Tipos de cambio flexibles y volatilidad:

Las regularidades empíricas de las observaciones diarias

Manuel Vega

José L. Álvarez

EEE 116

October 2001

http://www.fedea.es/hojas/publicado.html

Tipos de cambio flexibles y volatilidad: las regularidades empíricas de las observaciones diarias

Manuel Vega^∗†

Departamento de Métodos Cuantitativos

Universidad de Navarra

José L. Alvarez

Departamento de Economía

Universidad de Navarra

27 de marzo de 2001

^∗Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales - Edificio de Bibliotecas (Entrada Este). 31080 Pamplona, Navarra. e-mail: mvega@unav.es Tlfno: 948425625. Ext. 2439. Fax: 948425626

^†Este trabajo se ha beneficiado de las sugerencias de Luis A. Gil-Alana, Esther Ruiz y Simón Sosvilla, de las observaciones de los participantes en el XXV Simposio de Análisis Económico de Barcelona, y del apoyo financiero de la Asociación de Amigos de la Universidad de Navarra, Los errores son todos nuestros

Resumen

Las series de tipos de cambio de alta frecuencia siguen aproximadamente un proceso martingala en diferencias; sus variaciones futuras son impredecibles con la información disponible. Para frecuencias diarias, estas series se caracterizan por los agrupamientos de volatilidad, la leptocurtosis de sus distribuciones incondicionales y los efectos apalancamiento y estacionalidad diaria. Analizamos estas regularidades empíricas utilizando modelos ARCH y de volatilidad estocástica. Aplicamos ambos a las series diarias de los tipos de cambio del marco, la peseta y el yen frente al dólar estadounidense para el periodo del 1 de enero de 1992 al 31 de diciembre de 1998.

Palabras clave: Alta frecuencia, modelos ARCH, modelos de volatilidad estocástica.

Clasificación JEL: F31

Resumen

High frequency exchange rate series approximately follow a martingale diference process; their future variations are unpredictable with the available information. For daily frequencies, the most noteworthy characteristics of these series are the volatility clustering, the leptokurtic unconditional distributions, and the presence of the leverage and daily seasonal efects. We analyze these empirical regularities using ARCH models and stochastic volatility models. Both types of models are applied to the series of daily exchange rates of the Deutschemark, the Spanish peseta, and the Japanese yen with respect to the US dollar in the period between January 1, 1992 and December 31, 1998.

Keywords: High frequency, ARCH models, stochastic volatility models.

JEL Classification: F31

1 Introducción

Según la mayoría de los trabajos empíricos, el modelo matemático que mejor describe el comportamiento de los precios en los mercados financieros y en el mercado de divisas, es el paseo aleatorio. Esta especificación establece que la tasa de variación de estos precios se comportará como una variable aleatoria normal, independiente e idénticamente distribuida¹(i.i.d.N.). En el análisis de tipos de cambio, uno de los argumentos esgrimidos para la elección de este proceso es que la mejor predicción para el tipo de cambio de mañana es el tipo de cambio de hoy, lo que quiere decir que la expectativa condicional, dados sus valores pasados, es nula. Sin embargo, por lo general, las desviaciones diarias gozan de las siguientes características:

• tienen una distribución no condicional simétrica pero leptocúrtica, lo que se traduce en unas colas de probabilidad más anchas que las de la distribución normal²;

• como observó Mussa (1979), exhiben un agrupamiento de la volatilidad, es decir, podemos comprobar cómo se suceden períodos de estabilidad con desviaciones mínimas y períodos de inestabilidad con amplias desviaciones en muchos días consecutivos³. Después de un período de inestabilidad la varianza es mucho mayor que después de un período de estabilidad;

• aparición de un efecto asimétrico o efecto ‘apalancamiento’ (descubierto por Black (1976)) lo que significa que la volatilidad se incrementa en mayor medida cuando el rendimiento es negativo que cuando es positivo;

• por último, existe estacionalidad diaria, esto es, cada día de la semana tiene un impacto distinto sobre la evolución de los tipos de cambio.

En este contexto, el supuesto de independencia es altamente cuestionable, por lo que parece más correcto definir el tipo de cambio como un proceso martingala en diferencias. Son muchos los trabajos que analizan empíricamente este tipo de regularidades. La literatura existente permite formular la siguiente conclusión: la modelización de la varianza condicional es muy importante desde el punto de vista teórico y desde el punto de vista econométrico.

En este artículo intentaremos encontrar un modelo que capte todas las regularidades empíricas observadas en los tipos de cambio del marco, de la peseta y del yen con respecto al dólar estadounidense en la década de los noventa basándonos, por una parte, en los modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva GARCH (Bollerslev (1986)), IGARCH (Engle y Bollerslev (1986) y Nelson (1990)), EGARCH (Nelson (1991)), AGARCH (Heutschel (1991)) y los modelos ARCH − M propuestos por Engle et al. (1987) y sus distintas extensiones, GARCH − M, AGARCH − M y . En estas especificaciones la varianza condicional es función de observaciones pasadas. Por otra parte, estimaremos los modelos de volatilidad estocástica (Taylor Ruiz (1994)) que, a diferencia de los modelos basados en ARCH, consideran la varianza condicional como una variable aleatoria inobservable. Para lograr nuestro objetivo, dividiremos el artículo en cinco secciones. En la sección 2 especificaremos los modelos de heteroscedasticidad condicional para los tipos de cambio de nuestra muestra; en la sección 3 comentaremos las características de los datos que manejaremos y que hacen apropiada la modelización la sección 4 contendrá el resultado de todas las estimaciones por máxima verosimilitud o cuasi-máxima verosimilitud de los modelos basados en ARCH (dependiendo la aplicación de uno u otro método de las distribuciones que asumamos para la perturbación estocástica del modelo) y por cuasimáxima verosimilitud de los modelos de volatilidad estocástica. Las conclusiones de la sección 5 cerrarán el artículo.

2 Un modelo basado en regularidades empíricas y la base de datos

En este apartado nos proponemos especificar un modelo que capte todas las regularidades empíricas observadas en los tipos de cambio diarios. Con esta finalidad, emplearemos dos clases de modelos:

2.1 Modelos que no incluyen la volatilidad como regresor

Dadas la regularidades empíricas observadas en el comportamiento de los tipos de cambio diarios de acuerdo con las investigaciones de Baillie y Bollerslev (1989), Baillie y McMahon (1989) y Hsieh (1988, 1989), utilizaremos el siguiente modelo:

\[r _ {t} = \beta^ {\prime} x _ {t} + \sum_ {i = 1} ^ {5} \gamma_ {i} D _ {i} + \left(\phi_ {0} + \phi_ {1} L + \phi_ {2} L ^ {2} + \ldots + \phi_ {k} L ^ {k}\right) V _ {j, t} + \varepsilon_ {t}\tag{1}\]

donde es la transformación de los tipos de cambio en tasas de variación porcentuales, es decir,

\[r _ {t} = 1 0 0 \times \ln (S _ {t} / S _ {t - 1}),\]

siendo el tipo de cambio spot, expresado como el precio de la moneda extranjera en términos de la moneda nacional; es un vector de regresores estacionarios, que puede contener, además de una constante, retardos de la propia variable endógena; son variables artificiales incluidas para describir los efectos del i-ésimo día de la semana (i=lunes, martes, miércoles, jueves, viernes⁴) es una variable artificial que recoge el efecto de aquellos días en que el mercado está cerrado sin ser un fin de semana (el polinomio de retardos que la acompaña pretende captar el impacto que esos días especiales tienen sobre las oscilaciones de los tipos de cambio, el mismo día del cierre y los días anteriores); por último, consideraremos dos posibles distribuciones para los residuos. Por un lado, supondremos una distribución normal, es decir, , y por otro, una distribución más apuntalada, la distribución t − Student, , donde es el conjunto informativo hasta el momento , ν los grados de libertad de la distribución es la varianza condicional que puede seguir los siguientes procesos basados en la modelización ARCH de Engle (1982):

\[h _ {t} ^ {2} = \omega^ {\prime} + \sum_ {i = 1} ^ {p} \delta_ {i} h _ {t - i} ^ {2} + \sum_ {i = 1} ^ {q} \alpha_ {i} \varepsilon_ {t - i} ^ {2} + \sum_ {j = 1} ^ {5} \zeta_ {i} D _ {i} + (\tau_ {0} + \tau_ {1} L + \tau_ {2} L ^ {2} + \ldots + \tau_ {k} L ^ {k}) V _ {j, t},\tag{2}\]

\[\begin{array}{r c l} \log h _ {t} ^ {2} & = & \omega^ {\prime} + \sum_ {i = 1} ^ {p} \delta_ {1} l o g h _ {t - i} ^ {2} + \sum_ {i = 1} ^ {q} \alpha_ {1} \left(\frac {\varepsilon_ {t - i}}{h _ {t - i}}\right) + \sum_ {i = 1} ^ {q} \alpha_ {1} ^ {*} \left(\left| \frac {\varepsilon_ {t - i}}{h _ {t - i}} \right| - \mu\right) + \sum_ {j = 1} ^ {5} \zeta_ {j} D _ {j} \\ & & + \left(\tau_ {0} + \tau_ {1} L + \tau_ {2} L ^ {2} + \ldots + \tau_ {k} L ^ {k}\right) V _ {j, t}, \end{array}\tag{3}\]

siendo

\[\mu = E \left(\left| \frac {\varepsilon_ {t}}{h _ {t}} \right|\right),\]

y

\[h _ {t} = \omega^ {\prime} + \sum_ {i = 1} ^ {p} \delta_ {1} h _ {t - i} + \sum_ {i = 1} ^ {q} \alpha_ {1} | \varepsilon_ {t - i} | + \sum_ {j = 1} ^ {5} \zeta_ {i} D _ {i} + (\tau_ {0} + \tau_ {1} L + \tau_ {2} L ^ {2} + \dots + \tau_ {k} L ^ {k}) V _ {j, t},\tag{4}\]

donde son las ecuaciones de un proceso , EGARCH(p, q) y

respectivamente, que permiten incorporar el efecto de los ‘días de la semana’, el efecto de ‘días especiales’, , en la ecuación de la volatilidad de las variaciones porcentuales de los tipos de cambio diarios. De esta manera, podremos comprobar cómo afectan estos fenómenos a la media y la varianza condicional de estas series simultáneamente.

Si consideramos la varianza condicional , una variable aleatoria inobservable, estimaremos por pseudo-máxima verosimilitud, el modelo de volatilidad estocástica autorregresiva de orden uno, :

\[{\log r _ {t} ^ {2}} = {\omega + h _ {t} + \xi_ {t}}\tag{5}\]

\[{h _ {t}} = {\beta h _ {t - 1} + \eta_ {t}.}\]

2.2 Modelos que incluyen la volatilidad como regresor

Supongamos que queremos determinar cómo influye la volatilidad percibida por los agentes sobre las variaciones porcentuales de los tipos de cambio o que sospechamos que puede existir una prima de riesgo variable en el mercado de divisas (Domowitz y Hakkio (1985)). Para confirmar nuestra sospechas, acudiremos a los modelos . En concreto, a las extensiones , AGARCH −M y EGARCH − M, que nos van a permitir incorporar la volatilidad a la ecuación que describe la evolución de las variaciones porcentuales

\[r _ {t} = c + \beta^ {\prime} x _ {t} + \theta h _ {t} ^ {2} + \sum_ {i = 1} ^ {5} \gamma_ {i} D _ {i} + \left(\phi_ {0} + \phi_ {1} L + \phi_ {2} L ^ {2} + \dots + \phi_ {k} L ^ {k}\right) V _ {j, t} + \varepsilon_ {t},\tag{6}\]

considerando, nuevamente, dos posibles distribuciones de los errores, es decir, y , donde es el conjunto informativo hasta el momento t − 1. La única diferencia entre este modelo y la expresión (1) viene dada por la presencia del regresor que se convierte en una variable explicativa más del modelo y que se especificará de acuerdo con las expresiones (2), (3) y (4) cuando utilicemos modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva, y como (5) cuando hagamos uso del modelo de volatilidad estocástica autorregresiva de orden uno.

2.3 Breve descripción de los datos

Estos modelos se aplicarán sobre una serie de 1827 observaciones diarias de tipos de cambio spot comprador del marco alemán, de la peseta española y del yen japonés con respecto al dólar estadounidense en un período que abarca desde el 1 de enero de 1992 hasta el 31 de diciembre de 1998.⁵

3 Evidencia empírica

Para comprobar si la metodología ARCH es aplicable, previamente examinamos ciertas propiedades de los datos tales como asimetría y curtosis, normalidad, correlación serial y heteroscedasticidad.

Si los tipos de cambio se comportan como un paseo aleatorio con deriva, la perturbación estocástica debe ser una variable aleatoria normal, con media cero y varianza constante. Para comprobar estas hipótesis recurrimos a los correlogramas y periodogramas, al constraste de raíces unitarias de Phillips y Perron (1988), al contraste de Ljung-Box y al contraste basado en el principio de los multiplicadores de Lagrange para detectar heteroscedasticidad evolutiva. Resumimos a continuación los resultados obtenidos.

El logaritmo del tipo de cambio diario de las tres monedas exhibe un comportamiento no estacionario (lento decrecimiento de la función de autocorrelación simple estimada y valor alto del periodograma en la frecuencia cero); la primera diferencia regular restablece la estacionariedad⁶. Los resultados del contraste de Phillips y Perron refuerzan esas conclusiones.

Por otra parte, las primeras diferencias se caracterizan por la presencia de períodos de alta (baja) volatilidad que siguen a períodos de alta (baja) volatilidad, fenómeno que hemos denominado agrupamiento de la volatilidad.

Los cuadrados de las variaciones porcentuales de los tipos de cambio tienen una estructura dinámica definida, anulando con ello la hipótesis de independencia que se supone a los residuos del modelo de paseo aleatorio.

En resumen, en el contexto de observaciones diarias en el que nos movemos, para las tres monedas consideradas y en el período analizado, el supuesto de que los tipos de cambio se comportan como un paseo aleatorio es muy poco realista, ya que los errores de los procesos especificados para cada una de las monedas no cumplen la hipótesis i.i.d.N. De hecho existe dependencia a través de los cuadrados de las tasas de variación, y las distribuciones incondicionales presentan mayor curtosis que la distribución normal. Las tasas de variación porcentual de los tipos de cambio diarios de las tres monedas en el período considerado, exhiben una alta volatilidad. La asimetría muestral incondicional es casi nula, como ocurre en las distribuciones normales, pero la curtosis excede los valores normales. El contraste conjunto LM de asimetría y curtosis rechaza la normalidad de las distribuciones incondicionales con claridad, y se lo atribuimos a la leptocurtosis. El rechazo de la normalidad es inconsistente con la linealidad y constancia de la varianza condicional. La dependencia no lineal y el exceso de curtosis exhibido por la serie de rendimientos sugiere que la estrategia de modelización ARCH es apropiada.

4 Estimación de los modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva

Esta sección recoge las estimaciones y contrastes de las hipótesis fundamentales de los modelos especificados en la sección 2. Constará de seis apartados. Los cuatro primeros muestran las estimaciones de los modelos ARCH asumiendo distribuciones normales y t − Student, la selección del modelo óptimo, contrastes de restricciones lineales para identificar procesos integrados en varianza y un análisis general de todos estos resultados; las estimaciones de los modelos de volatilidad estocástica cierran esta sección.

4.1 Distribuciones normales

La primera tabla de cada moneda muestra las estimaciones máximo verosímiles (MV ) del modelo (1), y la segunda las del modelo (6) asumiendo que

En todas las tablas aparecen los modelos de heteroscedasticidad condicional más amplios que pudimos estimar con el fin último de analizar, simultáneamente, el mayor número posible de regularidades empíricas. Empezamos introduciendo retardos de la propia variable dependiente, a pesar de los datos ofrecidos por las funciones de autocorrelación y, en ninguno de los casos, resultaron significativos. Tampoco encontramos evidencia favorable a los modelos de medias móviles en la media condicional.

No siempre pudimos incorporar las variables estacionales deseadas. En concreto, no nos fue posible estimar el coeficiente que captaba el efecto contemporáneo de los ‘días especiales’, ni en la ecuación de la media ni en la de la volatilidad. Cada vez que incluíamos esta variable en la función de log-verosimilitud, no se producía la convergencia, independientemente de los valores iniciales fijados.

En todas y cada una de las tablas de este artículo, a indica significatividad al 1%, b al 5% y c al 10%.

4.1.1 Tipo de cambio marco/dólar

En el modelo para el marco, no pudimos incluir efectos estacionales en media cuando intentábamos estimar el modelo . Para la correcta especificación y, partiendo del análisis de los correlogramas de las observaciones al cuadrado, especificamos distintos órdenes para todos los procesos. Finalmente, los órdenes seleccionados fueron . Los resultados se presentan en las tablas 1 y 2.

4.1.2 Tipo de cambio peseta/dólar

Nuevamente, el modelo que presentó más problemas a la hora de la estimación fue el modelo M, del que tuvimos que excluir el efecto de los ‘días de la semana’ y de los ‘días especiales’ en la ecuación para la media de la tasa de variación porcentual. Los órdenes seleccionados para los modelos de heteroscedasticidad condicional en el caso de la peseta fueron . Los resultados aparecen en las tablas

4.1.3 Tipo de cambio yen/dólar

A diferencia del marco y de la peseta, para captar correctamente el comportamiento dinámico de la varianza condicional de la tasa de variación porcentual del yen, necesitamos incorporar dos retardos en el componente de media móvil de todos los procesos , siendo los órdenes seleccionados . Estos resultados se presentan en las tablas 5 y 6.

4.2 Distribuciones t − Student

Aunque el supuesto de distribución condicional normal generará una distribución incondicional leptocúrtica para , los modelos condicionalmente normales, en muchas aplicaciones, no captan adecuadamente la leptocurtosis de la distribución incondicional. Para analizar este fenómeno, estimaremos los modelos asumiendo que

Al estimar los modelos de heteroscedasticidad condicional por cuasi-máxima verosimilitud empleando el algoritmo de Newton-Raphson, nos fue imposible incluir efectos estacionales en la ecuación de la varianza condicional, independientemente de los valores iniciales elegidos.

4.2.1 Tipo de cambio marco/dólar

Las especificaciones AGARCH, AGARCH − M y EGARCH − M, presentaron muchas dificultades a la hora de ser estimadas. En ninguno de los tres modelos, pudimos estimar el impacto de los ‘días de la semana’ y de los ‘días especiales’ sobre la media de la serie. Las estimaciones se recogen en las tablas 7 y 8.

4.2.2 Tipo de cambio peseta/dólar

En este caso, no pudimos estimar el modelo AGARCH − M. Las estimaciones realizadas para este tipo de cambio aparecen en las tablas 9 y 10.

4.2.3 Tipo de cambio yen/dólar

El modelo AGARCH no nos permitió incorporar el efecto de los ‘días especiales’. Véanse los resultados en las tablas 11 y 12.

4.3 Contrastes de Wald: en busca de procesos integrados en varianza

Baillie y Bollerslev (1989) sostenían la siguiente afirmación: “la heteroscedastidad condicional en los tipos de cambio spot se puede representar muy bien con un proceso GARCH(1, 1) con raíces cuasi-unitarias, estacionalidad diaria y ‘efectos vacaciones’ que se pueden explicar a partir de los distintos flujos de información que llegan al mercado”. Efectivamente, si analizamos con detalle los parámetros estimados, caemos en la cuenta de que las raíces en todos los procesos son muy cercanas a la unidad y, en concreto, el coeficiente del componente autorregresivo siempre es mayor que 0.9.

Para comprobar si existen o no raíces unitarias en la varianza, hemos calculado los estadísticos de Wald para contrastar r restricciones lineales sobre los parámetros del proceso que describe la evolución de la varianza condicional.

Existe evidencia de procesos integrados en varianza en muy pocos casos. Sólo el modelo AGARCH (1, 1) asumiendo una distribución t−Student del marco y la peseta, el modelo AGARCH (1, 2) con distribución normal, y los modelos GARCH (1, 2) y AGARCH (1, 2) con distribuciones t − Student en el caso del yen, no rechazan la hipótesis de raíces unitarias en la varianza condicional.

En general podemos decir que los modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva especificados para las tres monedas no son procesos integrados en varianza y, por lo tanto, la varianza incondicional está definida.

4.4 Selección de modelos

De entre todos los modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva esféricos estimados seleccionaremos aquél que presente un mayor valor de los criterios AIC y SBIC. Ambos criterios coinciden para el modelo amplio y también para el modelo simplificado en aquellos casos en los que no pudimos estimar un modelo más amplio debido a los problemas surgidos en la maximización de la función de log-verosimilitud.

El criterio AIC siempre selecciona el proceso con distribución normal, con la única excepción del proceso con distribución normal para el yen.

Más variable se muestra el criterio SBIC debido a la exclusión de parámetros en algunos modelos como consecuencia de las dificultades que se presentaban en la maximización de la función de log-verosimilitud. De hecho, ninguno de los procesos con distribución t − Student contiene variables ficticias en la ecuación de la volatilidad, lo que favorece que el SBIC tenga un mayor valor. Aun así, el modelo seleccionado es el GARCH (p, q) con distribución . Como excepciones, destacan el EGARCH(1, 1) − M con distribución t − Student para el marco, el con distribución normal para la peseta, y el con distribución normal para el yen.

Resultan más interesantes aquellas situaciones en las que el modelo elegido es el EGARCH con distribución normal, como ocurre en el caso de la peseta y del yen. Este hallazgo nos lleva a sospechar de la existencia de cierta asimetría en las respuestas de la volatilidad de estas monedas ante perturbaciones no esperadas o, lo que es lo mismo, de la existencia del efecto ‘apalancamiento’.

4.5 Análisis de los resultados

¿ Cómo podemos interpretar estos resultados? Respondemos a esta cuestión en los tres siguientes epígrafes.

4.5.1 Tipo de cambio marco/dólar

No parece existir una relación significativa entre la tasa de variación y su propia volatilidad, si bien, debemos destacar que siempre el coeficiente que las une es mayor que cero, , situación conocida como ‘aversión al riesgo’: cuando los inversores perciben un riesgo no deseado, venderán marcos a no ser que sean compensados con una determinada prima por mantener la moneda.

Los efectos ARCH también son significativos, apoyando la idea del agrupamiento de la volatilidad.

El fenómeno de persistencia en la volatilidad se ve confirmado por la raíz cercana a la unidad del coeficiente autorregresivo de la ecuación de la varianza condicional, , siendo el modelo EGARCH el que presentaba un coeficiente más cercano a uno. Dados estos resultados, hemos comprobado si estábamos ante procesos integrados en varianza. Los estadísticos de Wald calculados anteriormente, nos confirman que no lo son (con la única excepción del modelo AGARCH(1, 1) con distribución t−Student).

La media de la tasa de variación porcentual no se ve influida por los distintos ‘días de la semana’, y tampoco se nota ningún comportamiento diferenciado los días anteriores al cierre del mercado en los ‘días especiales’. Sin embargo, la volatilidad sí depende de determinados ‘días de la semana’ y, en algunos casos, de lo que ocurre los días previos a un ‘día especial’, incluso podemos anotar una regularidad más: dos días antes del cierre del mercado la moneda tiende a apreciarse, justo el día antes se deprecia. Estos efectos, cambian según el modelo ARCH que consideremos.

El coeficiente del modelo EGARCH que capta el efecto ‘apalancamiento’ tiene el signo deseado, es decir , pero éste no es estadísticamente significativo.

Cuando asumimos distribuciones con exceso de curtosis, el coeficiente de los grados de libertad es significativo.

En general y, exceptuando algunas ambig¨uedades, resultó elegido en la mayoría de los casos el modelo con distribución normal. (El criterio AIC siempre seleccionaba la distribución normal mientras que el SBIC elegía la distribución t−Student, por el menor número de parámetros que contenía

esta especificación).

Son los modelos GARCH con distribuciones normales, los que atenúan el exceso de curtosis (aunque sigue siendo significativo) y devuelven la simetría a la tasa de variación porcentual del tipo de cambio marco/dólar

4.5.2 Tipo de cambio peseta/dólar

En este caso, la volatilidad es estadísticamente significativa en la ecuación de la media, en los modelos GARCH(1, 1) − M y AGARCH(1, 1) − M. El signo positivo del coeficiente nos hace pensar que en este mercado existe cierta ‘aversión al riesgo’, lo que significa que los agentes que quieren comprar o mantener pesetas exigen una compensación por el riesgo que asumen. Cuando la distribución es t − Student, la volatilidad no es estadísticamente significativa en la ecuación de la media de la tasa de variación, pero el signo del coeficiente es mayor que cero.

También son significativos los efectos ARCH, captando el agrupamiento de volatilidad de esta serie.

En la ecuación de la varianza condicional comprobamos que, salvo en un caso, , o lo que es lo mismo, la volatilidad es persistente, es decir, cuando se produce un shock la variabilidad incrementa y tarda en desaparecer. El estadístico de Wald para el contraste de restricciones lineales, nos indica que cuando la distribución es normal no existen procesos integrados en varianza, pero cuando asumimos una distribución t − Student, el proceso AGARCH (1, 1) es integrado.

El efecto ‘apalancamiento’, dado por el coeficiente del modelo EGARCH(1, 1), no es estadísticamente significativo, pero capta el signo,

Los efectos de los ‘días de la semana’ se hacen notar, únicamente, en la ecuación de la volatilidad, pero no afectan directamente a la tasa de variación media del tipo de cambio peseta/dólar. En todos los procesos, el único día de la semana significativo en la ecuación de la volatilidad es el ‘martes’. De nuevo, observamos el mismo fenómeno que para el marco: dos días antes del cierre del mercado por la llegada de algún ‘día especial’ la moneda se aprecia y justo el día antes se deprecia, si bien, su impacto no es estadísticamente significativo.

En todas las estimaciones con distribuciones t − Student, los grados de libertad se encuentran por encima de 15, resultado que está a favor de la utilización de distribuciones con colas más anchas que las de la normal. Al seleccionar un modelo en base a los criterios AIC y SBIC, en general, el modelo seleccionado es el GARCH(1, 1) con distribución normal cuando nos fijamos en el AIC y el GARCH(1, 1) con distribución t − Student si analizamos el SBIC.

4.5.3 Tipo de cambio yen/dólar

Si hay una moneda con unas características particulares, esa es la moneda japonesa.

La volatilidad no es estadísticamente significativa en ninguna de las ecuaciones para la media, aunque sí es destacable su signo. En la mayoría de las estimaciones resultó , (con la excepción del proceso con distribución normal) o lo que es lo mismo, la posibilidad de que los agentes que negocian con yenes tengan ‘preferencia por el riesgo’.

También son significativos los efectos ARCH, uno y dos días antes.

La persistencia en la volatilidad, recogida por el coeficiente δ, se refleja en las estimaciones cercanas a la unidad. El estadístico de Wald indicó que los procesos con distribuciones normales y GARCH(1, 2) − M, GARCH(1, 2), AGARCH(1, 2) − M y AGARCH(1, 2) con distribuciones t − Student eran procesos integrados en varianza.

Analizando los modelos con ambos tipos de distribuciones, vemos que el efecto ‘apalancamiento’ es significativo. Si bien debemos destacar que, dos días antes, este efecto tiene el signo contrario al esperado, es decir,

Nuevamente, los ‘días de la semana’ y los ‘días especiales’ sólo influyen significativamente sobre la volatilidad, pero no sobre la media de la tasa de variación. Se puede hablar de que todos los días de la semana tienen un impacto claro, sin poder distinguir entre un día u otro, con la excepción de los ‘miércoles’ en los modelos EGARCH(1, 2) con distribución normal. Sí que se producen cambios en la volatilidad en los días previos al cierre del mercado por motivos distintos a los fines de semana. Volvemos a observar el mismo fenómeno que para las otras dos monedas: dos días antes del cierre, el yen se aprecia, mientras que el día anterior, se deprecia.

El alto valor del parámetro que representa los grados de libertad en la distribución , nos indica que este tipo de distribuciones es adecuado cuando queremos estudiar las regularidades empíricas de las observaciones diarias del tipo de cambio yen/dólar. Si bien los efectos de los ‘días de la semana y de los ‘días especiales’ en la media no son estadísticamente significativos.

En cuanto a la selección del modelo óptimo, el EGARCH(1, 2)−M y el GARCH(1, 2) resultaron elegidos con distribuciones normales, mientras que cuando la distribución era t−Student siempre resultaron elegidos el el

4.6 Estimación de los modelos de volatilidad estocástica

Los modelos de volatilidad estocástica para cada una de las monedas los hemos estimado por cuasimáxima verosimilitud (QMV ) utilizando el programa STAMP 5.0 de Koopman et al. (1995). Para facilitar la estimación se contruye el siguiente modelo espacio-estado:

\[\log r _ {t} ^ {2} = \kappa + h _ {t} + \xi_ {t}, t = 1, \dots , T\tag{7}\]

\[h _ {t + 1} = \phi h _ {t} + \eta_ {t}, \eta_ {t} \sim (0, \sigma_ {\eta} ^ {2}), | \phi | \leq 1\tag{8}\]

donde

\[\xi_ {t} = \log \epsilon_ {t} ^ {2} - E (\log \epsilon_ {t} ^ {2})\tag{9}\]

y

\[\kappa = \log \sigma^ {2} + E \left(\log \epsilon_ {t} ^ {2}\right).\tag{10}\]

Las ecuaciones de espacio-estado (10) y (11) constituyen la base para la estimación a través del filtro de Kalman. Uno de los principales atractivos de la estimación QMV es la posibilidad de aplicarlo sin tener que asumir ninguna distribución particular de (Koopman et al., (1995)).

Dada la presencia de observaciones nulas, hemos aplicado la ‘transformación de volatilidad estocástica’, que consiste en utilizar la expansión de Taylor de la siguiente manera:

\[\log r _ {t} ^ {2} \cong \log \left(r _ {t} ^ {2} + c s _ {y} ^ {2}\right) - c s _ {y} ^ {2} / \left(r _ {t} ^ {2} + c s _ {y} ^ {2}\right), t = 1, \dots , T,\]

donde es la varianza muestral de las observaciones de es una cantidad pequeña Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 13.

Los hiperparámetros son distintos de cero. De hecho, podemos hablar de volatilidad estocástica, ya que

Por otra parte, en los modelos ARCH encontramos evidencia del concepto de persistencia en la volatilidad, representado por el valor cercano a la unidad del coeficiente . En el modelo ARV (1), este fenómeno es captado por el coeficiente autorregresivo φ, cuyo valor estimado es, para las tres monedas, cercano a la unidad.

Sin embargo, tenemos una clara desventaja con respecto a los modelos ARCH de las secciones anteriores: no pudimos estudiar el impacto de los ‘días de la semana’ ni de los ‘días especiales’. En general, no nos permite analizar el resto de las regularidades empíricas en las que estamos interesados.

5 Conclusiones

En este artículo hemos analizado las regularidades empíricas más destacables de los tipos de cambio diarios del marco, de la peseta y del yen con respecto al dólar estadounidense en el período comprendido entre el 1 de enero de 1992 y el 31 de diciembre de 1998, haciendo uso de los modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) y de los modelos de volatilidad estocástica autorregresiva (ARV ). En general, las conclusiones no son muy novedosas, pero sí están muy definidas:

• el paseo aleatorio con deriva no es el mejor modelo para describir los movimientos de los tipos de cambio diarios, ya que las tasas de variación porcentuales del marco y de la peseta presentan una distribución simétrica pero leptocúrtica, aunque la del yen es simétrica y mesocúrtica. Además existe dependencia en los cuadrados de las series. Por lo tanto, es el modelo martingala en diferencias el que mejor se ajusta a estas características;

• los modelos ARCH y los modelos ARV captan la mayoría de las regularidades empíricas observadas en estas series, aunque por su flexibilidad en la especificación y por la facilidad a la hora de estimarlos, destacan los primeros;

• las tasas de variación porcentuales de las tres monedas muestran efectos ARCH significativos, es decir, existe una tendencia al agrupamiento de la volatilidad muy marcado para las tres monedas, si bien, la dinámica del tipo de cambio yen/dólar es algo más compleja y requiere de más retardos para captar adecuadamente el impacto de los shocks;

• cada día de la semana tiene un impacto significativo sobre la volatilidad de las tasas de variación,

pero no sobre su media condicional;

• los que hemos denominado ‘días especiales’ tampoco alteran la media de las tasas de variación porcentuales, sino que producen cambios en la varianza condicional, destacando como nueva regularidad que, dos días antes del ‘día especial’ se produce siempre una apreciación de la moneda, mientras que un día antes se deprecia, ahora bien, el impacto no siempre resulta estadísticamente significativo;

• en cuanto a la teoría de una prima de riesgo variable en el mercado de estas divisas, sólo para el tipo de cambio peseta/dólar parece existir evidencia favorable. Es más, el signo positivo del coeficiente de la volatilidad parece indicarnos la existencia del fenómeno de ‘aversión al riesgo’ en el mercado de esta divisa que podemos atribuir a su debilidad, sobre todo en el período turbulento de los primeros tres años de nuestra muestra; en el caso del marco y del yen, esta variable no resultó significativa aunque, debemos recalcar que, en el caso del yen, los valores negativos de los coeficientes estimados nos hacen pensar en la existencia de una situación de ‘preferencia por el riesgo’ por parte de los agentes que operan con yenes;

• la significatividad estadística y el valor cercano a la unidad del coeficiente δ, recoge perfectamente el fenómeno de persistencia en la varianza. Sólo encontramos procesos integrados en varianza para el yen, y algún caso aislado para el marco y la peseta;

• en todas las monedas conseguimos captar el efecto ‘apalancamiento’, aunque sólo resultó ser significativo para el tipo de cambio yen/dólar;

• en general, los modelos que mejor describen el comportamiento dinámico de la varianza condicional de las tres monedas son el GARCH(1, 1) − M y el GARCH(1, 1) con distribuciones normales y t − Student, en el caso del marco y de la peseta y el GARCH(1, 2) − M y el GARCH (1, 2) con ambas distribuciones, en el caso del yen. Para esta última moneda también destaca la elección del modelo EGARCH, para confirmarnos la asimetría presente en el mercado de esta divisa.

En definitiva, los tipos de cambio diarios del marco, de la peseta y del yen con respecto al dólar, en el período considerado, se comportan como un proceso martingala en diferencias, cuya tasa de variación porcentual se caracteriza por presentar unas distribuciones incondicionales simétricas y leptocúrticas, agrupamiento y persistencia de la volatilidad, efectos estacionales en la varianza condicional pero no en la media, efecto ‘apalancamiento’ significativo sólo en el caso del yen, siendo los modelos que mejor captan estas regularidades el GARCH(1, 1) con distribución normal y con distribución t−Student cuando estudiamos el marco y la peseta, y los modelos GARCH(1, 2) y EGARCH(1, 2) con distribuciones normales y el GARCH(1, 2) con distribución t − Student cuando analizamos el yen.

Notas

1. A lo largo de este artículo, denotaremos la propiedad de variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida con las siglas i.i.d. Si, además, asumimos una distribución normal, emplearemos las siglas, i.i.d.N.

2. Ver Praetz (1972), Clark (1973), Blattberg y Gonedes (1974), Burt, Kaen y Booth (1977), Westerfield (1977), Rogalski y Vinso (1978) y Friedman y Vandersteel (1982).

3. Fama (1965) y Mandelbrot (1963) fueron los primeros que observaron este fenómeno.

4. Sólo incluiremos cuatro en las estimaciones, para evitar problemas de multicolinealidad cuando estimemos la constante.

5. Todos estos datos han sido proporcionados por el Servicio de Estudios del Banco de España.

6. Debemos matizar que cuando nosotros hablamos de variables estacionarias, estamos hablando de series I (0) , ya que realmente aquellos procesos I (d) con d < 0.5 también son estacionarios.

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