente en encontrar el modelo de máxima verosimilitud (de menor error de ajuste de la histórica). Cabe observar que las curvas de percentiles de la predicción tienen una forma mucho más compleja que la que anticipa un único modelo (el más preciso) predictivo, independientemente de su tipología (SIR, Verhulst, etc). La razón es que las curvas de percentiles recogen la contribución de diferentes escenarios plausibles, no sólo de aquel que posee el menor error de ajuste.

Una vez que dichos modelos han sido muestreados, es posible extrapolar la curva de pandemia ad-futurum con todos estos modelos y determinar con dicho conjunto los diferentes percentiles de la distribución a posteriori de los valores de la pandemia. El percentil de la predicción ad-futurum en el día t es el número de infectados que deja de las predicciones por debajo. Se determinan los percentiles 10, 25, 50, 75 y 90. De esta manera, la realidad (el número de infectados observado) en ese mismo día (una vez predicho con anterioridad) es una curva más del modelo. El percentil 50 o mediana es el valor más probable de los valores predichos, dado que es el centro de la distribución a posteriori. Si la evolución de la pandemia es hacia percentiles inferiores a la mediana entonces la pandemia estaría bajo control. Inversamente si la pandemia evoluciona hacia percentiles altos entonces se puede concluir lo contrario.

La web https://www.deepbioinsights.com/covid.html muestra la aplicación de esta metodología para España, sus autonomías y diferentes países del mundo. La figura 2 muestra la distribución a posteriori de la predicción del número de infectados diarios a nivel mundial. En apéndice mostramos las curvas de predicción para Asturias y España.

Como puede observarse la pandemia supera la curva de p50 (mediana) a finales del mes de Mayo del 2020 y actualmente no está bajo control, superando con creces el percentil 75 de la predicción y casi llegando al 90. Igualmente se puede hacer con el número de muertes (figura 3). Se observa que pese a mostrar una tendencia global decreciente a partir del 10 de Abril, la serie se encuentra lateralizando con un número de muertes diarias entre 4000 y 6000. No obstante actualmente la cifra de muertes diario supera el percentil 90 de la predicción, con lo cual la pandemia dista de estar controlada.

Figura 2: Distribución a posteriori de la predicción del número diario de infectados a nivel mundial.

Figura 3: Distribución a posteriori de la predicción del número diario de muertes a nivel mundial.

El muestreo de los parámetros del modelo que ajustan la histórica se realiza mediante el algoritmo RR-PSO (Fernández-Martínez et al, 2012) que es un miembro de la familia PSO (algoritmo de enjambre de partículas). Este algoritmo RR-PSO fue desarrollado en el grupo de Problemas Inversos. El algoritmo funciona como los enjambres de abejas cuando buscan comida, pero aquí se buscan los parámetros del problema . Las abejas, a la hora de buscar polen exploran la región en la que hay más densidad de flores para que la probabilidad de encontrar polen sea mayor. Este conjunto se denomina el espacio de búsqueda, y en el caso que nos ocupa es un prisma. Dicho espacio de búsqueda se diseña automáticamente mediante la resolución analítica de la ecuación en diferencias correspondiente a (1):

\[P (t + 1) - (1 + r) P (t) + \frac {r}{K} P ^ {2} (t) = 0,\tag{8}\]

\[P (0) = P _ {0}.\]

Fijado una partícula en el espacio de búsqueda, la función de coste que se pretende optimizar es la distancia en la norma 1 entre los datos de infectados observados y los datos predichos con este modelo. Como se ha especificado en (7) sólo elegiremos las configuraciones que garantizan que el error de predicción sea menor que la tolerancia admitida.

Figura 4: Distribución a posteriori de los parámetros del modelo de la predicción del número diario de infectados a nivel mundial.

La figura 4 muestra por ejemplo los histogramas de los parámetros K y r identificados por el algoritmo RR-PSO en la predicción del número de infectados a nivel mundial. La moda del número máximo de infectados es de 10 millones de personas. La tasa de crecimiento intrínseco tiene la moda en 0.057, es decir, una media de 17.5 infectados por infectado, lo cual indica una gran capacidad global de contagio del COVID a nivel mundial.

Monitorización de rebrotes

La figura 5 muestra el caso de Rumanía, y como las curvas de percentiles sirven para detectar el rebrote entre el 16 de Mayo y el 1 de Junio. Asignar un riesgo de rebrote a partir de las curvas de percentiles es automático, por ejemplo:

• si el número de infectados es menor que p10: riesgo muy bajo.

• entre p10 y p25: Riesgo bajo.

• entre p25 y p50: Riesgo medio bajo.

• entre p50 y p75: Riesgo medio alto.

• entre p75 y p90: Riesgo alto

• por encima de p90: Riesgo muy alto-fuera de control.

También se podrían entrenar sistemas expertos que aprendiesen dichas categorías a partir de ejemplos (aprendizaje supervisado).

Figura 5: Percentiles de la predicción del número de infectados en Rumanía. Se observa que a partir del 16 de Mayo del 2020 el número de infectados supera la curva mediana y que a partir del 1 de Junio se supera el percentil 75. A partir de este momento la pandemia se descontrola y a mediados de Junio se supera el percentil 90. En la actualidad la pandemia no parece bajo control y podría tener lugar la aparición de un segundo pico.

Predicción a corto plazo

La predicción a largo plazo se puede complementar con una predicción a corto plazo (próximo día) mediante un método de análisis de series temporales. La figura 6 muestra la aplicación de dicho método para la predicción a un día del número de infectados y de muertes a nivel mundial. De esta manera el valor más probable es la mediana. También se puede determinar el rango inter cuartil, así como los percentiles mínimo y máximo que proporcionan los límites a un día de la evolución de la pandemia. Una cifra superior al percentil 90 se puede interpretar como una probabilidad de rebrote muy elevada.

Figura 6: Percentiles de la predicción a un día del numero de infectados (diario y total) y del número de muertes a nivel mundial.

3. Predicción de necesidades sanitarias

Estos métodos también se pueden utilizar para predecir la necesidades sanitarias (ingresos, Ucis, pacientes críticos, decesos) , correlacionando dichas series temporales con la serie temporal de infectados, y transmitiendo la incertidumbre de la predicción de los nuevos infectados COVID a dichas predicciones. La figura 7 muestra un ejemplo para la Comunidad de Madrid. Estas predicciones se pueden regionalizar e incluso circunscribir a cada hospital si se conocen los datos desagregados de la serie. Esto permitiría un control mucho más efectivo de la pandemia y una previsión inteligente y automatizada de las necesidades hospitalarias.

Figura 7: Predicción para el 16 de mayo del 2020 de las necesidades sanitarias de la comunidad de Madrid a partir de datos proporcionados por el Ministerio de Sanidad.

4. Influencia de las condiciones meteorológicas

Las variables meteorológicas son importantes en la propagación de la COVID-19. En general una mayor insolación, temperatura y humedad disminuyen las posibilidades de infección. La figura 8 muestra los porcentajes acumulados de infección COVID en las diferentes provincias españolas y su variación con la presión atmosférica y la temperatura media. Estas variables se pueden utilizar para condicionar la probabilidad de nuevas infecciones. La figura 9 muestra diferentes mapas de España donde se muestran la densidad de infectados, la temperatura media durante el mes de Abril y el porcentaje de anticuerpos detectados durante la primera ronda. Estos datos sirven para crear un modelo que permita condicionar el número de infectados mediante las variables climatológicas y establecer mapas inteligentes de inmunidad de grupo y de riesgos de infección y rebrotes.

COVID-19 cumulative positives by Province (Spain, June 14th) Correlation between Mean Temperature and the Density of Positives.

COVID-19 cumulative positives by Province (Spain, June 14th) Correlation between Mean Temperature and the Density of Positives. Figure 8. Correlación según provincias entre el porcentaje de infectados y las variables meteorológicas. (trabajo realizado en colaboración con JM Loché).

Relación entre Positivos (Tests PCRs) y Población con Anticuerpos. Datos de PCRs para cada Provincia (10 de Mayo). Figura 10: Porcentaje población con anticuerpos vs positivos PCR (trabajo realizado en colaboración con JM Loché).

La figura 10 muestra la correlación existente entre los positivos detectados por PCR y la población con anticuerpos en las diferentes provincias de España. Tambien se añade información relativa a la temperatura según los datos proporcionados por el Ministerio der Sanidad el 10 de Mayo. La ecuación de la recta de regresión es:

\[A n t i c u e r p o s = 5, 5 4 P C R,\tag{8}\]

con los cual la regla para determinar una inmunidad de grupo estimada es 6 veces el numero de detectado por PCR. Esta ecuación puede utilizarse para regionalizar la inmunidad a nivel de cada provincia en función del número de infectados detectados mediante test PCR.

CONCLUSIONES

En este documento se presenta el modelo implementado en www.deepbioinsights.com para la predicción de la pandemia Covid19 cara a la toma de decisiones, tanto de necesidades sanitarias como de salud pública. Se trata de la combinación de dos modelos de predicción a largo y corto plazo que utilizan como variables de entrada las series temporales relacionadas con la pandemia y con sus necesidades sanitarias asociadas. Este modelo se puede regionalizar y enriquecer con otro tipo de variables -climatológicas, de movilidad, socioeconómicas, etc, cara a la ayuda a la toma de decisiones óptimas que permitan minimizar el impacto del Covid en la salud y en la actividad económica. Un modelo regionalizado (espacio-temporal) permitiría la confección de mapas de riesgo de rebrote y de otro tipo de indicadores que son fundamentales en la predicción del impacto social y económico de esta pandemia en nuestro país. Dichas necesidades se pueden prefijar con los prescriptores públicos en función de las necesidades y de la cantidad, calidad y tipología de los datos de los que se disponga. En cualquier caso, un modelo de riesgo tiene que estar basado en modelos matemáticos y de inteligencia artificial robustos, es decir que realicen un análisis de incertidumbre adecuado cara a la cuantificación de riesgos. También se podrían utilizar otros modelos a largo plazo similares al de Verhulst (Gompertz, SIR) para realizar predicciones basadas en el consenso.

5. Referencias

References

1. Fernández Martínez et al, 2012. On the topography of the cost functional in linear and nonlinear inverse problems. Geophysics 77 (1): W1-W15.

References

1. Fernández-Martínez JL et al, 2013. From Bayes to Tarantola: New insights to understand uncertainty in inverse problems. Journal of Applied Geophysics 98: 62-72.

References

1. Fernández-Martínez JL et al, 2014a. The effect of noise and Tikhonov’s regularization in inverse problems. Part I: the linear case. Journal of Applied Geophysics 108: 176-185.

References

1. Fernández-Martínez JL et al, 2014b .The effect of noise and Tikhonov’s regularization in inverse problems. Part II: the nonlinear case. Journal of Applied Geophysics 108: 186-193.

References

1. Fernández-Martínez JL, 2015. Model reduction and uncertainty analysis in inverse problems. The Leading Edge 34 (9): 1006-1016.

References

1. Fernández Martínez et al, 2020. How to Deal with Uncertainty in Inverse and Classification Problems. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-28909-6_15.

References

1. Fernández Martínez et al, 2012. Stochastic stability and numerical analysis of two novel algorithms of the PSO family: PP-GPSO and RR-GPSO. https://doi.org/10.1142/S0218213012400118

References

1. Fernández Martínez et al, 2011 How to design a powerful family of particle swarm optimizers for inverse modelling. https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0142331211402900.

References

1. https://www.deepbioinsights.com/covid.html. Trabajo realizado en colaboración con Zulima Ferenández-Muñiz (profesora titular del Dpto. de Matemáticas) y Gonzalo Alonso (front-end).

6. Apéndice

6.1 España, Aragón y Asturias

Figura 10: Predicción del número de infectados en España a fecha del 27 de Junio del 2020.

Figura 11: Predicción del número de muertes en España a fecha del 27 de Junio del 2020.

Figura 12: Predicción a corto plazo para España a fecha del 27 de Junio del 2020.

Figura 13: Rebrote en Aragón

Figura 14. Predicción del número de infectados en Asturias realizada el 18 de Marzo del 2020. Los datos en verde eran los disponibles hasta el momento de la predicción. Se observa que la extrapolación ad-futurum de las curvas de percentiles describen la dinámica de la pandemia que se observó posteriormente (parte magenta), es decir, el modelo predijo correctamente el pico de la infección, y el máximo numero de infectados.

Figura 15. Predicción del número de infectados en Asturias realizada a fecha del 27 de Junio del 2020. Se observa que el número total de infectados confirmados por PCR se sitúan en una cifra de 2500, próximos a los que estimó el algoritmo al inicio de la pandemia.

References

1. 2020-07: “Un modelo robusto para la predicción ad-futurum de los efectos de la epidemia del Covid-19”, Juan Luis Fernández-Martínez.

References

1. 2020-06: “Consistent estimation of panel data sample selection models”, Sergi Jiménez-Martín, José M. Labeaga y Majid al Sadoon.

References

1. 2020-05: “Encajando el puzle: Una estimación rápida del número de infectados por COVID-19 en España a partir de fuentes indirecta”, David Martín-Barroso, Juan A. Núñez-Serrano, Jaime Turrión y Francisco J. Velázquez.

References

1. 2020-04: “Does the Liquidity Trap Exist?, Stéphane Lhuissier, Benoît Mojon y Juan Rubio-Ramírez.

References

1. 2020-03: “How effective has been the Spanish lockdown to battle COVID-19? A spatial analysis of the coronavirus propagation across provinces”, Luis Orea e Inmaculada C. Álvarez.

References

1. 2020-02: “Capital humano y crecimiento: teoría, datos y evidencia empírica”, Angel de la Fuente.

References

1. 2020-01: “Twin Default Crises”, Caterina Mendicino, Kalin Nikolov, Juan Rubio-Ramirez y Javier Suarez.

References

1. 2019-07: “Vivienda y política pública: objetivos e instrumentos”, Miguel-Ángel López García.

References

1. 2019-06: “Mercados, entidades financieras y bancos centrales ante el cambio climático: retos y oportunidades”, Clara I. González y Soledad Núñez.

References

1. 2019-05: “Education and Gender Differences in Mortality Rates”, Cristina Belles-Obrero, Sergi Jiménez-Martín y Judit Vall Castello.

References

1. 2019-04: “Las viviendas turísticas ofertadas por plataformas on-line: Estado de la cuestión“, Armando Ortuño y Juan Luis Jiménez.

References

1. 2019-03: “Now-casting Spain”, Manu García y Juan F. Rubio-Ramírez.

References

1. 2019-02: “Mothers’ care: reversing early childhood health shocks through parental investments”, Cristina Belles-Obrero, Antonio Cabrales, Sergi Jimenez-Martin y Judit Vall-Castello.

References

1. 2019-01: “Measuring the economic effects of transport improvements”, Ginés de Rus y Per-Olov Johansson.

References

1. 2018-15: “Diversidad de Género en los Consejos: el caso de España tras la Ley de Igualdad“,J. Ignacio Conde-Ruiz, Manu García y Manuel Yáñez.

References

1. 2018-14: “How can urban congestion be mitigated? Low emission zones vs. congestion tolls”, Valeria Bernardo, Xavier Fageda y Ricardo Flores-Fillol.

References

1. 2018-13: “Inference in Bayesian Proxy-SVARs“, Jonas E. Arias, Juan F. Rubio-Ramírez y Daniel F. Waggoner.

References

1. 2018-12: “Evaluating Large Projects when there are Substitutes: Looking for Possible Shortcuts“, Per-Olov Johansson y Ginés de Rus.

References

1. 2018-11: “Planning, evaluation and financing of transport infrastructures: Rethinking the basics”, Ginés de Rus y M. Pilar Socorro.

References

1. 2018-10: “Autonomía tributaria subnacional en América Latina”, Juan Pablo Jiménez e Ignacio Ruelas.

References

1. 2018-09: “Ambition beyond feasibility?Equalization transfers to regional and local governments in Italy”, Giorgio Brosio.

References

1. 2018-08: “Equalisation among the states in Germany: The Junction between Solidarity and Subsidiarity”, Jan Werner.

References

1. 2018-07: “Child Marriage and Infant Mortality: Evidence from Ethiopia”, J.García-Hombrados

References

1. 2018-06: “Women across Subfields in Economics: Relative Performance and Beliefs”, P. Beneitoa, J.E. Boscá, J. Ferria y M. García.

References

1. 2018-05: “Financial and Fiscal Shocks in the Great Recession and Recovery of the Spanish Economy”, J. E. Boscá, R. Doménech, J. Ferri, R. Méndez y J. F. Rubio-Ramírez.

References

1. 2018-04: “Transformación digital y consecuencias para el empleo en España. Una revisión de la investigación reciente”, Lucas Gortazar.

References

1. 2018-03: “Estimation of competing risks duration models with unobserved heterogeneity using hsmlogit”, David Troncoso Ponce.

References

1. 2018-02: “Redistributive effects of regional transfers: a conceptual framework”, Julio López-Laborda y Antoni Zabalza.

References

1. 2018-01: “European Pension System: ¿Bismarck or Beveridge?”, J. Ignacio Conde-Ruiz y Clara I. González.

References

1. 2017-15: “Estimating Engel curves: A new way to improve the SILC-HBS matching process”, Julio López-Laborda, Carmen Marín-González y Jorge Onrubia.

References

1. 2017-14: “New Approaches to the Study of Long Term Non-Employment Duration in Italy, Germany and Spain”, B. Contini, J. Ignacio Garcia Perez, T. Pusch y R. Quaranta.

References

1. 2017-13: “Structural Scenario Analysis and Stress Testing with Vector Autoregressions”, Juan Antolín-Díıaz y Juan F. Rubio-Ramírez.

References

1. 2017-12: “The effect of changing the number of elective hospital admissions on the levels of emergency provision”, Sergi Jimenez-Martin, Catia Nicodemo y Stuart Redding.

References

1. 2017-11: “Relevance of clinical judgement and risk stratification in the success of integrated care for multimorbid patients”, Myriam Soto-Gordoa, Esteban de Manuel, Ane Fullaondo, Marisa Merino, Arantzazu Arrospide, Juan Ignacio Igartua y Javier Mar.

References

1. 2017-10: “Moral Hazard versus Liquidity and the Optimal Timing of Unemployment Benefits”, Rodolfo G. Campos, J. Ignacio García-Pérez y Iliana Reggio.

References

1. 2017-09: “Un análisis de modelos para financiar la educación terciaria: descripción y evaluación de impacto”, Brindusa Anghel, Antonio Cabrales, Maia Güell y Analía Viola.

References

1. 2017-08: “Great Recession and Disability Insurance in Spain”, Sergi Jiménez-Martín, Arnau Juanmarti Mestres y Judit Vall Castelló.

References

1. 2017-07: “Narrative Sign Restrictions for SVARs”, Juan Antolín-Díaz y Juan F. Rubio-Ramírez.