Estructura de edad poblacional e inversión residencial en España

Begoña Eguía

Cruz Angel Echevarría

EEE 119

Noviembre 2001

FEDEA Fundación de Estudios de Economía Aplicada

http://www.fedea.es/hojas/publicado.html

Begon~a Egu¶³a

Cruz Angel Echevarr¶³a¤

30 de octubre de 2001

Resumen

En este art¶³culo se analiza la in°uencia de la estructura de edad poblacional sobre una relaci¶on de comportamiento macroecon¶omica para la econom¶³a espan~ola. Partiendo del trabajo de Fair y Dominguez (1991) cuanti¯camos y contrastamos el efecto de la composici¶on por edades de la poblaci¶on sobre la inversi¶on en vivienda agregada para el periodo 1964-1997. Seis son los principales resultados. Primero, las alteraciones en la pir¶amide poblacional tienen efectos sustanciales sobre esta categor¶³a de gasto privado. Segundo, las estimaciones obtenidas son sensibles a la especi¯caci¶on empleada para la inversi¶on en vivienda. Tercero, en general, son los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que menor gasto realizan. Cuarto, valores positivos para el impacto de la transici¶on demogr¶a¯ca sobre estas variables est¶an asociados a situaciones en las que las proporciones de los grupos edad con niveles de gasto superiores a la media aumentan y/o disminuyen las de aqu¶ellos con gastos inferiores. Quinto, existe evidencia de otros factores, distintos de los poblacionales, que tambi¶en inciden en la inversi¶on en vivienda. Por u¶ltimo, se muestra la robustez de los resultados a especi¯caciones alternativas para la distribuci¶on de edades de la poblaci¶on.

¤Facultad de Ciencias Econ¶omicas y Empresariales. Universidad del Pa¶³s Vasco. Avda. Lehendakari Agirre 83, 48015 Bilbao. E-mail: ebpegpeb@bs.ehu.es, jepecolc@bs.ehu.es. Agradecemos la ¯nanciaci¶on recibida de la Universidad del Pa¶³s Vasco (UPV 035.321- G54/98) y del Gobierno Vasco (PI-1999-131).

1 Introducci¶on

La u¶ltima d¶ecada ha sido testigo de un creciente inter¶es por parte de los economistas acerca de las relaciones entre demograf¶³a y econom¶³a. Acaso una de las principales razones de este inter¶es sea el proceso de envejecimiento de las poblaciones de las econom¶³as occidentales.¹ Sin embargo, y salvo excepciones, creemos que el estudio de la in°uencia de las variables demogr¶a¯cas sobre las decisiones econ¶omicas de los individuos y, por tanto, sobre los agregados macroecon¶omicos no ha recibido la atenci¶on debida. La ya enorme literatura sobre la sostenibilidad de los vigentes sistemas de reparto de seguridad social constituye un buen ejemplo de tales excepciones, aunque no el u¶nico [ver, por ejemplo, Egu¶³a (1997) y referencias ah¶³ citadas]. Este art¶³culo va en la misma direcci¶on al considerar c¶omo la heterogeneidad demogr¶a¯ca puede ayudar a explicar el comportamiento de algunos agregados econ¶omicos como alternativa al paradigma del agente representativo de horizonte de vida in¯nito habitualmente empleado.

De manera m¶as precisa, partiendo del trabajo de Fair y Dominguez (1991) cuanti¯camos y contrastamos el efecto del cambio en la estructura de edad poblacional sobre el gasto en inversi¶on residencial para la econom¶³a espan~ola durante el periodo 1964-1997. Suponiendo que el contexto apropiado en el que situar la toma de decisiones econ¶omicas individuales se corresponde con el ciclo vital (de horizonte ¯nito), resulta inmediato deducir que la edad individual es una variable a considerar. Y, consecuentemente, cabe esperar que las ecuaciones de comportamiento agregadas, estimadas a partir de datos agregados, resultar¶an ser sensibles a la estructura de edades poblacional.

Una de las cuestiones m¶as interesantes que suscita la teor¶³a econ¶omica es la de la relaci¶on existente entre la macroeconom¶³a y la microeconom¶³a, y la justi¯caci¶on del paradigma del agente representativo como forma de dotar de microfundamentos a la primera. Frente a la visi¶on de la macroeconom¶³a hasta entonces imperante, surge a comienzos de la d¶ecada de los an~os setenta y, fundamentalmente, dentro de la escuela neo-cl¶asica, un gran inter¶es por dotar a la macroeconom¶³a de microfundamentos.²

Lejos de admitir como v¶alidas formulaciones ad hoc de ecuaciones de comportamiento agregado basadas en la mera introspecci¶on o en algo tan difuso como el sentido comu¶n, se trata de introducir rigor (racionalidad) en el an¶alisis macroecon¶omico: las ecuaciones de comportamiento deber¶an derivarse de principios fundamentales, de agentes optimizadores, racionales, ya sean consumidores, empresas, o gobierno. A cada uno de esos agentes le es asignada una funci¶on objetivo, de suerte que el comportamiento de los mismos, y del agregado, es el resultado de una conducta optimizadora. Llevando la posici¶on a un extremo, cada agregado podr¶³a explicarse por el comportamiento racional de un agente representativo.³ Se trata de evitar, por tanto, razonamientos basados en \leyes psicol¶ogicas" como la que en su d¶³a enunci¶o J. M. Keynes acerca del comportamiento del gasto en consumo privado. [Ver Keynes (1936), p¶ag. 96].

¹Las Figuras 1 y 2 [v¶ease Ap¶endice I] muestran una evidencia del cambio en la pir¶amide poblacional espan~ola.

²Howitt sen~ala a Lucas (1972) como el art¶³culo pionero en esta revoluci¶on [Howitt (1987), p¶ag. 275]. [V¶ease tambi¶en Lucas (1983)].

El problema surge cuando, para explicar el comportamiento agregado de agentes econ¶omicos, se identi¯ca microfundamentos con agente representativo. En primer lugar, por una raz¶on meramente conceptual. Reduciendo todo el sector de las econom¶³as dom¶esticas a un solo individuo o todas las empresas a una u¶nica empresa representativa, de la que el u¶nico propietario es tal individuo, estamos renunciando a algo esencial al an¶alisis macroecon¶omico: prescindir de todo tipo de heterogeneidad entre los agentes y de los consiguientes efectos redistributivos resulta, cuando menos, ilusorio.⁴ En segundo lugar, existe una raz¶on formal para no poder con¯ar la explicaci¶on de los agregados al agente representativo: salvo bajo condiciones extremadamente restrictivas, sobre la distribuci¶on de las preferencias y/o de las rentas (en el caso de los consumidores) o de la tecnolog¶³a de producci¶on (en el caso de las empresas), y conocidas desde hace tiempo, el agente representativo no existe [v¶ease Stiglitz (1991), p¶ags. 25-26]. El problema es que, a pesar de conocer lo restrictivo que resulta el supuesto del agente representativo, se siga con¯ando en ¶el o, en palabras de Attanasio y Browning (1994), p¶ag. 435, \barriendo debajo de la alfombra".

As¶³, por ejemplo, las condiciones bajo las cuales podemos expresar la producci¶on agregada como una funci¶on de los agregados de los factores de producci¶on resultan ser altamente restrictivas [Sargent (1987), Cap. 1], y ya hace cinco d¶ecadas que L. Klein expresaba su insatisfacci¶on con que se tratara el agregado de empresas como si de una empresa representativa se tratara [Klein (1946), p¶ag. 93]. [Blinder (1986), p¶ag. 212, Blinder (1987), p¶ag. 135 y Houthakker (1955) pueden ser tres referencias en la misma direcci¶on]. No faltan, claro est¶a, opiniones contrarias que encuentran en la incorporaci¶on de los microfundamentos a la macroeconom¶³a uno de los mayores avances experimentados por ¶esta [Ver, por ejemplo, Lucas (1987), p¶ags. 107-108].

³Kirman lo explica as¶³: \Los motivos para el uso extensivo del agente representativo son los deseos de proporcionar microfundamentos para la conducta agregada, y tambi¶en proporcionar un marco en el que los equilibrios sean u¶nicos y estables" [Kirman (1992), p¶ag. 121].

⁴V¶ease Bajo y Mon¶es (1994), Cap. 1 para un ejemplo tan sencillo como ilustrativo.

Quiz¶a uno de los usos m¶as inadecuados del paradigma del agente representativo [de manera m¶as precisa, del consumidor representativo] sea el del an¶alisis de bienestar en virtud del cual, pongamos por caso, un equilibrio de mercado es m¶as deseable que otro si el consumidor representativo pre¯ere el primero al segundo; o, ante una variaci¶on en el precio de un bien, la variaci¶on en el excedente del consumidor representativo medido en t¶erminos de la demanda de mercado es un ¶³ndice de la variaci¶on en el bienestar social. [Kirman (1992), Lewbel (1994) y Mas-Colell et al. (1995), cap. 4, pongamos por caso, son concluyentes al respecto].

A la luz de unos resultados tan negativos no es sorprendente, pues, que \muchos autores simplemente aparten a un lado el problema de la agregaci¶on utilizando modelos de agente representativo" [Janssen (1993), p¶ags. 92-93]. En este art¶³culo, sin embargo, hemos optado por considerar la edad como (u¶nica) fuente de heterogeneidad individual frente a otras alternativas (profesi¶on, estado civil, formaci¶on acad¶emica o profesional, localizaci¶on geogr¶a¯ca, raza, sexo,...), restringiendo, adem¶as, el impacto de la edad individual a un efecto lineal-cuadr¶atico.⁵ De este modo, y partiendo de datos agregados, permitimos que la distribuci¶on de edad poblacional, adem¶as de otros factores, explique el comportamiento de la inversi¶on residencial per c¶apita en Espan~a durante el periodo 1964-1997.

La trascendencia real del mercado de la vivienda queda re°ejada no s¶olo por el alcance social que su disfrute presenta, sino tambi¶en por su notable peso en el conjunto de la actividad econ¶omica.⁶

Son asimismo los propios factores demogr¶a¯cos y econ¶omicos los determinantes de la evoluci¶on de este mercado. As¶³, por ejemplo, la necesidad de vivienda, ligada a la formaci¶on de nuevos hogares, la evoluci¶on del tipo de inter¶es o un determinado nivel de renta pueden resultar signi¯cativos para explicar el comportamiento del mercado de la vivienda. N¶otese, en particular, que la creaci¶on o eliminaci¶on de hogares est¶a estrechamente relacionada con la estructura demogr¶a¯ca. Las generaciones nacidas en el periodo de fuerte crecimiento econ¶omico registrado entre 1960 y 1975 est¶an provocando un intenso proceso de creaci¶on de hogares desde la segunda mitad de los an~os 80. Esta evoluci¶on, evidentemente, ha acelerado las necesidades de vivienda por parte de la poblaci¶on espan~ola. El efecto contrario est¶a produciendo, sin embargo, el envejecimiento demogr¶a¯co.⁷

⁵Id¶entico supuesto aparece en Fair y Dominguez (1991), Fair (1993), Higgins y Williamson (1996, 1997) y Higgins (1998).

⁶N¶otese, por ejemplo, que la inversi¶on residencial constituye una fracci¶on importante de la inversi¶on de capital ¯jo en la econom¶³a espan~ola. As¶³, en 1997 supuso el 18,83% de la inversi¶on total, reducido porcentaje si lo comparamos con el correspondiente a 1964, el 36,02%.

No resultan novedosos los estudios referentes al mercado de la vivienda en Espan~a. Sin embargo, su relevancia social y econ¶omica sigue motivando el desarrollo de nuevas referencias. Algunos autores han elaborado trabajos empleando m¶etodos no econom¶etricos. Rodr¶³guez et al. (1991), por ejemplo, ofrecen previsiones de las necesidades de vivienda a partir de estimaciones futuras del nu¶mero de hogares. D¶³az-Gim¶enez y Puch (1998), a trav¶es de un ejercicio de simulaci¶on, cuanti¯can las consecuencias derivadas de ampliar el l¶³mite m¶aximo permitido en la hipoteca de una vivienda del 50 al 80% de su valor. Los resultados con¯rman, como era de esperar, la importancia que las restricciones de liquidez ejercen en las decisiones de vivienda. Los aumentos en el capital y en la inversi¶on residenciales, obtenidos al relajar esta restricci¶on, soportan esta hip¶otesis.

Otros autores responden a estas cuestiones empleando t¶ecnicas econom¶etricas. La carencia de informaci¶on estad¶³stica detallada relativa a este mercado en Espan~a justi¯ca, sin embargo, la no tan numerosa literatura de estos trabajos econom¶etricos. Esta escasez se ve m¶as acentuada en los estudios que incluyen, de manera adicional, los efectos de la estructura de edades poblacional. De forma general, destacar que el papel de la incidencia demogr¶a¯ca en el mercado de la vivienda es sacado a la luz por Mankiw y Weil (1989) en un estudio realizado para la econom¶³a americana. Entre otros resultados, concluyen que la evoluci¶on de la poblaci¶on tiene un efecto signi¯cativo sobre los precios de la vivienda, no encontrando relaci¶on alguna con el \stock" neto de capital residencial.

Las contribuciones recientes a la literatura emp¶³rica sobre la vivienda en Espan~a se pueden clasi¯car fundamentalmente en cuatro l¶³neas de investigaci¶on, di¯riendo ¶estas principalmente en la elecci¶on de la variable a explicar: los precios, el tipo de tenencia (en propiedad o en alquiler), la demanda de servicios y la inversi¶on en vivienda.

En primer lugar, una parte de la literatura en este campo utiliza informaci¶on procedente de series temporales para analizan emp¶³ricamente los determinantes de los precios de la vivienda. Bover (1993) justi¯ca la insensibilidad de estos precios a cambios en la estructura de edades de la poblaci¶on para la econom¶³a espan~ola.⁸ Resultados similares se han encontrado para algunos pa¶³ses [v¶ease Holland (1991)

⁷Rodr¶³guez y otros (1991) y Bover (1993) establecen los 34 an~os como la edad m¶axima de formaci¶on de hogares. Superar los 64 an~os supone, sin embargo, que estos puedan desaparecer.

⁸Herce y Sosvilla-Rivero (1995) no conceden papel alguno a las variables demogr¶a¯cas en este mismo tipo de an¶alisis.

Vivienda en Propiedad

para USA, Engelhardt y Poterba (1991) para Canada, y Ohtake y Shintani (1996) para Jap¶on]. Mankiw y Weil (1989), Hamilton (1991) y Hendershott (1991) para USA, y Reilly y Witt (1994) para Inglaterra y Gales pueden constituir buenos ejemplos de resultados opuestos.

La elecci¶on de un determinado r¶egimen de tenencia de vivienda, junto a los factores que determinan esta decisi¶on, constituyen la segunda l¶³nea de investigaci¶on de los trabajos emp¶³ricos. Algunos estudios del caso espan~ol [Ja¶en y Molina (1994) y Duce (1995), por ejemplo], empleando datos de corte transversal, con¯rman la relevancia de la edad del cabeza de familia en este tipo de decisi¶on. Id¶entica conclusi¶on obtiene asimismo Ermisch (1996) utilizando datos brit¶anicos. Este resultado no es, en absoluto, sorprendente, conocido el importante papel que desempen~a la edad en aspectos relacionados con dicha elecci¶on. Por ejemplo, la Tabla I muestra alguna evidencia al respecto para la econom¶³a espan~ola.

Tabla I. Proporcio¶n de Hogares con

Nota: Porcentaje de hogares con vivienda en r¶egimen de propiedad en funci¶on de la edad del sustentador principal. Datos procedentes de la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares del INE, para los an~os 1989-1991 [v¶ease Duce (1995)].

N¶otese que el porcentaje de hogares con viviendas en r¶egimen de propiedad di¯ere en funci¶on de la edad del cabeza de familia. As¶³, por ejemplo, el 83,50% de los hogares cuyo sustentador principal tiene entre 55 y 65 an~os es propietario de su vivienda, siendo este porcentaje u¶nicamente del 36,62% entre los menores de 25 an~os. Son los m¶as j¶ovenes, por tanto, los que au¶n no disponiendo de su¯cientes ahorros, optan por formas alternativas al r¶egimen de propiedad, estando m¶as extendido este tipo de r¶egimen entre los hogares con cabezas de familia de mayor edad.

Una tercera l¶³nea de investigaci¶on emp¶³rica viene dada por los estudios sobre la demanda de servicios de vivienda. As¶³, Jaen y Molina (1994), utilizando datos individuales para la econom¶³a espan~ola, y contrariamente a la hip¶otesis de partida, obtienen una incidencia nula de la edad del sustentador principal en este tipo de gasto. Resultados contrarios se obtienen en otros pa¶³ses. Precisamente, Mankiw y Weil (1989) para USA, Engelhadt y Poterba (1991) para Canada, y Ohtake y Shintani (1996) para Jap¶on justi¯can la importancia de los factores demogr¶a¯cos en la elecci¶on de dicha cantidad demandada y encuentran un per¯l semejante para la edad en los tres pa¶³ses: los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad demandan menos vivienda que los de edad intermedia. La edad en la que esta cantidad es m¶axima di¯ere, obviamente, en funci¶on del pa¶³s. Un estudio del caso brit¶anico realizado por Ermisch (1996) con¯rma asimismo la in°uencia de la estructura poblacional.

Los trabajos emp¶³ricos de la inversi¶on residencial constituyen la cuarta aportaci¶on a los trabajos referentes a la vivienda. Dentro de este grupo se pueden distinguir dos tipos de estudios para la econom¶³a espan~ola. Por un lado, aqu¶ellos que ignoran el papel de la estructura demogr¶a¯ca en el gasto en inversi¶on [v¶ease Rodr¶³guez (1978), que resulta pionero en este tipo de modelizaci¶on econom¶etrica, o Herce y Sosvilla-Rivero (1995)].⁹ Por otro lado, y aqu¶³ es donde consideramos que los economistas no han concedido la debida atenci¶on, aqu¶ellos que tratan de analizar, empleando datos agregados, la incidencia poblacional en la inversi¶on residencial en Espan~a. El trabajo, preliminar y au¶n no publicado, de Herce y Sosvilla-Rivero (1998) constituye una excepci¶on. Empleando el ratio de dependencia de adultos (poblaci¶on de 65 o m¶as an~os en relaci¶on a la poblaci¶on en edad de trabajar) como variable representativa de la estructura de edades, encuentran un efecto negativo del envejecimiento demogr¶a¯co en dicho tipo de gasto.

El presente trabajo pretende precisamente llenar este hueco au¶n existente en la literatura sobre el mercado de la vivienda. Analizaremos si es posible encontrar en la estructura por edades de la poblaci¶on espan~ola uno de los determinantes de la inversi¶on residencial. En caso a¯rmativo, determinaremos qu¶e colectivos, en funci¶on de su edad, han realizado el mayor (y menor) gasto en este tipo de activos durante el periodo comprendido entre 1964 y 1997. En este sentido, este an¶alisis constituye una extensi¶on de Fair y Dominguez (1991) para la econom¶³a americana.¹⁰

Los principales resultados del art¶³culo son seis. Primero, las alteraciones en la pir¶amide poblacional tienen efectos sustanciales sobre el comportamiento de la inversi¶on en vivienda en Espan~a. Segundo, las estimaciones obtenidas resultan ser altamente sensibles a la especi¯caci¶on empleada para la ecuaci¶on de inversi¶on en vivienda. Una justi¯caci¶on a este resultado puede encontrarse en el reducido contenido informativo de la muestra. Tercero, para algunas de estas especi¯caciones se obtiene un esquema de los coe¯cientes de las variables demogr¶a¯cas consistente con la hip¶otesis de ciclo vital: son precisamente los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que menor gasto realizan, siendo, por el contrario, los individuos de edad intermedia los que m¶as invierten en vivienda. Cuarto, tras estimar el impacto de la transici¶on demogr¶a¯ca sobre la inversi¶on en vivienda per c¶apita encontramos valores positivos asociados a situaciones en las que las proporciones de los grupos edad con niveles de gasto superiores a la media aumentaron a que disminuyeron las de aqu¶ellos con gastos inferiores. Quinto, el diferente per¯l existente entre la variaci¶on de esta categor¶³a de gasto privado y el correspondiente impacto de la transici¶on demogr¶a¯ca sobre ¶esta puede justi¯carse por la presencia de otros factores, distintos de los poblacionales, que tambi¶en inciden en la inversi¶on en vivienda. Por u¶ltimo, en la mayor¶³a de los casos, estos resultados son robustos a especi¯caciones alternativas para la distribuci¶on de edades de la poblaci¶on.

⁹Se pueden encontrar numerosos autores que, para otros pa¶³ses, tampoco han considerado la in°uencia de estos factores demogr¶a¯cos [v¶ease, por ejemplo, Bradley, Whelan y Wright (1995) para Irlanda o Modesto y Neves (1995) para Portugal].

¹⁰Fair (1993) realiza un an¶alisis similar. Hay otros autores que no estudian directamente la inversi¶on sino el \stock" neto de capital residencial. Algunos de ellos comprueban la relevancia de la estructura demogr¶a¯ca en el an¶alisis [v¶ease Holland (1991) para USA y Ohtake y Shintani (1996) para Jap¶on]. Otros encuentran el resultado contrario [Mankiw y Weil (1989) constituye un ejemplo].

El resto del art¶³culo se organiza como sigue. En la Secci¶on 2 presentamos los fundamentos microecon¶omicos que soportan el modelo (macroecon¶omico) posteriormente estimado. Seguidamente incluimos la descripci¶on y el tratamiento de los datos. En la Secci¶on 4 mostramos la estimaci¶on y el contraste del efecto de los cambios poblacionales sobre la inversi¶on residencial per c¶apita. Posteriormente, incorporamos especi¯caciones alternativas para la distribuci¶on de edades de la poblaci¶on. Por u¶ltimo, en la Secci¶on 6 presentamos las principales conclusiones.

2 Modelo

La teor¶³a que subyace al modelo emp¶³rico se presenta a continuaci¶on. Primero, derivamos la senda ¶optima de consumo para el individuo i partiendo de un problema individual de optimizaci¶on din¶amica bajo incertidumbre, con consumidores sujetos a restricciones de liquidez. Segundo, conocida ¶esta, y considerando la edad como u¶nica fuente de heterogeneidad individual, obtenemos una ecuaci¶on que representa el comportamiento agregado (per c¶apita) de esta variable.

Suponemos que cada individuo elige la cantidad bienes que le permite maximizar la utilidad intertemporal esperada, utilidad que incluye como argumento adicional un ¶³ndice de caracter¶³sticas individuales . Asimismo, y siguiendo, por ejemplo, a Fair (1984), Fair y Dominguez (1991) y Cutanda (1995), consideramos a estos bienes de consumo como un agregado de no duraderos y de duraderos, de suerte que el modelo derivado a partir del problema de optimizaci¶on pueda emplearse para analizar cada uno de los componentes de este gasto.¹¹ El problema puede expresarse formalmente como: 4 1

\[\max _ {\{C _ {i t} \}} E _ {i 1} \left\{\sum_ {t = 1} ^ {\overline {{T}}} \frac {1}{(1 + \rho_ {i}) ^ {t}} U (C _ {i t}, Z _ {i t} ^ {*}) \right\}\]

\[s. a \left\{ \begin{array}{l} W _ {i t} = (1 + r _ {t}) W _ {i t - 1} + R T _ {i t} - C _ {i t}, \qquad t = 1, \dots .., \overline {{T}} \\ W _ {i t} \geq 0, \qquad t = 1, \dots .., \overline {{T}} - 1 \\ W _ {i 0} = 0, W _ {i \overline {{T}}} = 0, \end{array} \right.\]

donde las variables denotan:

: riqueza ¯nanciera real al comienzo del periodo t

tipo de inter¶es real

: rentas del trabajo en el periodo t (que se suponen ex¶ogenas)

: consumo de bienes y servicios

: caracter¶³sticas personales

● : tasa de preferencia intertemporal

● : operador esperanza matem¶atica condicionado a la informaci¶on disponible al comienzo de la vida del individuo (periodo 1).

La incertidumbre sobre la riqueza ¯nanciera, las rentas del trabajo o los tipos de inter¶es futuros justi¯ca la inclusi¶on de una funci¶on de utilidad esperada. As¶³, el individuo i determina la senda ¶optima de consumo (de bienes duraderos y no duraderos) que le permite maximizar el valor presente descontado de su utilidad vital sujeto a una restricci¶on presupuestaria y a una restricci¶on de liquidez que deber¶a satisfacer en cada periodo. Se permite, por tanto, la posibilidad de que las econom¶³as dom¶esticas se encuentren racionadas en el cr¶edito, por lo que, en el caso extremo, no podr¶³an endeudarse, de suerte que

¹¹Consideramos la vivienda como un caso particular de los bienes de consumo duradero.

¹²Se impide que los agentes puedan pedir prestado libremente, aun cuando sus rentas futuras puedan ser altas. El gasto, por tanto, no estar¶a vinculado a los niveles futuros de renta. L¶opez-Salido (1993) y Garc¶³a (1999) son algunas de las referencias que, en este tipo de an¶alisis, incorporan restricciones de liquidez. Asimismo, Maki (1993) y D¶³az-Gim¶enez y Puch (1998) las incluyen en su an¶alisis del mercado de vivienda japon¶es y espan~ol, respectivamente.

De las condiciones de primer orden del problema de maximizaci¶on obtenemos la ecuaci¶on de Euler entre el periodo

\[1 = E _ {i t - 1} \left\{\frac {(1 + r _ {t})}{(1 + \rho_ {i})} \frac {U _ {C} (C _ {i t} , Z _ {i t} ^ {*})}{U _ {C} (C _ {i t - 1} , Z _ {i t - 1} ^ {*})} (1 + \lambda_ {i t - 1} ^ {*}) \right\},\]

que permite caracterizar la senda ¶optima de consumo (de bienes duraderos y no duraderos) para el individuo i. es una transformaci¶on del multiplicador asociado a la restricci¶on de liquidez de dicho individuo. se re¯ere a la derivada parcial de respecto del consumo.

Si consideramos que el consumidor forma sus expectativas de manera racional, la ecuaci¶on de Euler se puede escribir como

\[\frac {(1 + r _ {t})}{(1 + \rho_ {i})} \frac {U _ {C} (C _ {i t} , Z _ {i t} ^ {*})}{U _ {C} (C _ {i t - 1} , Z _ {i t - 1} ^ {*})} (1 + \lambda_ {i t - 1} ^ {*}) = 1 + \varepsilon_ {i t},\]

donde es el error de expectativas, tal que : Si adem¶as empleamos una transformaci¶on logar¶³tmica para linealizarla, ¶esta se convierte en

\[\begin{array}{r c l} L n U _ {C} (C _ {i t}, Z _ {i t} ^ {*}) & = & L n (1 + \rho_ {i}) + L n U _ {C} (C _ {i t - 1}, Z _ {i t - 1} ^ {*}) \\ & & - L n (1 + r _ {t}) - L n (1 + \lambda_ {i t - 1} ^ {*}) + L n (1 + \varepsilon_ {i t}). \end{array}\]

Por u¶ltimo, supongamos que la funci¶on de utilidad puede escribirse como ; siendo denota la edad del individuo i en el periodo t). Zeldes (1989) y L¶opez-Salido (1993) emplean una funci¶on similar, aunque m¶as general, dado que incluyen un vector adicional de variables para representar las caracter¶³sticas espec¶³¯cas del hogar (entre otras, nu¶mero de perceptores con ingresos monetarios ordinarios, variables de oferta de trabajo y tipo de hogar).

La ecuaci¶on de Euler, por tanto, queda ¯nalmente caracterizada como sigue¹⁴

\[\begin{array}{r c l} L n V ^ {\prime} (C _ {i t}) & = & L n (1 + \rho_ {i}) + L n V ^ {\prime} (C _ {i t - 1}) - L n (1 + r _ {t}) \\ & & - L n (1 + \lambda_ {i t - 1} ^ {*}) + (b - a - 2 E D _ {i t}) + L n (1 + \varepsilon_ {i t}). \end{array}\]

^¸it¡¹

¹³En particular, ; donde es el multiplicador original

asociado a la restricci¶on de liquidez en el periodo t 1. Esta misma transformaci¶on ha sido utilizada previamente en Zeldes (1989), L¶opez-Salido (1993) y Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001).

EDit-1 ≡ EDit − 1

^ED2it ¡ ^ED2it 1 ^{= 2ED}it ¡ ^1:

^14Dado que EDit 1 ´ EDit ¡ ^1, se tiene que

En suma, el consumo individual corriente (en bienes duraderos y no duraderos) puede ser explicado por el tipo de inter¶es, la tasa de descuento subjetiva, la edad del individuo, el multiplicador asociado a la restricci¶on de liquidez y el propio consumo desfasado, de modo que , relaci¶on que supondremos lineal en niveles. N¶otese que hemos supuesto que el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶on de liquidez (no observable) puede ser aproximado por la riqueza ¯nanciera retardada un periodo, por la renta disponible, (cuanto mayores sean ¶estas, menos probable resulta que la restricci¶on de liquidez sea efectiva). L¶opez-Salido (1993) considera la renta disponible, la riqueza y algunas variables de oferta laboral como posibles factores relacionados con este multiplicador. Maki (1993), asimismo, incluye la riqueza ¯nanciera neta del periodo para recoger este efecto en las familias japonesas.

Son varias las alternativas que se pueden emplear para incorporar el efecto de la edad en el gasto. En nuestro caso, el procedimiento es el siguiente. Supongamos que dividimos la poblaci¶on total en J grupos de edad. Sea una variable ¯cticia que toma el valor 1 si el individuo i se encuentra en el grupo de edad j en el periodo t; en los dem¶as casos, donde . Consid¶erese la siguiente relaci¶on lineal para el individuo i y el periodo t

\[Y _ {i t} = \gamma + \alpha_ {1} D 1 _ {i t} + \alpha_ {2} D 2 _ {i t} + \dots + \alpha_ {J} D J _ {i t} + \beta^ {\prime} \mathbf {X} _ {i t} + U _ {i t},\tag{1}\]

para (el taman~o de la poblaci¶on para el periodo t), , y donde es la variable dependiente, es el vector de variables explicativas (excluyendo el t¶ermino constante y la edad), es un vector de coe¯cientes, es el t¶ermino de error y denota el nu¶mero de periodos incluidos en la muestra. El t¶ermino constante para un individuo en el grupo de edad en el periodo t est¶a dado por . La edad individual se limita, por tanto, a ejercer un efecto lineal sobre el t¶ermino independiente, no permitiendo que los coe¯cientes de los regresores var¶³en entre individuos de grupos de edad diferentes.

Como hemos apuntado anteriormente, y siguiendo a otros autores [v¶ease, por ejemplo, Fair (1984), Fair y Dominguez (1991) y Cutanda (1995)], estamos considerando a los bienes de consumo como un agregado de no duraderos y de duraderos. La ecuaci¶on (1) derivada a partir del problema de optimizaci¶on puede ser, por tanto, empleada para analizar cada uno de los componentes de este gasto.

La modelizaci¶on de la inversi¶on en inmuebles residenciales se enmarca dentro de los modelos de demanda de consumo duradero (aunque, evidentemente, con unas caracter¶³sticas espec¶³¯cas de diferenciaci¶on).¹⁵ En este sentido, antes de presentar el modelo econom¶etrico a estimar, resulta conveniente hacer notar el tratamiento especial que debe recibir el gasto en este tipo inmuebles en relaci¶on al resto de los bienes no duraderos.

¹⁵Algunas de ellas pueden ser su reducida tasa de depreciaci¶on en relaci¶on a la del resto de bienes

La distinci¶on entre la inversi¶on y la demanda de servicios de vivienda ser¶a crucial en el an¶alisis. Cuando realizamos un gasto en este tipo de bienes, lo que adquirimos en realidad es el derecho a consumir el °ujo de servicios que dicho bien nos va a proporcionar a lo largo de su vida u¶til. Es precisamente esta corriente de servicios la que ha sido determinada en el problema de optimizaci¶on individual. As¶³, las variables del modelo te¶orico que afectan al consumo de bienes (no duraderos), incluidas las variables demogr¶a¯cas, in°uir¶an tambi¶en en el consumo de servicios de vivienda. No obstante, es la inversi¶on residencial la que centra el inter¶es de este trabajo. Nuestro objetivo ahora ser¶a, por tanto, analizar las posibles relaciones entre ambas variables.

Suponiendo que este consumo de servicios es proporcional al \stock" de capital residencial, se tiene que:

\[S V _ {i t} ^ {* *} = f _ {i t} (D 1 _ {i t}, D 2 _ {i t}, \dots , D J _ {i t}, \mathbf {X} _ {i t}),\tag{2}\]

donde denota el \stock" neto de capital residencial privado deseado en ausencia de costes de ajuste (en la inversi¶on y en el \stock") para el individuo i en el periodo siendo los argumentos de f los incluidos en la relaci¶on (1):

N¶otese, sin embargo, que en las econom¶³as reales ni la inversi¶on ni el \stock" de capital en vivienda observados se ajustan de forma instant¶anea a sus niveles deseados. Resulta razonable, por tanto, considerar la presencia de unos costes de ajuste ante tales desequilibrios. Es decir, en general, las incorporaciones netas de capital conllevan unos costes crecientes con la velocidad de ajuste del nivel existente al deseado que habr¶a que tener en cuenta.

La resoluci¶on de estos problemas requiere la inclusi¶on de ecuaciones adicionales que describan el mecanismo por el cual los valores observados se ajustan a los valores deseados. En particular, consideramos dos tipos de ajuste parcial. En el primero, suponemos que no existen costes de ajuste en la inversi¶on, pero s¶³ en el \stock" de capital residencial. En este caso, se tiene

\[S V _ {i t} ^ {*} - S V _ {i t - 1} = \lambda (S V _ {i t} ^ {* *} - S V _ {i t - 1}) \mathrm{siendo} 0 < \lambda < 1,\tag{3}\]

donde denota el \stock" deseado de capital en vivienda cuando s¶olo existen costes de ajuste en dicho \stock" el \stock" observado para el individuo i un periodo anterior La interpretaci¶on de (3) es inmediata. El \stock" de capital residencial deseado cuando s¶olo existen costes de ajuste en el \stock" var¶³a respecto al observado en el periodo anterior en una proporci¶on ¸ de su distancia con respecto al \stock" deseado cuando no hay ningu¶n tipo de coste de ajuste.

de consumo duradero, su elevada importancia en los gastos familiares o su consideraci¶on como una forma de colocaci¶on del ahorro familiar.

Asimismo, la inversi¶on bruta en vivienda (para el individuo i en el periodo t), , por de¯nici¶on, es igual a

\[I V _ {i t} = S V _ {i t} - (1 - \phi) S V _ {i t - 1} = (S V _ {i t} - S V _ {i t - 1}) + \phi S V _ {i t - 1},\tag{4}\]

siendo la tasa de depreciaci¶on del \stock" de capital en viviendas. Esto es, la inversi¶on residencial bruta es igual a la inversi¶on neta m¶as la depreciaci¶on experimentada por las viviendas durante el periodo anterior. Dado , y expresando (4) en t¶erminos de valores deseados, obtenemos la inversi¶on deseada bruta en vivienda,

\[I V _ {i t} ^ {*} = S V _ {i t} ^ {*} - (1 - \phi) S V _ {i t - 1},\tag{5}\]

que puede ser expresada en t¶erminos de , al sustituir (3) en (5); como

\[I V _ {i t} ^ {*} = \lambda S V _ {i t} ^ {* *} - (\lambda - \phi) S V _ {i t - 1}.\tag{6}\]

Dado que no se dispone de datos para , hay que considerar adicionalmente un segundo mecanismo de ajuste: ajuste de la inversi¶on bruta a su valor deseado. As¶³, consideramos la presencia de costes de ajuste en la inversi¶on (adem¶as de en el \stock"). Suponemos que la inversi¶on observada var¶³a de un periodo a otro en una proporci¶on de su distancia con respecto a la inversi¶on deseada, teniendo¹⁷

\[I V _ {i t} - I V _ {i t - 1} = \varphi (I V _ {i t} ^ {*} - I V _ {i t - 1}) \mathrm{siendo} 0 < \varphi < 1.\tag{7}\]

Por u¶ltimo, sustituyendo (6) en (7) y dado (2) obtenemos:

\[I V _ {i t} = (1 - \varphi) I V _ {i t - 1} + \varphi (\phi - \lambda) S V _ {i t - 1} + \varphi \lambda f _ {i t} (\dots).\tag{8}\]

¸ = 1

¸ = 0

¹⁶Este modelo simple con ¸ constante implica una trayectoria de ajuste de tipo exponencial. Valores pequen~os de ¸ est¶an asociados a situaciones de mayor r¶³gidez, es decir, ajustes m¶as lentos y costes m¶as bajos. Los costes de ajuste ser¶an, en general, mayores cuanto mayor sea la rapidez que se requiera para ajustar el \stock" existente al deseado. Considerando los casos extremos, un valor re°ejar¶³a un \stock" de capital residencial igual, en cada periodo, al nivel deseado. mostrar¶³a, sin embargo, un \stock" que no cambia de un periodo a otro, con independencia de lo lejos que se encuentre de su nivel deseado.

4

' < 1:

¹⁷En ausencia de costes de ajuste en la inversi¶on, ' ser¶³a igual a la unidad lo cual implicar¶³a la igualdad entre el nivel realizado y el deseado. Por el contrario, la presencia de estos costes implicar¶³a un Esta desigualdad re°eja que si la inversi¶on deseada en un periodo es, por ejemplo, superior a la observada en el periodo anterior, la inversi¶on ¯nal realizada en el periodo ser¶a superior a la del an~o anterior pero inferior en cualquier caso al nivel deseado.

En la expresi¶on (8) para la inversi¶on residencial se han an~adido, por tanto, como regresores, la variable end¶ogena retardada y el \stock" retardado de capital en vivienda, adem¶as de las variables explicativas ya incluidas en la relaci¶on (1):

A partir de esta ecuaci¶on de comportamiento individual, se puede obtener la correspondiente al agregado. As¶³, sumando para i desde 1 hasta (taman~o de la poblaci¶on para el periodo t) ambos lados de la igualdad y dividiendo por ; se obtiene una relaci¶on lineal entre las variables, expresadas en t¶erminos per c¶apita:

\[\begin{array}{r c l} {i v _ {t}} & = & {\gamma + \alpha_ {1} p _ {1 t} + \alpha_ {2} p _ {2 t} + \ldots + \alpha_ {J} p _ {J t} + \beta_ {i v} i v _ {t - 1} +} \\ & & {+ \beta_ {W} W _ {t - 1} ^ {N R} + \beta_ {r l} r l _ {t} + \beta_ {R} R _ {t} + \beta_ {Y D} Y D _ {t} + \beta_ {s v} s v _ {t - 1} + u _ {t},} \end{array}\tag{9}\]

donde es la proporci¶on que los individuos en el grupo de edad j representan sobre el total de la poblaci¶on, rl el tipo de inter¶es a largo plazo, la \riqueza no residencial" y R una variable que recoge el efecto del ciclo econ¶omico (en la Secci¶on siguiente se de¯nen de forma m¶as precisa todas las variables).

Tres observaciones con respecto a (9) antes de seguir.

En primer lugar, como hemos apuntado anteriormente, varias podr¶³an ser las especi¯caciones alternativas para recoger el efecto de cambios en la edad sobre el gasto per c¶apita. Por ejemplo, haciendo uso de solamente un cociente o relaci¶on entre grupos de edad para caracterizar toda la distribuci¶on de edad poblacional. Tal es el caso, entre otros, de Herce y Sosvilla-Rivero (1998), McMillan y Baesel (1990), y Lattimore (1994). Resulta inmediato que siempre se podr¶a aproximar mejor la pir¶amide poblacional considerando un mayor nu¶mero de grupos de edad que s¶olo con uno.¹⁸

En segundo lugar, dado que y que estamos incluyendo un t¶ermino constante °, surge un problema de multicolinealidad perfecta. Para evitarlo, normalizamos los coe¯cientes de suerte que se satisfaga

En tercer lugar, dado el reducido nu¶mero de observaciones y el elevado nu¶mero de grupos de edad considerados (m¶as adelante discutiremos la naturaleza y fuente de la muestra de datos empleada), la precisi¶on en la estimaci¶on resulta comprometida. Para solventar esta cuesti¶on se puede imponer una restricci¶on adicional sobre los coe¯cientes 's como, por ejemplo, la basada en el polinomio de retardos de Almon (1965). As¶³, supongamos que expres¶aramos los coe¯cientes 's como

\[\alpha_ {j} = \gamma_ {0} + \gamma_ {1} j + \gamma_ {2} j ^ {2},\tag{10}\]

18En

¹⁸En la Secci¶on 5 llevaremos a cabo un an¶alisis de la robustez de los resultados ante especi¯caciones alternativas para controlar por la distribuci¶on de edad poblacional.

de modo que sea su¯ciente estimar dos par¶ametros no J para obtener las estimaciones de todos los . Incluir en (10) un polinomio de orden superior a 2 supondr¶³a, claro est¶a, permitir un caso m¶as general, pero tambi¶en reducir los grados de libertad y la precisi¶on en la estimaci¶on.¹⁹ Dadas estas dos restricciones sobre los coe¯cientes , se tiene que²⁰

\[\gamma_ {0} = - \frac {\gamma_ {1} (1 + J)}{2} - \frac {\gamma_ {2} (1 + 3 J + 2 J ^ {2})}{6}.\tag{11}\]

De se tiene que el t¶ermino que aparece en (9) puede expresarse como

\[\begin{array}{l l l} \sum_ {j = 1} ^ {J} \alpha_ {j} p _ {j t} & = & \sum_ {j = 1} ^ {J} (\gamma_ {0} + \gamma_ {1} j + \gamma_ {2} j ^ {2}) p _ {j t} = \\ & = & \sum_ {j = 1} ^ {J} \left[ [ - \frac {\gamma_ {1} (1 + J)}{2} - \frac {\gamma_ {2} (1 + 3 J + 2 J ^ {2})}{6} ] + \gamma_ {1} j + \gamma_ {2} j ^ {2} \right] p _ {j t} = \\ & = & \gamma_ {1} \left[ \sum_ {j = 1} ^ {J} j p _ {j t} - \frac {(1 + J)}{2} \right] + \gamma_ {2} \left[ \sum_ {j = 1} ^ {J} j ^ {2} p _ {j t} - \frac {(1 + 3 J + 2 J ^ {2})}{6} \right] = \\ & = & \gamma_ {1} Z _ {1 t} + \gamma_ {2} Z _ {2 t}, \end{array}\tag{12}\]

donde . Por tanto, sustituyendo (12) en (9), ¶esta puede reescribirse como

\[\begin{array}{r c l} {i v _ {t}} & = & {\gamma + \gamma_ {1} Z _ {1 t} + \gamma_ {2} Z _ {2 t} + \beta_ {i v} i v _ {t - 1} + \beta_ {W} W _ {t - 1} ^ {N R} +} \\ & & {+ \beta_ {r l} r l _ {t} + \beta_ {R} R _ {t} + \beta_ {Y D} Y D _ {t} + \beta_ {s v} s v _ {t - 1} + u _ {t},} \end{array}\tag{13}\]

que es la ecuaci¶on ¯nalmente estimada. Este procedimiento es el aplicado por Fair y Dominguez (1991) y Fair (1993) para USA, encontrando un efecto signi¯cativo de los factores demogr¶a¯cos en la inversi¶on en vivienda americana.

¹⁹Utilizando una metodolog¶³a similar a la aqu¶³ empleada, Higgins (1998) hace uso de un polinomio cu¶bico, si bien cuenta con un conjunto de datos de taman~o sensiblemente superior al nuestro, disponiendo [en principio] de un panel de 100 pa¶³ses y 8 observaciones (m¶as exactamente, medias quinquenales) que se traduce en la pr¶actica en 580 observaciones, frente, a lo sumo, a las 34 observaciones de que se dispone en este trabajo.

^20En efecto ^{0 = §J}j=1^®j ^{= §J}j=1^(°0 ^{+ °}1^{j + °}2^{j2) = J°}0 ^{+ °}1^§Jj=1^{j + °}2^§Jj=1^j2 )

) ^°0 ⁼ °₁ ^°2_J §^J_j=1j²:

∑ Σj=1j ≡ J. (1+J)J ₂ y y ^§Jj=1^j2 ´ (1+3J+2J²)J 2 22 6

Por otro lado, ^§Jj=1^j ´ [ver Dhrymes (1998), p¶ags. 230-231]. Por lo que ¯nalmente, obtengo (11).

Contrastar si la estructura de edad poblacional afecta a la inversi¶on residencial per c¶apita es equivalente a contrastar si las 's son signi¯cativamente distintas de cero, lo que se traduce en contrastar la signi¯caci¶on conjunta de . Una vez superado este contraste, a partir de (11) resulta posible construir el valor estimado de °₀ con ello, evaluar el efecto que cambios en el taman~o de un determinado grupo de edad tienen sobre la variable agregada per c¶apita mediante la reconstrucci¶on de las a partir de (10). El m¶etodo aqu¶³ descrito para incorporar el efecto de las variables poblacionales tambi¶en se emplea en Fair (1993), Higgins y Williamson (1996, 1997), Higgins (1998) y Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001).

3 Descripci¶on y tratamiento de los datos

Las variables de la ecuaci¶on (13) as¶³ como sus fuentes de datos se presentan a continuaci¶on. Los datos se corresponden con los de la econom¶³a espan~ola para el periodo 1964-1997, trat¶andose de observaciones anuales.

: inversi¶on residencial bruta privada per c¶apita (desfasada un periodo). Serie disponible en la Contabilidad Nacional del INE, bajo la denominaci¶on formaci¶on bruta de capital ¯jo en inmuebles residenciales.

: variables poblacionales. Las distribuciones de edades para el periodo 1964-1980 son proyecciones de la poblaci¶on espan~ola realizadas por Del Hoyo y Garc¶³a-Ferrer (1988). Para el periodo 1981-1997 son las proyecciones y estimaciones intercensales de la poblaci¶on del Instituto Nacional de Estad¶³stica. En ambos casos, ¶estas aparecen desagregadas por edades, pudiendo as¶³ considerar el volumen de poblaci¶on espan~ola para cada edad durante el periodo 1964-1997. En particular, la poblaci¶on queda dividida en J = 60 grupos de edad: menores de 4 an~os, de 5 a 9 an~os, de 10 a 14 an~os; 15, 16, 17, :::, 69 an~os; de 70 a 79 an~os, y mayores de 80 an~os.²¹

:\riqueza no residencial" real privada per c¶apita desfasada un periodo, obtenida como la suma de la base monetaria m¶as el saldo de la deuda pu¶blica viva m¶as el \stock" de capital privado en t¶erminos reales (de este u¶ltimo hemos deducido previamente el \stock" de capital residencial). Id¶entica de¯nici¶on aparece en Bajo y Mon¶es (1994), p¶ag. 104, para la riqueza \total".²² La creaci¶on de la variable riqueza ha requerido un mayor proceso de elaboraci¶on. Tres han sido las variables necesarias para su estimaci¶on. Las dos primeras, base monetaria y deuda pu¶blica (saldos vivos de las deudas negociables en el mercado primario de renta ¯ja) se han obtenido del Bolet¶³n Estad¶³stico del Banco de Espan~a de mayo de 1998. La tercera, el \stock" de capital total neto privado (menos el \stock" de capital residencial), correspondiente al periodo 1964-1994 procede de la Fundaci¶on BBV (1997). Los valores para los restantes an~os, hasta completar la serie en el periodo 1997, han sido estimados a partir del M¶etodo del Inventario Permanente sugerido tambi¶en por dicha Fundaci¶on. Este m¶etodo, presentado en el Ap¶endice II, deriva el \stock" de capital a partir de las series de inversi¶on.

²¹Como consecuencia del empalme de estas dos fuentes, la estructura de las variables poblacionales parece experimentar un salto en 1981, surgiendo as¶³ la necesidad de un ajuste de los datos. Por este motivo, hemos estimado el efecto de este an~o, para posteriormente descontarlo de las series (demogr¶a¯cas). El procedimiento seguido ha sido el siguiente: primero, descomponemos la serie en una tendencia (estoc¶astica, con pendiente estoc¶astica), un componente ex¶ogeno (que recoge el efecto del an~o 1981) y un componente irregular. Segundo, estimamos cada uno de estos componentes. Y tercero, descontamos el efecto del componente ex¶ogeno a la variable poblacional. [Ver, por ejemplo, Otero (1989)].

tipo de inter¶es real a largo plazo ex post [que ha sido obtenido como ; siendo el tipo de inter¶es nominal a largo plazo la tasa de in°aci¶on (ex post)]. Esta serie se ha elaborado a partir de dos fuentes de datos: el programa DEMO, incluido como anexo en Molinas et al. (1991), del cual obtenemos la serie de tipo de inter¶es nominal a largo plazo para el periodo 1964- 1988, y el bolet¶³n mensual de estad¶³stica del INE, para el periodo 1988-1997. De esta u¶ltima fuente de datos utilizamos el tipo de inter¶es nominal de la Deuda del Estado a medio y largo plazo.

diferencia entre el PIB potencial y el PIB real, expresada en t¶erminos per c¶apita. La segunda serie corresponde al PIB a precios de mercado, a precios constantes del an~o 1986, recogida en la Contabilidad Nacional de Espan~a elaborada por el INE. La primera se ha obtenido a partir de una regresi¶on m¶³nimo cuadr¶atica del logaritmo del PIB real sobre una constante y una tendencia determinista. [Ver, por ejemplo, Lucas (1973), Aznar, Aparicio y Trivez (1991), Mishkin (1982a, 1982b)]. recoge, en u¶ltimo t¶ermino, el ciclo econ¶omico.²³

renta real neta disponible per c¶apita. La renta neta disponible, para el periodo 1964-1984, procede del programa DEMO incluido como anexo en Molinas, Sebasti¶an y Zabalza (1991); para 1985-1996, de la Contabilidad Nacional de Espan~a del INE; y para 1997, de las Cuentas Financieras de la Econom¶³a Espan~ola del Banco de Espan~a.

²²Una de¯nici¶on alternativa, que emplea los activos l¶³quidos en manos del pu¶blico en vez de la base monetaria puede encontrarse en Argim¶on et al. (1992) y Molinas et al. (1990, 1991). Alternativamente, Argim¶on et al. (1992) emplean el saldo de la cuenta corriente y Herce y Sosvilla-Rivero (1995) la deuda pu¶blica mantenida por los residentes en sustituci¶on a esta variable.

²³Gordon (1982), p¶ag. 1114, adem¶as de este procedimiento de obtenci¶on del PIB natural, adopta un segundo enfoque, admitiendo la posibilidad de que la tasa de crecimiento del PIB real natural puede haber variado a lo largo de los an~os de la muestra. Ver Fair y Dom¶³nguez (1991), p¶ag. 1281, para una especi¯caci¶on alternativa.

\stock" de capital en viviendas per c¶apita desfasado un periodo. Los valores de esta serie para el periodo 1964-1995 proceden de la base de datos Sophinet de la Fundaci¶on BBV (disponible en Internet: http://bancoreg.fbbv.es). Los valores correspondientes a los dos an~os siguientes se han estimado mediante el M¶etodo del Inventario Permanente sugerido por esta Fundaci¶on [ver Ap¶endice II para el caso m¶as general de derivaci¶on del \stock" de capital total neto privado].

En todos los casos hemos utilizado el IPC Base 1986 para transformar variables nominales en reales y para obtener la tasa de in°aci¶on, y hemos dividido por el total de la poblaci¶on para obtener las variables en t¶erminos per c¶apita.

N¶otese que hemos incluido una variable adicional (la diferencia entre el PIB potencial y el PIB real, para caracterizar el comportamiento del gasto agregado (per c¶apita). Esta incorporaci¶on enriquece el modelo en la medida en que an~ade informaci¶on macroecon¶omica relativa a los efectos que la propia actividad econ¶omica puede generar en las pautas de inversi¶on. Cabe esperar que aumentos de ¶esta (provocados, por elevaciones del PIB potencial reducciones en el PIB real) afecten negativamente al gasto en vivienda contrariamente, disminuciones en (debidos a una mayor proximidad del PIB a su nivel potencial) generen efectos positivos.

4 Resultados: estimaci¶on y contrastes

En esta Secci¶on, tras estimar el modelo (13), contrastaremos si la distribuci¶on por edades de la poblaci¶on (representada ¶esta por las variables resulta signi¯cativa para explicar el comportamiento de la inversi¶on residencial. En caso a¯rmativo, derivaremos qu¶e grupos, en funci¶on de su edad, son los que mayor y menor inversi¶on en vivienda han realizado durante el periodo 1964-1997. Es de esperar que las personas de edad intermedia realicen un mayor gasto en este tipo de activos que las personas m¶as j¶ovenes o en los u¶ltimos an~os de su vida.

La ine¯ciencia de los estimadores MCO debido a la presencia de heterocedasticidad y autocorrelaci¶on en el t¶ermino de error [v¶ease Tabla la inconsistencia de dichos estimadores debido a la presencia de regresores end¶ogenos entre las variables explicativas del modelo son dos ejemplos), y la no estacionariedad de las series, lo que imposibilita la realizaci¶on de inferencia estad¶³stica con los estimadores MCO [ver Figura 3 del Ap¶endice I y Tabla III],²⁴ justi¯can el empleo del m¶etodo de m¶³nimos cuadrados completamente corregidos de Phillips y Hansen (1990) y Hansen y Phillips (1990) como t¶ecnica adecuada de estimaci¶on (MCCC en adelante).

Tabla II. Autocorrelacio¶n y Heterocedasticidad Contraste de Heterocedasticidad

\[(\chi_ {8, 0. 0 5} ^ {2}\]

Nota: Las ¯las B-P, B-G, y L-B presentan los valores de los estad¶³sticos para los contrastes de Breusch y Pagan (1979), Breusch (1978) y Godfrey (1978), y Ljung y Box (1979), respectivamente. se re¯ere al percentil 0.95 de la distribuci¶on con n grados de libertad.

Tabla III. Contrastes de Ra¶³ces Unitarias

Nota: Valor cr¶³tico: -3.50 (DFA y PP). (¤) denota el rechazo de la hip¶otesis nula de existencia de ra¶³z unitaria al nivel de signi¯caci¶on del 5%.

Estos MCCC permiten estimar las relaciones de cointegraci¶on mediante una modi¯caci¶on de los tradicionales estimadores MCO. Esta modi¯caci¶on corrige de forma simult¶anea los efectos de la correlaci¶on serial del t¶ermino de error y de la endogeneidad de los regresores. Este estimador, adem¶as, supone que las variables que forman la ecuaci¶on de cointegraci¶on tienen una ra¶³z unitaria y que existe una combinaci¶on lineal estacionaria de estas variables. Recientes trabajos muestran que el estimador MCCC actu¶a bien en relaci¶on a otros m¶etodos de estimaci¶on de las relaciones de cointegraci¶on [Hansen y Phillips (1990), Phillips y Hansen (1990), Phillips (1995), Senhadji (1997) son ejemplos de ellos]. [Ver Ap¶endice III para la obtenci¶on de los MCCC en un modelo de regresi¶on lineal con t¶ermino constante y sin tendencia, as¶³ como para el contraste de hip¶otesis sobre combinaciones lineales de los coe¯cientes del modelo.] Las estimaciones obtenidas con este m¶etodo aparecen en la Tabla IV.

²⁴Se han realizado dos tipos de contrastes. Primero, el propuesto por Dickey y Fuller (1979), DFA. Segundo, el \test" de Phillips y Perron (1988), PP.

Tabla IV. INVERSIO^¶ N RESIDENCIAL Periodo muestral : 1964-1997 Me¶todo: MCCC

Nota: (¤) Re°eja la no signi¯catividad del regresor para un nivel de signi¯caci¶on del 5%. Estad¶³stico t entre par¶entesis. Las columnas 2-4 muestran las estimaciones por MCCC de los coe¯cientes de (13) para tres valores del par¶ametro de truncamiento de retardos q:

N¶otese, en primer lugar, que hemos considerado diversos valores para q (desde 1 hasta 3, siendo q el par¶ametro de truncamiento de retardos o de ancho de banda), siendo las estimaciones poco robustas al valor empleado para este par¶ametro. En segundo lugar, los resultados obtenidos no resultan razonables. En algunos casos, se pone de relieve la insensibilidad de la inversi¶on residencial a la estructura por edades de la poblaci¶on. Asimismo, y con independencia del valor de encontramos un per¯l para la edad contrario al que se pod¶³a esperar: son los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que mayor gasto en vivienda efectu¶an. Los individuos de edad intermedia, por el contrario, realizan un gasto m¶³nimo. El signo de otros coe¯cientes resulta tambi¶en contraintuitivo (v¶ease, por ejemplo, el efecto negativo que ejerce la riqueza y la renta en la inversi¶on para , aun cuando puede resultar m¶as razonable un signo positivo). Fair y Dominguez (1991) encuentran resultados similares, esto es, no consistentes con la hip¶otesis de ciclo vital, cuando tratan de analizar el comportamiento del consumo en bienes duraderos.

Varias pueden ser las justi¯caciones a estos resultados. Primera, el reducido contenido informativo de la muestra (34 observaciones). Segunda, se puede encontrar otra explicaci¶on en los posibles problemas de multicolinealidad generados por la inclusi¶on de la renta disponible, la riqueza y el \stock" de capital residencial simult¶aneamente en la ecuaci¶on. Tras calcular los coe¯cientes de correlaci¶on, hemos encontrado un valor de 0.95 para la correlaci¶on entre \stock" y riqueza. Las relaciones entre \stock" y renta disponible, por una parte, y entre riqueza y renta disponible por otra, toman un valor semejante. Los coe¯cientes entre cada una de estas tres series y las variables poblacionales adoptan adem¶as valores que oscilan entre 0.92 y 0.99. Estas altas correlaciones pueden estar re°ejando un problema de alta multicolinealidad y, por tanto, estimaciones poco precisas.

Una tercera justi¯caci¶on puede encontrarse en los coe¯cientes de ajuste que han sido introducidos en el modelo para capturar la rapidez o lentitud con que la inversi¶on y el \stock" de capital residencial se ajustan a sus valores deseados. El razonamiento es el siguiente. Los resultados (signo de los coe¯cientes y signi¯catividad de los regresores) no se muestran robustos a la elecci¶on de q, por lo que hemos especi¯cado y estimado alternativas a la funci¶on (13). La novedad en estas variantes consiste u¶nicamente en eliminar uno de los regresores que para algu¶n q ha resultado no signi¯cativo. En todas ellas, excepto en una, el per¯l de la inversi¶on residencial con respecto a la edad individual es, al igual que antes, contrario al que se puede esperar: los individuos de edad intermedia son los que menos invierten y los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que realizan un mayor gasto en este tipo de bienes.

Curiosamente, hay un caso en el que los resultados pueden considerarse razonables: un esquema para las variables poblacionales consistente con la hip¶otesis de ciclo vital se obtiene al prescindir del \stock" de capital residencial retardado un periodo en la regresi¶on.

Una posible explicaci¶on a estos resultados puede ser la siguiente. Al especi¯car un modelo de inversi¶on en vivienda como (8) para el individuo i, hemos supuesto que los par¶ametros de ajuste de la inversi¶on y el \stock" de capital residencial a sus valores deseados (' y ¸, respectivamente) no se ven afectados por su edad.²⁵ Sin embargo, dado (8); las variables que recogen el efecto de la estructura por edades de la poblaci¶on s¶olo afectan al t¶ermino independiente. As¶³, puede que las propias variables poblacionales en (13)] est¶en recogiendo el efecto que la edad puede ejercer en los costes de ajuste del \stock" de capital y la inversi¶on residencial. En otras palabras, es posible que la regresi¶on est¶e atribuyendo a las variables la incidencia, no recogida en el modelo, de la edad en los costes de ajuste.²⁶

²⁵Se puede suponer que dichos ajustes pueden ser m¶as r¶apidos para los j¶ovenes que para los de mayor edad y, en este sentido, cabe esperar unos valores m¶as altos para los primeros que para los segundos [ver Fair y Dominguez (1991), p¶ag. 1284].

Tras comprobar que la obtenci¶on de resultados razonables est¶a condicionada a la ausencia del \stock" de capital residencial, y considerando que la incoherencia de estos resultados puede deberse a motivos relacionados con dicho \stock", en los sucesivos an¶alisis prescindiremos de ¶el. Fair (1984) adopta la misma decisi¶on, justi¯cando adem¶as que el par¶ametro estimado asociado a dicha variable no resulta razonable. No obstante, aun cuando no est¶e present¶e en la regresi¶on, su efecto est¶a siendo recogido indirectamente por otras variables del modelo. Recu¶erdense las altas correlaciones encontradas entre ¶este y algunos regresores, con valores superiores a 0.90. Las estimaciones resultantes se presentan en la Tabla V.

Tabla V. INVERSIO^¶ N RESIDENCIAL Periodo muestral : 1964-1997 Me¶todo: MCCC

Nota: Regresiones de la Tabla IV, una vez eliminado el \stock" de capital residencial. (¤) Re°eja la no signi¯catividad del regresor para un nivel de signi¯caci¶on del 5%. Estad¶³stico t entre par¶entesis. estad¶³sti co para el contraste de signi¯caci¶on conjunto de las variables demogr¶a-¯cas [valor cr¶³tico al 5% de signi¯caci¶on de 5.99].

²⁶Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001), al estimar una ecuaci¶on de consumo privado agregado (para la econom¶³a espan~ola tambi¶en durante el periodo 1964-1997) que no incluye ajustes de este tipo, obtienen unos patrones con respecto a la edad como los que eran de esperar: son los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que menor gasto en consumo efectu¶an, siendo, por el contrario, los individuos de edad intermedia los que m¶as consumen.

Cuatro son las principales observaciones a destacar. Primero, los resultados emp¶³ricos parecen mostrar la importancia de la estructura de edades de la poblaci¶on en la explicaci¶on de la inversi¶on residencial per c¶apita espan~ola. La signi¯caci¶on individual y conjunta de las variables apoyan esta conclusi¶on.

Segundo, adem¶as de las variables poblacionales, la propia inversi¶on desfasada un periodo parece in°uir decisivamente en dicha inversi¶on. El efecto es positivo, lo que apoya la idea de que incrementos en la variable en un periodo van seguidos de aumentos en el siguiente y viceversa. Este resultado no es sorprendente dada la interpretaci¶on de su coe¯ciente asociado. De se tiene que ; esto es, puede interpretarse como uno menos el par¶ametro de ajuste de la inversi¶on a su valor deseado. Dado que, en presencia de costes de ajuste, ; resulta evidente que : Por ejemplo, para se tiene , lo que implica un ; esto es, el ajuste de la inversi¶on residencial a su valor deseado bes del 29,2% anual.

Tercero, los signos de los coe¯cientes (estimados) asociados a las dem¶as variables explicativas, y la signi¯catividad de ¶estas, no se muestran robustos a la elecci¶on del par¶ametro q. En algunos casos, encontramos estimaciones con un signo contrario al esperado. Esto sucede con la riqueza y la renta disponible, variables de las cuales se esperar¶³a una incidencia positiva en este tipo de gasto. En este sentido, prescindir del \stock" de capital en vivienda puede implicar la obtenci¶on de resultados positivos en el an¶alisis de los efectos poblacionales sobre la inversi¶on residencial. No obstante, en relaci¶on al signo de los coe¯cientes asociados a los restantes regresores, y a la signi¯catividad de ¶estos, los resultados relativos a la vivienda no son lo satisfactorios que se pod¶³an esperar.

Por u¶ltimo, resulta interesante constatar la obtenci¶on de un patr¶on de U invertida para el per¯l de la inversi¶on residencial con respecto a la edad individual [v¶eanse los Paneles de la Figura 4]. El esquema de los coe¯cientes de las variables poblacionales, , parece, por tanto, ser consistente con la hip¶otesis de ciclo vital: son los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que menos invierten en vivienda, siendo, por el contrario, los individuos de edad intermedia los que m¶as inversi¶on realizan. Un per¯l semejante ya hab¶³a sido encontrado por otros autores para otros pa¶³ses [v¶ease, por ejemplo, Mankiw y Weil (1989) para USA, Engelhardt y Poterba (1991) para Canad¶a, y Ohtake y Shintani (1996) para Jap¶on]. Los patrones di¯eren, no obstante, en la edad en que ¶este es m¶aximo: en USA a comienzos de los 30 an~os, diez an~os m¶as tarde en Canad¶a y casi treinta en Jap¶on (¯nales de los 50).

N¶otese asimismo la sensibilidad de estos resultados a los distintos valores del par¶ametro de truncamiento [v¶eanse los Paneles de la Figura 4]. El per¯l de U invertida aparece en todos los casos. Sin embargo, hay diferencias notables en los grupos para los cuales los coe¯cientes modi¯can su signo, as¶³ como los grupos en los que ¶este es m¶aximo. T¶engase en cuenta que un positivo implica que un aumento de la proporci¶on en el grupo de edad da lugar a un aumento en la inversi¶on residencial superior a la inversi¶on media consiguientemente, un incremento de la inversi¶on per c¶apita. Un negativo supone, por tanto, el efecto contrario. Surge, as¶³, una divisi¶on en la poblaci¶on: aqu¶ellos con un nivel de inversi¶on por encima de la media (aqu¶ellos con un positivo) y aqu¶ellos con una inversi¶on inferior a la media (aqu¶ellos con un negativo). La Tabla VI muestra algunos resultados al respecto.

Tabla VI. Edad e Inversio¶n Residencial

Nota: la Tabla recoge, por ¯las, [para cada q] la edad de los individuos el grupo de edad a partir de los cuales la inversi¶on comienza a ser superior a la media; la edad y el grupo j_M para los que la inversi¶on es m¶axima; la edad el grupo j_U a partir de los cuales la inversi¶on es inferior a la media.

Obs¶ervese que los l¶³mites de edad para los diferentes grupos di¯eren sustancialmente para cada valor de As¶³, por ejemplo, reducciones en la inversi¶on residencial per c¶apita provocadas por aumentos en las proporciones de los individuos de mayor edad, se producen a partir de los 56 an~os si , de los 51 si de los 68 si

4.1 Impacto demogr¶a¯co

En esta Secci¶on, y siguiendo a Higgins y Williamson (1997), Higgins (1998) y Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001), procedemos a estimar el impacto que sobre la inversi¶on residencial espan~ola ha ejercido el cambio en la distribuci¶on de edad poblacional durante el periodo 1964-1997. Dos enfoques alternativos son empleados. Con el primero, calculamos qu¶e parte de la desviaci¶on en la inversi¶on en vivienda per c¶apita de cada an~o con respecto a la media del per¶³odo 1964-1997 es explicada por el cambio en la estructura de edad poblacional de ese an~o. Y, con el segundo, calculamos qu¶e parte de la variaci¶on en la inversi¶on residencial per c¶apita de cada an~o con respecto al anterior puede explicarse por cambios en la estructura de edades habidos ese an~o.

y

²⁷Estas edades adem¶as, en general, no coinciden con aquellas obtenidas en el an¶alisis del consumo privado per c¶apita [v¶ease Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001)]. No se obtienen, por tanto, resultados concluyentes que permitan inferir si son los mismos colectivos los que elevan el consumo y la inversi¶on residencial en la econom¶³a espan~ola.

Siguiendo la metodolog¶³a ya empleada en Higgins y Williamson (1997), Higgins (1998) y Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001), estos impactos demogr¶a¯cos sobre la inversi¶on en vivienda vienen representados, respectivamente, por

\[\delta_ {t} ^ {i v} \equiv \left(\frac {i v _ {t} - \overline {{i v}}}{\overline {{i v}}}\right) \times 1 0 0 = \frac {1 0 0 \times \left[ \gamma_ {1} (Z _ {1 t} - \bar {Z} _ {1}) + \gamma_ {2} (Z _ {2 t} - \bar {Z} _ {2}) \right]}{(1 - \beta_ {i v}) \overline {{i v}}},\tag{14}\]

para el primero, y

\[\delta_ {t} ^ {i v *} \equiv \frac {i v _ {t} - i v _ {t - 1}}{i v _ {t - 1}} \times 1 0 0 = \frac {1 0 0 \times [ \gamma_ {1} (Z _ {1 t} - Z _ {1 t - 1}) + \gamma_ {2} (Z _ {2 t} - Z _ {2 t - 1}) ]}{(1 - \beta_ {i v}) i v _ {t - 1}},\tag{15}\]

para el segundo, donde representa la media muestral de la variable para el periodo correspondiente. Los resultados se recogen en las Tablas VII y VIII, respectivamente.

Para interpretar el signo de n¶otese, primero, que ¶este est¶a dado por el signo de ; y, segundo, que . Por tanto, el signo de se encuentra dado por el signo de

\[\sum_ {j \in J _ {1}} \alpha_ {j} (p _ {j t} - \bar {p} _ {j}) + \sum_ {j \in J _ {2}} \alpha_ {j} (p _ {j t} - \bar {p} _ {j}),\]

en donde representan los grupos de edad para los cuales los coe¯cientes son positivos negativos, respectivamente, siendo la media muestral de la proporci¶on del grupo . Por ejemplo, para los an~os en los que es positivo se tendr¶a que, en general, las proporciones de los grupos de edad con niveles de inversi¶on superiores a la media aumentaron por encima de la media y disminuyeron las de aqu¶ellos con niveles de inversi¶on inferiores Evidentemente, cuando lo contrario sucede, encontramos, un signo negativo para este efecto.

Como se aprecia en la Tabla VII y en los Paneles de la Figura 5, el per¯l de este impacto [l¶³nea discontinua] no se muestra robusto a cambios en el valor de Tras analizar las estimaciones de los par¶ametros asociados a los regresores del modelo (13), este resultado no deber¶³a parecer sorprendente, dado que los valores estimados para condicionan la evoluci¶on de estos impactos.

Tabla VII. Impacto Demogra¶fico sobre la Inversio¶n Residencial Per Ca¶pita Respecto a la Media del Periodo 1964-1997 Nota: iv: inversi¶on residencial per c¶apita; ¢iv: variaci¶on (porcentual) de la inversi¶on per c¶apita con respecto a la media del periodo 1964-1997. Las columnas 4-6 muestran [para cada q] la de¯nida en (14).

Podr¶³a resultar razonable esperar una trayectoria creciente para el efecto poblacional sobre la inversi¶on residencial en la segunda mitad de la muestra. La justi¯caci¶on es la siguiente: las generaciones nacidas entre 1960 y 1975 han iniciado un proceso de creaci¶on de hogares que deben dar origen a nuevas compras de vivienda y, consiguientemente, a aumentos en la inversi¶on en este tipo de bienes. Deber¶³amos esperar, por tanto, los valores m¶as altos para estos impactos al ¯nal de la muestra. Este hecho, al menos, s¶³ aparece re°ejado para

N¶otese, asimismo, el diferente patr¶on seguido por la variaci¶on en la inversi¶on en vivienda, [l¶³nea continua], y por el cambio en dicha variable debido a alteraciones en la pir¶amide poblacional, [l¶³nea discontinua]. Estas divergencias son, asimismo, poco robustas al valor del par¶ametro no resultando apropiado, por tanto, interpretar la cuant¶³a de este impacto. As¶³, tras apreciar los per¯les de estas Figuras, se debe pensar en la existencia de otros factores, distintos de los poblacionales, que pueden explicar en el comportamiento de esta inversi¶on.

Una forma alternativa de estudiar el efecto demogr¶a¯co es re¯ri¶endolo al periodo anterior en vez de a la media muestral. Este caso viene representado por las estimaciones de segu¶n la expresi¶on (15).

Al igual que en (14), para interpretar el signo de n¶otese, primero, que ¶este est¶a dado por el signo de ; y, segundo, que , por lo que el signo de coincide con el signo de

\[\sum_ {j \in J _ {1}} \alpha_ {j} (p _ {j t} - p _ {j t - 1}) + \sum_ {j \in J _ {2}} \alpha_ {j} (p _ {j t} - p _ {j t - 1}).\]

As¶³, valores positivos de muestran incrementos respecto al periodo anterior en las proporciones de los grupos con una inversi¶on en vivienda mayor a la media y reducciones en aqu¶ellos con una inversi¶on menor [v¶ease Tabla VIII].

Esta medida del impacto, al igual que la anterior, no se muestra robusta al valor del par¶ametro q [ver Tabla VIII y Paneles de la Figura 6]. De nuevo, esto era de esperar, dada la sensibilidad de las estimaciones de los coe¯cientes del modelo al valor de este par¶ametro [ver Tabla V]. Sin embargo, y con independencia de q, se puede apreciar un per¯l diferente para la variaci¶on en la inversi¶on residencial respecto al periodo anterior [l¶³nea continua] y para el cambio que se produce en dicha variable ante alteraciones en la estructura demogr¶a¯ca en ese mismo intervalo de tiempo [l¶³nea discontinua]. Esto puede justi¯carse, como ya hemos apuntado anteriormente, por la existencia de otros elementos, distintos a los poblacionales, que tambi¶en pueden incidir en la inversi¶on residencial.

Tabla VIII. Impacto Demogra¶fico sobre la Inversio¶n Residencial Per Ca¶pita Respecto al An~o Anterior Nota: variaci¶on (porcentual) de la inversi¶on per c¶apita con respecto al periodo anterior. Las bcolumnas 3-5 muestran [para cada la de¯nida en (15).

4.2 tra ecuaci¶on de inversi¶on residencial?

Para ¯nalizar el an¶alisis de la inversi¶on en vivienda, hemos considerado conveniente incluir unos resultados relativos a la estimaci¶on de una ecuaci¶on alternativa, en la que se prescinde de las variables riqueza y tipo de inter¶es, adem¶as del \stock" de capital residencial.

El criterio seguido para la estimaci¶on de esta ecuaci¶on ha sido el siguiente. Partiendo de los resultados de la Tabla V, y tratando de comprobar la robustez de los resultados a especi¯caciones alternativas, hemos estimado diferentes modelos donde su u¶nica diferencia era la ausencia de uno de los regresores propuestos inicialmente. En particular, hemos analizado ecuaciones en las que hemos prescindido, una a una, de : En todas ellas hemos encontrado un resultado comu¶n: tipo de inter¶es y riqueza no resultan signi¯cativas. Posteriormente, hemos estimado nuevas ecuaciones en las que hemos eliminado, dos a dos, las variables anteriores, obteniendo conclusiones similares: tipo de inter¶es y riqueza no parecen incidir en el comportamiento de la inversi¶on residencial.

Las estimaciones de los coe¯cientes del modelo se presentan en la Tabla IX.

Tabla IX. INVERSIO^¶ N RESIDENCIAL Periodo muestral : 1964-1997 Me¶todo: MCCC

Nota: Estimaci¶on del modelo (13), una vez eliminadas las variables riqueza no residencial, tipo de inter¶es y \stock" de capital en vivienda. (¤) Re°eja la no signi¯catividad del regresor para un nivel de signi¯caci¶on del 5%. Estad¶³stico t entre par¶entesis. estad¶³stico para el contraste de signi¯caci¶on conjunto de las variables demogr¶a¯cas [valor cr¶³tico al 5% de signi¯caci¶on de 5.99].

Los resultados muestran que la estructura por edades de la representada ¶esta por las variables ; resulta signi¯cativa para explicar el comportamiento de la inversi¶on residencial en Espan~a. Hay, asimismo, otros factores que in°uyen decisivamente en esta inversi¶on. Este es el caso de la propia variable desfasada un periodo y de la actividad econ¶omica (representada ¶esta por la diferencia entre el PIB potencial y el PIB real). Las estimaciones ponen de mani¯esto, por tanto, la sensibilidad de la inversi¶on en vivienda no s¶olo a la estructura demogr¶a¯ca sino tambi¶en a la situaci¶on econ¶omica general.

Asimismo, los resultados re°ejan, como es de esperar, un patr¶on de U invertida para el per¯l de la inversi¶on en vivienda con respecto a la edad individual: los individuos de edad intermedia son los que realizan un mayor gasto en vivienda, siendo, por el contrario, los m¶as j¶ovenes y los m¶as viejos los que participan en una menor cuant¶³a [v¶eanse los Paneles de la Figura la Tabla X]. Este per¯l asimismo se muestra robusto a distintos valores del par¶ametro

Tabla X. Edad e Inversio¶n Residencial , r, sv eliminados)

Nota: la Tabla recoge, por ¯las, [para cada q] la edad de los individuos y el grupo de edad a partir de los cuales la inversi¶on comienza a ser superior a la media; la edad el grupo j para los que la inversi¶on es m¶axima; y la edad el grupo j a partir de los cuales la inversi¶on es inferior a la media.

En general, aumentos en la proporci¶on de individuos con edades comprendidas entre los 22 y los 56 an~os elevan la inversi¶on residencial. Efecto contrario produce el incremento en la proporci¶on de aqu¶ellos que no han alcanzado los 22 o que han superado los 57. Obs¶ervese, asimismo, que son aqu¶ellos que rondan los 39 an~os los que m¶as invierten, siendo esta edad semejante a la obtenida en Engelhardt y Poterba (1991) para el caso canadiense.

Por u¶ltimo, hemos calculado los impactos, en relaci¶on a la media en relaci¶on al periodo anterior de los cambios en la pir¶amide poblacional espan~ola sobre la inversi¶on residencial [expresiones (14) y (15), respectivamente].

Con respecto al primero de los efectos [v¶eanse Paneles de la Figura 8], se aprecian aumentos por encima de la media en la inversi¶on residencial, debidos a cambios en la estructura poblacional, a partir de 1990, 1988 y 1987, para q = 1; 2 y 3; respectivamente. La justi¯caci¶on ya ha sido comentada previamente: se ha producido un mayor gasto en vivienda motivado principalmente por la creaci¶on de hogares de aqu¶ellas generaciones nacidas entre 1960 y 1975. As¶³, por ejemplo, para , el cambio en la distribuci¶on de edades de la poblaci¶on provoc¶o un aumento (por encima de la media) en la inversi¶on residencial per c¶apita que fue m¶aximo en 1997.

²⁸Los l¶³mites de edad para los diferentes grupos generados en funci¶on de su mayor o menor gasto son adem¶as id¶enticos o similares a los obtenidos en Egu¶³a y Echevarr¶³a (2001) al analizar el consumo privado per c¶apita. Parecen ser, por tanto, los mismos colectivos los que elevan el consumo y la inversi¶on residencial en la econom¶³a espan~ola.

El per¯l de este impacto se muestra, adem¶as, robusto a cambios en el valor del par¶ametro La trayectoria del efecto poblacional sobre la inversi¶on residencial es decreciente hasta el an~o 1978-1979, para tornarse creciente a partir de ese an~o, con independencia del valor de q. Se aprecia, asimismo, un diferente patr¶on en la variaci¶on de la inversi¶on en vivienda, [l¶³nea continua], y en el cambio en dicha variable debido a alteraciones en la pir¶amide poblacional, [l¶³nea discontinua]. por ejemplo, en 1997 la inversi¶on residencial aument¶o un 9,11% en relaci¶on a la media del periodo. El incremento experimentado por esta variable como consecuencia de variaciones en la estructura demogr¶a¯ca alcanz¶o, sin embargo, el 32.6% para Existen, por tanto, otros factores, adem¶as de los poblacionales, que inciden en esta inversi¶on, y que ejercen el efecto contrario. La propia situaci¶on econ¶omica, como ya hemos comentado previamente, es uno de ellos.

En relaci¶on a la medida alternativa para analizar el impacto demogr¶a¯co, ， ¶esta es negativa en la primera mitad de la muestra y cambia de signo en la segunda mitad [v¶eanse los Paneles de la Figura 9]. Esto es, hasta 1979 aproximadamente, disminuyen respecto al an~o anterior las proporciones de los grupos con una inversi¶on superior a la media aumentan las de aqu¶ellos con inversiones inferiores a la media. El efecto contrario se produce, sin embargo, a partir de ese an~o. El impacto demogr¶a¯co es robusto, por tanto, a cambios en el valor del par¶ametro de truncamiento q.

Una inspecci¶on de estos Paneles re°eja, asimismo, que deben existir otros elementos, adem¶as de los poblacionales, que in°uyen en la inversi¶on residencial. Esta idea se apoya en el diferente per¯l mostrado por la variaci¶on respecto al periodo anterior en la inversi¶on [l¶³nea continua] y el cambio en dicha variable explicado por alteraciones en la estructura demogr¶a¯ca en ese mismo intervalo de tiempo [l¶³nea discontinua].

5 Especi¯caciones alternativas para la ecuaci¶on de inversi¶on en vivienda

Para ¯nalizar, y con el prop¶osito de analizar la robustez de los resultados, hemos probado especi¯caciones alternativas para caracterizar la estructura demogr¶a¯ca. En particular, hemos dividido la poblaci¶on en tres grupos: menores de 15 an~os, mayores de esta edad pero menores de 54 por u¶ltimo, mayores de 55. Esta desagregaci¶on permite diferenciar a los colectivos de j¶ovenes, adultos y a los de mayor edad. Los adultos incluyen a los individuos prime age [que, en la terminolog¶³a de Fair y Dominguez (1991), representa al colectivo entre 25 y 54 an~os] m¶as aquellos individuos que, con edades inferiores, ya han alcanzado la edad de trabajar. En el tramo inferior se encuentran, por el contrario, aqu¶ellos que au¶n no han superado esa edad, esto es, los 16 an~os. Los mayores de 55 an~os, por tanto, quedan representados en el tercer grupo. Los resultados se presentan en la Tabla XI.

Tabla XI. INVERSIO^¶ N RESIDENCIAL ^(grupos de edad: ^0-15,16-54,¸⁵⁵⁾

Nota: (¤) Re°eja la no signi¯catividad del regresor para un nivel de signi¯caci¶on del 5%. Estad¶³stico t entre par¶entesis. estad¶³stico para el contraste designi¯caci¶on conjunto de las variables demogr¶a¯cas (que representan las proporciones de los grupos de edad entre 0 y 15 an~os, 16 y 54 an~os y 55 ¶o m¶as an~os, respectivamente).

Si comparamos estas estimaciones con las de la Tabla IV, cuya u¶nica diferencia es la especi¯caci¶on empleada para representar la estructura poblacional, no deber¶³a sorprendernos la obtenci¶on de unos resultados de este tipo: variables demogr¶a¯cas no siempre signi¯cativas para explicar el comportamiento de la inversi¶on residencial, signos contrarios a los esperados para los coe¯cientes de algunos regresores e incluso un esquema para las variables poblacionales no consistente con la hip¶otesis de ciclo vital. Algunas justi¯caciones a estos resultados tan contraintuitivos ya se han presentado en la Secci¶on 4.

De nuevo, la obtenci¶on de conclusiones razonables, al menos en lo referente a la interacci¶on demograf¶³a-inversi¶on parece estar condicionada a la presencia o ausencia del \stock" de capital residencial en el modelo de regresi¶on. Un an¶alisis de la Tabla XII permite con¯rmar este hecho.

Tabla XII. INVERSIO^¶ N RESIDENCIAL ^(grupos de edad: ^0-15,16-54,¸⁵⁵⁾ Periodo muestral : 1964-1997

Nota: Regresiones de la Tabla XI una vez eliminado el \stock" de capital residencial. (¤) Re°eja la no signi¯catividad del regresor para un nivel de signi¯caci¶on del 5%. Estad¶³stico t entre par¶entesis. F: estad¶³stico para el contraste de signi¯caci¶on conjunto de las variables demogr¶a¯cas p_{0 15}, p_{16 54} y p_{55 y}.

N¶otese que en algunos casos el colectivo de mayor edad parece no incidir en el comportamiento de la inversi¶on residencial. No obstante, los signos y la cuant¶³a de las estimaciones de los coe¯cientes asociados a las variables poblacionales parecen ser consistentes con la hip¶otesis de ciclo vital: son los m¶as j¶ovenes y los de mayor edad los que realizan un menor gasto en vivienda, siendo, por el contrario, los de edad intermedia los que m¶as invierten. El an¶alisis relativo al signo de los restantes coe¯cientes y a la signi¯catividad de los regresores no es, sin embargo, demasiado satisfactorio. En este sentido, los resultados parecen ser robustos a la especi¯caci¶on empleada para la distribuci¶on por edades de la poblaci¶on, aunque no lo sean para los distintos valores que puede adoptar el par¶ametro q.

A modo de resumen, hacer notar la extremada sensibilidad de todos los resultados a la especi¯caci¶on empleada para el modelo econom¶etrico. Si bien al incluir todos los regresores propuestos se obtienen estimaciones que pueden resultar contraintuitivas, tras prescindir de alguno/s de ellos se pueden lograr conclusiones m¶as razonables. Posibles explicaciones pueden encontrarse, entre otras, en el reducido contenido informativo de la muestra y en la existencia de problemas de multicolinealidad entre las variables.

6 Conclusiones

En este trabajo se aborda la especi¯caci¶on y estimaci¶on de una ecuaci¶on de comportamiento agregada para la inversi¶on en vivienda. Centrando nuestro inter¶es en el an¶alisis de la incidencia demogr¶a¯ca sobre esta categor¶³a de gasto privado, incluimos la edad como fuente de heterogeneidad individual, restringiendo su impacto a un efecto lineal-cuadr¶atico. La funci¶on es ¯nalmente estimada a partir de datos agregados de la econom¶³a espan~ola para el periodo 1964-1997.

Seis son los principales resultados. Primero, las variaciones en la estructura de edad poblacional han tenido un efecto sustancial sobre el comportamiento de la inversi¶on en vivienda en Espan~a. Segundo, la ecuaci¶on propuesta para estudiar el gasto en vivienda determina de manera crucial los resultados. Esto es, las estimaciones de los coe¯cientes del modelo resultan ser altamente sensibles a la especi¯caci¶on empleada. El reducido contenido informativo de la muestra puede justi¯car, en cierta medida, tales valores. Tercero, en el caso particular de una ecuaci¶on en la que intervienen la propia inversi¶on desfasada, la variable que representa el ciclo econ¶omico y la renta disponible, adem¶as obviamente de las variables poblacionales, se tiene un patr¶on de U invertida para el per¯l de la inversi¶on en vivienda con respecto a la edad individual. En general, la inversi¶on residencial es mayor que la media para aquellos individuos de edades comprendidas entre los 22 y los 57 an~os. Cuarto, estimamos para cada an~o el impacto (de largo plazo) de la transici¶on demogr¶a¯ca sobre la inversi¶on per c¶apita tanto en relaci¶on a los valores medios de todo el periodo muestral, como en relaci¶on al an~o anterior. Los resultados ponen de relieve que cuando tal impacto es positivo, ello se debe a que las proporciones de los grupos edad con niveles de inversi¶on superiores a la media aumentaron a que disminuyeron las de aqu¶ellos con niveles de gasto inferiores. Lo contrario sucede, claro est¶a, cuando el impacto es negativo. Quinto, resulta interesante constatar el distinto per¯l existente entre la variaci¶on porcentual de esta categor¶³a de gasto privado y el correspondiente impacto de la transici¶on demogr¶a¯ca sobre ¶esta. La justi¯caci¶on se encuentra en la existencia de otros factores, distintos de los poblacionales, que tambi¶en han incidido en la inversi¶on en vivienda. Por u¶ltimo, notar que, en la mayor¶³a de los casos, los resultados son robustos a especi¯caciones alternativas para la distribuci¶on de edades de la poblaci¶on.

Los resultados emp¶³ricos re°ejan, por tanto, la importancia de las alteraciones en la pir¶amide poblacional en la explicaci¶on de la inversi¶on en vivienda en Espan~a. El fuerte aumento experimentado por la natalidad entre 1960 y 1975 y el intenso proceso de envejecimiento al que se est¶a enfrentando la econom¶³a espan~ola ejercer¶an un papel determinante en el comportamiento de la inversi¶on en vivienda agregada.

El an¶alisis puede ser extendido en trabajos futuros a otras ecuaciones de comportamiento agregadas, mostr¶andose necesaria de disponibilidad de un taman~o muestral sensiblemente mayor. La demanda de dinero y la participaci¶on en la fuerza laboral [ecuaciones examinadas tambi¶en en Fair y Dominguez (1991)], o el ahorro y la inversi¶on [analizadas por Higgins y Willianson (1997)] pueden constituir ejemplos de este tipo de ecuaciones.

Apéndice I: Análisis gráfico

Figura 3: Gráficos de las Series

F. : ( a.!

F: : s ( ) s oaa!

El M¶etodo del Inventario Permanente acumula a un \stock" de capital inicial los °ujos de inversi¶on correspondientes a an~os sucesivos. El \stock" neto de capital privado, de acuerdo con este m¶etodo, se obtiene a partir de la siguiente expresi¶on:

\[K N _ {t} = K N _ {t - 1} + I B _ {t} - C C F _ {t},\]

siendo el \stock" neto de capital privado en la formaci¶on bruta de capital ¯jo privada en el consumo de capital ¯jo en t: Asimismo, si suponemos que el es una proporci¶on del capital neto del periodo anterior, obtenemos:

\[K N _ {t} = (1 - \delta_ {t}) K N _ {t - 1} + I B _ {t},\]

donde es la tasa de depreciaci¶on de capital en t. Nuestro prop¶osito es obtener una estimaci¶on de para el periodo 1964-1997. Los datos para 1964-1994 proceden de Fundaci¶on BBV (1997). El objetivo se limita, por tanto, a estimar los an~os restantes. A continuaci¶on mostramos el procedimiento seguido.

En primer lugar, conocida la serie de \stock" neto de capital privado para el periodo partir de la expresi¶on , obtenemos las tasas de depreciaci¶on empleadas para dicho periodo. Dadas ¶estas, estimamos para los an~os posteriores considerando , siendo la tasa de crecimiento de que suponemos constante a lo largo de la muestra. Para calcular n hemos empleado la siguiente expresi¶on , donde son las respectivas tasas de crecimiento de la tasa de depreciaci¶on para : El valor resultante es

En segundo lugar, estimadas las tasas de depreciaci¶on para los an~os 1995-1997, el siguiente paso consiste en obtener la formaci¶on bruta de capital ¯jo privada, . De nuevo surge un problema adicional: las distintas fuentes consultadas no proporcionan el nivel de desagregaci¶on pu¶blico-privado. U¶nicamente hemos encontrado series de formaci¶on bruta de capital ¯jo total, cuando a nosotros s¶olo nos interesa el componente privado [v¶ease Contabilidad Nacional de Espan~a, INE]. El procedimiento seguido para elaborar esta variable ha sido el siguiente: primero, obtenemos la tasa de crecimiento de la formaci¶on bruta de capital ¯jo total para los an~os , segundo, ¶esta es utilizada para obtener la formaci¶on bruta de capital privado, a trav¶es de la expresi¶on: a partir de la que s¶³ es conocida: N¶otese que impl¶³citamente estamos suponiendo que la tasa de crecimiento de la formaci¶on bruta de capital ¯jo total coincide con la tasa de crecimiento de la formaci¶on bruta de capital privado.

Por u¶ltimo, obtenidas para el periodo 1995-1997, estamos en condiciones de obtener el \stock" neto de capital privado para los an~os 1995, 1996, 1997. Disponemos, de esta forma, de datos de dicha variable para el periodo 1964-1997.

Ap¶endice III: Estimadores MCCC

La t¶ecnica de estimaci¶on de m¶³nimos cuadrados completamente corregidos (MCCC) propuesta por Phillips Hansen (1990) ha sido disen~ada para estimar las relaciones de cointegraci¶on modi¯cando los tradicionales MCO. El m¶etodo permite corregir simult¶aneamente el efecto de la correlaci¶on serial del t¶ermino de error la endogeneidad de los regresores. Recu¶erdese que la autocorrelaci¶on en los errores genera ine¯ciencia la endogeneidad en los regresores inconsistencia en los estimadores MCO.

Para presentar esta metodolog¶³a, se considera de nuevo el modelo a estimar (13) :

\[y _ {t} = \gamma + \gamma_ {1} Z _ {1 t} + \gamma_ {2} Z _ {2 t} + \beta^ {\prime} \mathbf {x} _ {t} + u _ {t},\]

se expresa de forma compacta como

\[\begin{array}{r c l} {y _ {t}} & = & {\gamma + \pmb {\gamma} _ {*} ^ {\prime} \mathbf {y} _ {2 t} + u _ {1 t}} \\ {\Delta \mathbf {y} _ {2 t}} & = & {\delta + \mathbf {u} _ {2 t},} \end{array}\]

siendo

\[\mathbf {y} _ {(k - 1) \times 1} = \left[ \begin{array}{c} Z _ {1 t} \\ Z _ {2 t} \\ \mathbf {x} _ {t} \end{array} \right], \underset {(k - 1) \times 1} {\boldsymbol {\gamma} _ {*}} = \left[ \begin{array}{c} \gamma_ {1} \\ \gamma_ {2} \\ \boldsymbol {\beta} \end{array} \right], \underset {(k \times 1)} {\boldsymbol {\gamma}} = \left[ \begin{array}{c} \gamma \\ \boldsymbol {\gamma} _ {*} \end{array} \right], \underset {(k \times 1)} {\mathbf {u} _ {t}} = \left[ \begin{array}{c} u _ {1 t} \\ \mathbf {u} _ {2 t} \end{array} \right],\]

donde denota la variable dependiente [inversi¶on residencial per _t los regresores pendiente que se incluyen en la regresi¶on representa, por tanto, el vector de regresores una vez eliminadas las variables poblacionales.

La igualdad indica, asimismo, que las variables explicativas del modelo son paseos aleatorios con deriva, esto es, procesos no estacionarios. El t¶ermino es un vector de perturbaciones estacionarias con media cero y matriz de covarianzas positiva ¯nita, . N¶otese que ambas propiedades re°ejan el hecho de que el vector k-dimensional est¶a cointegrado con relaci¶on de cointegraci¶on

Consideremos adem¶as la matriz de covarianzas a largo plazo de :

\[\sum = \sum_ {\nu = - \infty} ^ {\infty} E (\mathbf {u} _ {t} \mathbf {u} _ {t - \nu} ^ {\prime}) = E (\mathbf {u} _ {t} \mathbf {u} _ {t} ^ {\prime}) + \sum_ {\nu = 1} ^ {\infty} E (\mathbf {u} _ {t} \mathbf {u} _ {t - \nu} ^ {\prime}) + (\sum_ {\nu = 1} ^ {\infty} E (\mathbf {u} _ {t} \mathbf {u} _ {t - \nu} ^ {\prime})) ^ {\prime} = \Gamma_ {0} + \Gamma_ {\nu} + \Gamma_ {\nu} ^ {\prime},\]

que, al igual que , puede ser particionada en funci¶on de los elementos de de la siguiente manera:

\[\sum = \left[ \begin{array}{l l} \sum_ {1 1} & \sum_ {2 1} ^ {\prime} \\ \sum_ {2 1} & \sum_ {2 2} \end{array} \right] = \sum_ {\nu = - \infty} ^ {\infty} \left[ \begin{array}{l l} E (u _ {1 t} u _ {1 t - \nu} ^ {\prime}) & E (u _ {1 t} \mathbf {u _ {2 t - \nu} ^ {\prime}}) \\ E (\mathbf {u _ {2 t}} u _ {1 t - \nu} ^ {\prime}) & E (\mathbf {u _ {2 t}} \mathbf {u _ {2 t - \nu} ^ {\prime}}) \end{array} \right],\]

\[\Gamma_ {\nu} = \left[ \begin{array}{l l} \Gamma_ {1 1} ^ {\nu} & \Gamma_ {1 2} ^ {\nu} \\ \Gamma_ {2 1} ^ {\nu} & \Gamma_ {2 2} ^ {\nu} \end{array} \right] = \sum_ {\nu = 1} ^ {\infty} \left[ \begin{array}{l l} E (u _ {1 t} u _ {1 t - \nu} ^ {\prime}) & E (u _ {1 t} \mathbf {u _ {2 t - \nu} ^ {\prime}}) \\ E (\mathbf {u _ {2 t}} u _ {1 t - \nu} ^ {\prime}) & E (\mathbf {u _ {2 t}} \mathbf {u _ {2 t - \nu} ^ {\prime}}) \end{array} \right].\]

Estas matrices, como se ver¶a a continuaci¶on, desempen~an un papel importante en la formulaci¶on de los nuevos estimadores.

El planteamiento general de Phillips y Hansen (1990) se basa en la estimaci¶on consistente de aquellos t¶erminos que, afectando a la distribuci¶on asint¶otica de los estimadores MCO; impiden que ¶esta sea una de las est¶andares habitualmente empleadas. Una vez estimados estos elementos se trata de transformar adecuadamente los estimadores MCO, eliminando tales efectos y logrando as¶³ unos nuevos estimadores, los estimadores MCCC, con las distribuciones asint¶oticas est¶andar. Las correcciones oportunas para conseguir tal objetivo, derivadas por los anteriores autores, se muestran a continuaci¶on.

En primer lugar, plantean una transformaci¶on de la variable a explicar, . Para ello se debe proceder de la siguiente manera: restando el t¶ermino a ambos lados de , posteriormente, estimando la variable end¶ogena transformada resultante.²⁹ Se obtiene, as¶³,

\[\hat {y} _ {t} ^ {\dagger} = y _ {t} - \hat {\Sigma} _ {2 1} ^ {\prime} \hat {\Sigma} _ {2 2} ^ {- 1} \hat {\mathbf {u}} _ {\mathbf {2 t}},\]

siendo los residuos MCO obtenidos de la estimaci¶on de . Asimismo, bdenotan los estimadores nu¶cleo de las covarianzas a largo plazo entre u1t y u2t º, y entre u_2t respectivamente, obtenidos a partir de los residuos u_2t es el resultado de la estimaci¶on MCO de En particular,

\[\stackrel {\wedge} {\sum} = \left[ \begin{array}{c c} \hat {\Sigma} _ {1 1} & \hat {\Sigma} _ {2 1} ^ {\prime} \\ \hat {\Sigma} _ {2 1} & \hat {\Sigma} _ {2 2} \end{array} \right] = \stackrel {\wedge} {\Gamma_ {0}} + \sum_ {\nu = 1} ^ {q} w _ {\nu q} (\stackrel {\wedge} {\Gamma_ {\nu}} + \stackrel {\wedge} {\Gamma_ {\nu}} ^ {\prime}), \text {siendo}\]

\[\stackrel {\wedge} {\Gamma_ {\nu}} = \frac {1}{T} \sum_ {t = \nu + 1} ^ {T} \hat {\mathbf {u}} _ {\mathbf {t}} \hat {\mathbf {u}} _ {\mathbf {t} - \nu} ^ {\prime} = \frac {1}{T} \sum_ {t = \nu + 1} ^ {T} \left[ \begin{array}{l l} \hat {u} _ {1 t} \hat {u} _ {1 t - \nu} ^ {\prime} & \hat {u} _ {1 t} \hat {\mathbf {u}} _ {\mathbf {2 t} - \nu} ^ {\prime} \\ \hat {\mathbf {u}} _ {\mathbf {2 t}} \hat {u} _ {1 t - \nu} ^ {\prime} & \hat {\mathbf {u}} _ {2 t} \hat {\mathbf {u}} _ {\mathbf {2 t} - \nu} ^ {\prime} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} \stackrel {\wedge^ {\nu}} {\Gamma_ {1 1}} & \stackrel {\wedge^ {\nu}} {\Gamma_ {1 2}} \\ \stackrel {\wedge^ {\nu}} {\Gamma_ {2 1}} & \stackrel {\wedge^ {\nu}} {\Gamma_ {2 2}} \end{array} \right],\]

donde son unas ponderaciones que garantizan que la matriz de covarianzas a largo plazo estimada, sea de¯nida positiva. En este caso, : N¶otese que esta funci¶on depende de un par¶ametro desconocido (denominado par¶ametro de truncamiento de retardos o de ancho de banda). En este trabajo le hemos asignado tres valores para comprobar la robustez de los resultados a la especi¯caci¶on de , ignorando valores m¶as grandes debido al reducido taman~o de la muestra.

La transformaci¶on en la variable end¶ogena au¶n no resulta su¯ciente para garantizar unos estimadores con una distribuci¶on asint¶otica est¶andar. La presencia del elemento ; es la que lo imposibilita.

yt = γ + γ′y2t+ut

yt = yt − Σ21Σ21

uy_1t = u_1t §0₂₁§¡¹₂₂ u_2t; respectivamente.

O,

^29El modelo resultante es yyt ^{= ° + °0}¤^y2t^+uy1t donde yyt ^y uy1t son yyt ^{= y}t ¡ ^§021^§¡122 ^u2t ^y

³⁰Estimadores nu¶cleo o, en su terminolog¶³a original, kernel estimates.

As¶³, en segundo lugar, Phillips y Hansen (1990) proponen estimarlo consistentemente para posteriormente poder eliminar su efecto. Consideran, para ello, que es el estimador adecuado³¹

\[\widehat {\chi} ^ {\dagger} = \sum_ {\nu = 0} ^ {q} \{[ \stackrel {\wedge} {\Gamma} _ {1 2} ] ^ {\prime} [ \stackrel {\wedge} {\Gamma} _ {2 2} ] ^ {\prime} \} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ - \hat {\Sigma} _ {2 2} ^ {- 1} \hat {\Sigma} _ {2 1} \end{array} \right].\]

Una vez obtenidos dados los tradicionales estimadores , se realizan blas transformaciones oportunas en estos u¶ltimos para lograr una distribuci¶on asint¶otica normal. La expresi¶on resultante, correspondiente a los estimadores de m¶³nimos cuadrados completamente corregidos, es la que sigue

\[\widehat {\boldsymbol {\gamma}} _ {M C C C} = (\mathbf {X} ^ {\prime} \mathbf {X}) ^ {- 1} (\mathbf {X} ^ {\prime} \stackrel {\wedge} {y} _ {t} ^ {\dagger} - \Upsilon) = \left[ \begin{array}{c c} T & \sum_ {t = 1} ^ {T} \mathbf {y} _ {2 t} ^ {\prime} \\ \sum_ {t = 1} ^ {T} \mathbf {y} _ {2 t} & \sum_ {t = 1} ^ {T} \mathbf {y} _ {2 t} \mathbf {y} _ {2 t} ^ {\prime} \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} \sum_ {t = 1} ^ {T} \stackrel {\wedge} {y} _ {t} ^ {\dagger} & \\ \sum_ {t = 1} ^ {T} \mathbf {y} _ {2 t} \stackrel {\wedge} {y} _ {t} ^ {\dagger} - T \stackrel {\wedge} {\chi^ {\dagger}} \end{array} \right],\]

siendo donde 1 es un vector de orden : Asimismo, X denota , esto es, el t¶ermino independiente m¶as los regresores del modelo.

Contrastes

Una vez estimado el modelo se pueden efectuar los contrastes de hip¶otesis sobre sus par¶ametros. Phillips y Hansen (1990) proponen unos estad¶³sticos de contraste cuyas distribuciones son las est¶andares En general, para el contraste de m restricciones lineales sobre el vector de coe¯cientes , siendo R una matriz conocida un vector conocido, proponen el estad¶³stico:

\[(R \stackrel {\wedge} {\boldsymbol {\gamma}} - \mathbf {r}) ^ {\prime} \left[ (\stackrel {\wedge} {\sigma^ {2}}) ^ {\dagger} \mathbf {R} (\mathbf {X} ^ {\prime} \mathbf {X}) ^ {- 1} \mathbf {R} ^ {\prime} \right] ^ {- 1} (R \stackrel {\wedge} {\boldsymbol {\gamma}} - \mathbf {r}) \stackrel {a} {\longrightarrow} \chi^ {2} (m),\]

donde es un estimador consistente de En el caso particular de los contrastes de signi¯caci¶on individual, , este estad¶³stico adopta una expresi¶on m¶as sencilla:

\[\frac {\hat {\gamma_ {i}} - \gamma_ {i} ^ {0}}{[ (\widehat {\sigma^ {2}}) ^ {\dagger} (\mathbf {X} ^ {\prime} \mathbf {X}) _ {i i} ^ {- 1} ] ^ {1 / 2}} \xrightarrow {a} N (0, 1)\]

\[\begin{array}{l} ^ {3 1} \chi^ {\dagger} \text {puede escribirse alternativamente como} \chi^ {\dagger} = \sum_ {\nu = 0} ^ {\infty} E (\mathbf {u _ {2 t}} [ u _ {1 t - \nu} - \Sigma_ {2 1} ^ {\prime} \Sigma_ {2 2} ^ {- 1} \mathbf {u _ {2 t - \nu}} ] ^ {\prime}) = \\ = \sum_ {\nu = 0} ^ {\infty} E (\mathbf {u _ {2 t}} [ u _ {1 t - \nu} ^ {\prime} \quad \mathbf {u _ {2 t - \nu} ^ {\prime}} ] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ - \Sigma_ {2 2} ^ {- 1} \Sigma_ {2 1} \end{array} \right]) = \sum_ {\nu = 0} ^ {\infty} E (\mathbf {u _ {2 t - \nu}} [ u _ {1 t} ^ {\prime} \quad \mathbf {u _ {2 t} ^ {\prime}} ] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ - \Sigma_ {2 2} ^ {- 1} \Sigma_ {2 1} \end{array} \right]) = \\ = \sum_ {\nu = 0} ^ {\infty} E [ (\mathbf {u _ {2 t - \nu}} u _ {1 t} ^ {\prime}) \quad (\mathbf {u _ {2 t - \nu}} \mathbf {u _ {2 t} ^ {\prime}}) ] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ - \Sigma_ {2 2} ^ {- 1} \Sigma_ {2 1} \end{array} \right]) = \sum_ {\nu = 0} ^ {\infty} [ [ \Gamma_ {1 2} ^ {\nu} ] ^ {\prime} \quad [ \Gamma_ {2 2} ^ {\nu} ] ^ {\prime} ] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ - \Sigma_ {2 2} ^ {- 1} \Sigma_ {2 1} \end{array} \right], \text {de ahí la emprosión de su estimador.} \end{array}\]

expresi¶on de su estimador.

siendo el elemento i-¶esimo de la diagonal principal de por tanto, los errores est¶andar completamente corregidos de

En este trabajo se llevan a cabo contrastes de signi¯caci¶on individual y conjunta de todos los regresores incluidos en el modelo y, en particular, de las variables que representan la estructura demogr¶a¯ca,

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